蘇夢珂，孔祥智

江南大學 理學院，江蘇 無錫 214122

1 引言

1965 年，Zadeh 提出模糊集[1]這一理論用于處理具有模糊性和不確定性的問題，此后，各界學者開始對其進行研究：Atanassov 通過同時考慮隸屬度、非隸屬度、猶豫度提出直覺模糊集[2]這一概念；Torra考慮到?jīng)Q策者在決策過程中可能會對隸屬度值存在猶豫這一現(xiàn)象，提出了猶豫模糊集[3]這一概念；Zhu 等人通過定義可能隸屬度與可能非隸屬度提出對偶猶豫模糊集[4]這一概念。近幾年來，模糊集理論發(fā)展十分迅速，已經(jīng)取得了許多重要的成果。

對偶猶豫模糊集是猶豫模糊集的一個擴展，有關(guān)猶豫模糊集的研究已經(jīng)十分廣泛[5-12]。文獻[13-14]研究了對偶猶豫模糊集的聚合算子及其基本運算；Bahram[15]研究了對偶猶豫模糊集的相關(guān)系數(shù)，在其基礎(chǔ)上提出了區(qū)間值對偶猶豫模糊集這一新的概念，并研究了其相關(guān)系數(shù)；Zhao等人[16]首先研究了對偶猶豫模糊集的的熵應(yīng)滿足的公理化要求，然后構(gòu)造了對偶猶豫模糊集熵的公式，最后建立了熵模型；Li 等人[17]擴大了對偶猶豫模糊集相關(guān)系數(shù)的取值范圍，首次給出相關(guān)系數(shù)上下界的公式，將改進后的相關(guān)系數(shù)應(yīng)用于醫(yī)療診斷與投資決策等實際問題中; Wu 等人[18]研究了對偶猶豫模糊集的相關(guān)系數(shù)，并討論了其基本性質(zhì)；Li等人[19-20]研究了對偶猶豫模糊集距離測度、相關(guān)系數(shù)等概念，并給出了基于對偶猶豫模糊集的多屬性決策方法；隨后，同一作者，還研究了區(qū)間值對偶猶豫模糊集的熵和相似性測度；Song 等人[21]基于對偶猶豫模糊集的概念及運算性質(zhì)，引入了對偶猶豫模糊集截集的定義并給出了具體的性質(zhì)。

Wu 等人[22]在直覺模糊集[23-26]與對偶猶豫模糊集的基礎(chǔ)上，利用實數(shù)對構(gòu)成的集合來表示隸屬度與非隸屬度，提出直覺對偶猶豫模糊集這一概念，研究了直覺對偶猶豫模糊集的集結(jié)算子的性質(zhì)，并給出了具體的例子進行說明。由于直覺對偶猶豫模糊集既同時考慮隸屬度、非隸屬度，包含了猶豫模糊集隸屬度的不確定性，又對其非隸屬度進行補充，因此，可以更加細膩地描述事物的復雜性、模糊性的本質(zhì)，在處理不確定性信息時具有更強的表現(xiàn)能力，所以，直覺對偶猶豫模糊集在處理決策問題等方面具有舉足輕重的作用，值得各位學者不斷研究與學習。

2 預(yù)備知識

定義1[2]設(shè)X是一個固定的集合，X上的直覺模糊集A定義為：A={＜x,μA(x),νA(x)＞|x∈X}，其中，μA(x):X→[0,1]是A的隸屬度函數(shù)，νA(x):X→ [0,1]是A的非隸屬度函數(shù)，且 ?x∈X,0 ≤μA(x)+νA(x)≤1。對于X上的直覺模糊集，稱πA(x)=1-μA(x)-νA(x)為x對A的猶豫程度。顯然，對于 ?x∈X,0 ≤πA(x)≤1。

定義2[4]設(shè)X是一個固定的集合，X上的對偶猶豫模糊集A定義為：A={＜x,f(x),g(x)＞|x∈X}，其中，f(x)?[0,1]是x∈A的可能隸屬度值的集合，g(x)?[0,1]是x∈A的可能非隸屬度值的集合。

