■天津市咸水沽第四中學(xué) 劉志華

一、專題教學(xué)目標(biāo)

1.了解網(wǎng)格的基本功能，學(xué)會(huì)借助網(wǎng)格作垂線、作平行線、等分線段等。2.會(huì)利用網(wǎng)格解決較基礎(chǔ)的作圖。

二、教學(xué)重難點(diǎn)

網(wǎng)格問題囊括很多方法，密切結(jié)合初中數(shù)學(xué)知識(shí)。在新課標(biāo)對(duì)作圖要求統(tǒng)領(lǐng)下，既考查了學(xué)生借助網(wǎng)格綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題的能力，又提高了學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)語言精準(zhǔn)表述的能力。確定本課的教學(xué)重點(diǎn)是：學(xué)會(huì)利用網(wǎng)格作平行線、作垂線、等分線段等基本操作，并在此基礎(chǔ)上進(jìn)行中考題的思考和探究。教學(xué)難點(diǎn)是：知道作圖的道理，讓學(xué)生借助網(wǎng)格綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題。

三、教學(xué)支持條件分析

借助信息技術(shù)工具，以幾何畫板為平臺(tái)，更形象直觀地體現(xiàn)平移、旋轉(zhuǎn)等動(dòng)態(tài)過程，繪制網(wǎng)格圖。

四、教學(xué)過程設(shè)計(jì)（建議兩課時(shí)）

（一）認(rèn)識(shí)網(wǎng)格

1.網(wǎng)格具備什么？位置特征：平行線、垂線；數(shù)量特征：等長線段；圖形特征：口、日、田，等等（特別強(qiáng)調(diào)：這些特征能賦予圖形一些特殊關(guān)系，進(jìn)而使圖形的幾何性質(zhì)得以特殊化、數(shù)量化）。

2.我們能用網(wǎng)格做什么？(1)做平行（利用平移）；(2)做垂直（利用旋轉(zhuǎn)）；(3)等分線段（利用A字型或X字型）；(4)做等角（利用三角函數(shù)）；(5)做部分長度為無理數(shù)的線段……師生活動(dòng)：課前預(yù)留作業(yè)。教師提前錄制微視頻，把網(wǎng)格的位置特征、數(shù)量特征、圖形特征形象化。

設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生快速進(jìn)入網(wǎng)格情境，為后續(xù)學(xué)習(xí)做鋪墊，明確網(wǎng)格的工具性特征，增加了神秘感，激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)興趣。

（二）基本作圖

1.如圖1：(1)選格點(diǎn)A，B，C，過C點(diǎn)作線段AB的平行線；(2)選格點(diǎn)A，B，過B作線段AB的垂線；(3)選格點(diǎn)A，B，作線段AB的中垂線。

圖1

2.如圖2，（1）將線段AB平分，（2）在線段AB上有一點(diǎn)P，使AP∶BP=3∶4，畫出點(diǎn)P。

圖2

法一：（構(gòu)造X字型）取格點(diǎn)C，使AC=3，取格點(diǎn)D，使BD=4。連CD交AB于點(diǎn)P。

法二：（構(gòu)造A字型）取格點(diǎn)C，使AC=7，取格點(diǎn)D，使AD=3，連接BC，過D作DE∥BC，交AB于點(diǎn)P。

法三：如果格不夠，可以縮小比例，不要增加格點(diǎn)，如圖構(gòu)造X字型，相似比為1.5∶2。

師生活動(dòng)：學(xué)生慢慢熟悉借助網(wǎng)格進(jìn)行作圖，并理解其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)道理。

設(shè)計(jì)意圖：通過以上基本作圖練習(xí)，讓學(xué)生體會(huì)將全等、相似等數(shù)學(xué)知識(shí)運(yùn)用到網(wǎng)格中的必要性，求解這類問題的關(guān)鍵，還是要抓住圖形變換的要素，找準(zhǔn)位置關(guān)系。

（三）案例分析

2017年天津市中考第（18）題：

如圖3，在每個(gè)邊長為1的小正方形網(wǎng)格中，點(diǎn)A，B，C均在格點(diǎn)上。

（Ⅰ）AB的長等于______；

（Ⅱ）在△ABC的內(nèi)部有一點(diǎn)P，滿足SΔPAB∶SΔPBC∶SΔPCA=1∶2∶3

請(qǐng)?jiān)谝韵戮W(wǎng)格中，用無刻度的尺，畫出點(diǎn)P，并要說明點(diǎn)P的位置是如何找到的（不證明）

師生活動(dòng)：學(xué)生進(jìn)一步分析、體會(huì)。教師引導(dǎo)學(xué)生回憶數(shù)學(xué)知識(shí)(共邊三角形的性質(zhì)、圖形面積割補(bǔ)法等)總結(jié)兩種思路：

圖3

思路1：運(yùn)用共邊三角形的性質(zhì)。

如圖4，假設(shè)所求點(diǎn)P已作出，那么它需要同時(shí)滿 足 兩 個(gè) 條 件：①SΔPAB∶SΔPBC=1∶2，②SΔPBC∶SΔPCA=2∶3，不妨先放棄條件②，如圖5，延長BP交AC于點(diǎn)D，由具有相同底的兩個(gè)三角形面積比等于對(duì)應(yīng)高之比，結(jié)合相似三角形性質(zhì)可得SΔPAB∶SΔPBC=AD∶CD=1∶2。只要在AC