為了方便，稱H(x)=(f(x),g(x) )是對偶猶豫模糊元，簡記為H=(f,g)。

定義3[22]設(shè)X是一個固定的集合，X上的直覺對偶猶豫模糊集A定義為：A={＜x,hA(x)＞|x∈X}，其中hA(x)是由若干個不同的實數(shù)對(fA(x),gA(x) )組成的集合，fA(x):X→[0,1]是A的隸屬度函數(shù)，gA(x):X→[0,1]是A的非隸屬度函數(shù)，且 ?x∈X,0 ≤fA(x)+gA(x)≤1。

為了方便，稱h=hA(x)是直覺對偶猶豫模糊元，并且按照降序排列直覺對偶猶豫模糊數(shù)，令σ:(1,2,…,n)→(1,2,…,n)是一個置換，滿足hAσ(s)≥hAσ(s+1)，s=1,2,…,n-1。

定義4[27]設(shè)A={a1,a2,…,an} 和B={b1,b2,…,bn} 是兩個參數(shù)的集合，as和bs分別是A和B中第s大的元素，則A和B之間的距離分別為：

3 直覺對偶猶豫模糊集的距離測度

距離測度是模糊集理論研究中的重要內(nèi)容，已經(jīng)廣泛地應(yīng)用于決策分析、醫(yī)療診斷等領(lǐng)域。在決策分析中，利用距離測度的主要優(yōu)點是可以獲得兩種解決方案之間的差距，即每種解決方案與理想解決方案之間的差距。解決方案與理想解決方案之間的距離計算越小，解決方案越好。

比較常見的距離測度方法是Hamming距離、Euclidean 距離、Hausdorff 距離，下面基于這幾種距離測度方法定義直覺對偶猶豫模糊集的一系列距離測度。

定義5設(shè)直覺對偶猶豫模糊集A、B、C是定義在論域X={x1,x2,…,xn} 上的集合，如果滿足下列條件：

（1）0 ≤d(A,B)≤ 1 ；

（2）d(A,B)=0 當且僅當A=B；

（3）d(A,B)=d(B,A)；

（4）d(A,C)+d(C,B)≥d(A,B)。

則稱d(A,B)是A與B間的距離測度。

下面，基于定義5研究直覺對偶猶豫模糊集的距離測度。假設(shè)直覺對偶猶豫模糊集A、B是定義在論域X={x1,x2,…,xn} 上的集合，hA(xi)和hB(xi)分別是A、B的兩個直覺對偶猶豫模糊元，則兩直覺對偶猶豫模糊元之間的距離測度可表示為：

其中，hAσ(s)(xi)和hBσ(s)(xi)分別為hA(xi)={(fA(xi),gA(xi))},hB(xi)={(fB(xi),gB(xi) )}中第s大的元素，l(h)是直覺對偶猶豫模糊元hA(xi)和hB(xi)中實數(shù)對的個數(shù)。

基于標準Hamming 距離測度，下面定義直覺對偶猶豫模糊集的標準Hamming距離測度：

根據(jù)標準Hamming 距離測度，很容易給出直覺對偶猶豫模糊集的標準Hamming 距離測度這一定義，下證該定義滿足定義5中距離測度的4個條件。

證明對于條件（1），因為f(x):X→[0,1]，g(x):X→[0 ,1]，所以 0 ≤ |fAσ(s)(xi)-fBσ(s)(xi)|≤ 1 ，0 ≤ |gAσ(s)(xi)-gBσ(s)(xi)|) ≤1 ，所以 0 ≤d(A,B)≤1，條件（1）得證。

對于條件（2），若A=B，顯然d(A,B)=0，下證，若d(A,B)=0，則A=B。

因為d(A,B)=0，則必有d(hAσ(s)(xi),hBσ(s)(xi))=0 ，即|fAσ(s)(xi)-fBσ(s)(xi)|+|gAσ(s)(xi)-gBσ(s)(xi)|=0 ，所 以|fAσ(s)(xi)-fBσ(s)(xi)|=0 且 |gAσ(s)(xi)-gBσ(s)(xi)|=0 ，也 就是 說 ，fAσ(s)(xi)=fBσ(s)(xi) 且gAσ(s)(xi)=gBσ(s)(xi) ，所 以 ，A=B，條件（2）得證。

對于條件（3），顯然，|fAσ(s)(xi)-fBσ(s)(xi)|+|gAσ(s)(xi)-gBσ(s)(xi)|=|fBσ(s)(xi)-fAσ(s)(xi)|+|gBσ(s)(xi)-gAσ(s)(xi)|，所以，d(A,B)=d(B,A) ，條件（3）得證。

對于條件（4），令：

因為，對任意的三個實數(shù)，x、y、z都有d(x,y)≤d(x,z)+d(z,y)成立，所以：

條件（4）得證。

由上述證明可知，基于標準Hamming距離測度，本文給出的直覺對偶猶豫模糊集的標準Hamming距離測度這一定義合理。下面給出其他距離測度。

基于標準Euclidean 距離測度，直覺對偶猶豫模糊集的標準Euclidean距離測度為：

基于加權(quán)Hamming 距離測度，直覺對偶猶豫模糊集的加權(quán)Hamming距離測度為：

基于加權(quán)Euclidean 距離測度，直覺對偶猶豫模糊集的加權(quán)Euclidean距離測度為：

基于Hausdorff 距離測度，直覺對偶猶豫模糊集的Hausdorff距離測度為：

其中，fAσ(s)(xi)是fA(xi)中第s大的隸屬度值，gAσ(s)(xi)是gA(xi)中第s大的非隸屬度值。l(h)是直覺對偶猶豫模糊元hA(x)中實數(shù)對的個數(shù)。

4 直覺對偶猶豫模糊集的相關(guān)系數(shù)

定義6設(shè)A={＜x,hA(x)＞|x∈X}，B={＜x,hB(x)＞|x∈X}是固定集合X上的兩個直覺對偶猶豫模糊集，稱

為A和B的相關(guān)性指標。

性質(zhì)1設(shè)A、B是固定集合X上的兩個直覺對偶猶豫模糊集，則C(A,B)=C(B,A) 。

證明由定義6可知，顯然，性質(zhì)1成立。

定義7設(shè)A、B是固定集合X上的兩個直覺對偶猶豫模糊集，稱為A和B的相關(guān)系數(shù)。由定義6可知：

性質(zhì)2設(shè)A、B是固定集合X上的兩個直覺對偶猶豫模糊集，則R(A,B)為A和B的相關(guān)系數(shù)，則有下列式子成立：

（1）R(A,B)=R(B,A) ；

（2）0 ≤R(A,B)≤1；

（3）R(A,A)=1。

定義8設(shè)A、B是固定集合X上的兩個直覺對偶猶豫模糊集，設(shè)權(quán)重信息為1,wk≥0，則稱：

為A和B的加權(quán)相關(guān)系數(shù)。

5 直覺對偶猶豫模糊集的熵

定義9設(shè)M、N是固定集合X上的兩個直覺對偶猶豫模糊元，如果F:X→[0,1]滿足下列條件：

（1）當M={( 0,1)} 或M={( 1,0)} 時，F(xiàn)(M)=0。

（2）如果fM=gM，則F(M)=1。

（3） 對 ?i，當fMσ(s)(xi)≤gMσ(s)(xi)時，有fNσ(s)(xi)≤gMσ(s)(xi)且gNσ(s)(xi)≥gMσ(s)(xi)；或當fMσ(s)(xi)≥gMσ(s)(xi)時，有fNσ(s)(xi)≥gMσ(s)(xi)且gNσ(s)(xi)≤gMσ(s)(xi)，則F(N)≤F(M)。

（4）F(M)=F(MC)。

則稱F是直覺對偶猶豫模糊元M和N的熵。

設(shè)A是固定集合X上的直覺對偶猶豫模糊集，則構(gòu)造A的熵為：

6 直覺對偶猶豫模糊集在多屬性群決策中的應(yīng)用

在多屬性群決策中，由于人類認知能力有限，以及客觀世界本身的不確定性，導致屬性權(quán)重部分未知或完全未知。本文討論在屬性權(quán)重完全未知的群決策環(huán)境下，通過對直覺對偶猶豫模糊集的熵的定義，建立直覺對偶猶豫模糊集各屬性客觀權(quán)重模型，結(jié)合決策者的主觀權(quán)重，得到各屬性的綜合權(quán)重。由于距離度量可以獲得兩個方案之間的差異性，而相關(guān)系數(shù)可以用來度量兩個模糊信息之間的相關(guān)關(guān)系，因此本章基于理想方案與備選方案間的直覺對偶猶豫模糊集的距離測度、相關(guān)系數(shù)，提出一種新的多屬性群決策方法。

令A(yù)={A1,A2,…,Am} 為備選方案集，E={E1,E2,…,En} 為屬性集，將專家對各備選方案在各屬性下的評價用矩陣T=(aij)m×n來表示，在直覺對偶猶豫模糊決策矩陣中，aij={(fAi(Ej),gAi(Ej) )}是一個直覺對偶猶豫模糊元，表示專家們對備選方案Ai在屬性Ej下的評價。假設(shè)各屬性的權(quán)重信息完全未知，且w={w1,w2,…,wn}且。

常見的賦權(quán)方法有主觀賦權(quán)法、客觀賦權(quán)法，但主觀賦權(quán)會使得決策或評價結(jié)果具有較強的主觀隨意性，客觀性較差，同時增加了對決策分析者的負擔，在實際應(yīng)用中有很大局限性。而客觀賦權(quán)法沒有考慮決策者的主觀意向，有時會使確定的權(quán)重與人們的主觀愿望或?qū)嶋H情況不一致，使人感到困惑。因此，本文選擇將主觀賦權(quán)與客觀賦權(quán)綜合起來，使用綜合賦權(quán)法來確定各屬性的權(quán)重。

因為熵Fj表示的是屬性Ej中評價信息的不確定性程度，所以，熵值與對應(yīng)權(quán)重的關(guān)系應(yīng)該是Fj越大，Ej的權(quán)重越小，F(xiàn)j越小，Ej的權(quán)重越大。所以，基于直覺對偶猶豫模糊集的熵，建立如下屬性客觀權(quán)重模型：

則客觀權(quán)重為：a={a1,a2,…,an}

假設(shè)決策者對各個屬性的主觀權(quán)重為b={b1,b2,…,bn} ，則利用“加法”集成法可得wj=αaj+(1-α)bj(0 ≤α≤1)，其中wj表示第j個屬性的組合權(quán)重，ai、bi分別為第j個屬性的客觀權(quán)重和主觀權(quán)重，當決策者對不同賦權(quán)方法存在偏好時，α能夠根據(jù)決策者的偏好信息來確定。

下面基于直覺對偶猶豫模糊集的加權(quán)Hamming距離，綜合賦權(quán)法給出一種新的多屬性群決策算法：

算法1

步驟1根據(jù)專家提供的決策信息構(gòu)造直覺對偶猶家公司A={A1,A2,A3,A4} 的服務(wù)器可以進行選擇，為選定的服務(wù)器考慮下面3個屬性E={E1,E2,E3} 進行評估，其中E1代表“可帶來的收益”，E2代表“遷移的成本”，E3代表“遷移容易程度”。

假設(shè)管理者們對屬性的主觀權(quán)重設(shè)置為b={0.4,0.4,0.2}，3位行業(yè)專家對各家公司在各屬性下的評價構(gòu)成直覺對偶猶豫模糊決策矩陣：

步驟2計算各屬性的客觀權(quán)重a={a1,a2,…,an} ，輸入決策者對各個屬性的主觀權(quán)重為b={b1,b2,…,bn} ，以及賦權(quán)偏好α，最后，得到各屬性的權(quán)重wj=αaj+(1-α)bj。

步驟3利用直覺對偶猶豫模糊集的加權(quán)Hamming距離測度公式，計算各備選方案Ai與理想方案A*={( 1,0)*}之間的距離測度d(A,A*)。

步驟4根據(jù)距離測度的大小，對各備選方案進行排序，距離測度越小，方案越優(yōu)，反之，方案越劣，最后，選出最優(yōu)方案。

下面基于直覺對偶猶豫模糊集的加權(quán)相關(guān)系數(shù)，綜合賦權(quán)法給出一種新的多屬性群決策算法：

算法2

步驟1根據(jù)專家提供的決策信息構(gòu)造直覺對偶猶豫模糊決策矩陣。

步驟2計算各屬性的客觀權(quán)重a={a1,a2,…,an} ，輸入決策者對各個屬性的主觀權(quán)重為b={b1,b2,…,bn} ，以及賦權(quán)偏好α，最后，得到各屬性的權(quán)重wj=αaj+(1-α)bj。

步驟3計算各備選方案Ai與理想方案A*={( 1,0)*}之間的加權(quán)相關(guān)系數(shù)。

步驟4根據(jù)加權(quán)相關(guān)系數(shù)的大小，對各備選方案進行排序，加權(quán)相關(guān)系數(shù)越大，方案越優(yōu)，反之，方案越劣，最后，選出最優(yōu)方案。

下面給出一個例子對上述算法進行說明。

隨著信息化時代的發(fā)展，某公司在生產(chǎn)銷售過程中產(chǎn)生了大量的數(shù)據(jù)，并且分布在不同的服務(wù)器上，為了方便管理，企業(yè)管理者考慮采用云存儲服務(wù)來將不同服務(wù)器上的數(shù)據(jù)進行集中，經(jīng)過各部門初步篩選，現(xiàn)在有4

步驟1根據(jù)直覺對偶猶豫模糊決策矩陣，利用客觀權(quán)重模型公式，計算各屬性客觀權(quán)重為a={0.376 6,0.284 8,0.338 6}，考慮主觀權(quán)重為b={0.4,0.4,0.2} ，假設(shè)管理者對不同賦權(quán)方法存在偏好，即認為客觀賦權(quán)的權(quán)重值占比40%，即α=0.4，因此，最終得到各屬性的綜合權(quán)重值為w={0.390 64,0.353 92,0.255 44}。

步驟2計算各備選方案與理想方案A*之間的加權(quán) Hamming 距離：dw(A1,A*)=0.376 65 ，dw(A2,A*)=0.299 75，dw(A3,A*)=0.377 24，dw(A4,A*)=0.340 51。

步驟3 根據(jù)計算得到的加權(quán)Hamming距離可知，4家公司的排序為A2?A4?A1?A3，從而利用算法1得出最優(yōu)方案為A4。

按照算法2可知，通過計算各備選方案與理想方案A*之間的加權(quán)相關(guān)系數(shù)分別為：rw(A1,A*)=0.850 83，rw(A2,A*)=0.911 82，rw(A3,A*)=0.859 09，rw(A4,A*)=0.877 46，根據(jù)計算得到的加權(quán)相關(guān)系數(shù)可知，4家公司的排序為A2?A4?A3?A1，從而利用算法2得出最優(yōu)方案為A4。

從上述排序結(jié)果可以看出，雖然兩種方法的評價方法不完全相同，但是最終選擇卻完全相同，也就是說，無論是基于距離測度，還是基于相關(guān)系數(shù)，直覺對偶猶豫模糊集均能很好地描述問題的模糊性與不確定性。因此，本文提出的新決策方法可以使決策結(jié)果更合理，具有有效性和可行性，具有更高的實用價值。

7 結(jié)束語

本文首先給出了直覺對偶猶豫模糊集的距離測度公式，其次給出了直覺對偶猶豫模糊集的相關(guān)系數(shù)、加權(quán)相關(guān)系數(shù)公式，并且討論了相關(guān)系數(shù)具有的性質(zhì)，然后給出了直覺對偶猶豫模糊集的熵的定義及其計算公式。最后給出了在屬性權(quán)重未知的情況下，利用信息熵求屬性客觀權(quán)重的模型公式，再利用綜合賦權(quán)法，求得了各屬性的權(quán)重，然后分別給出了基于距離測度與相關(guān)系數(shù)的多屬性群決策算法，并通過實例說明了該算法的有效性與可行性。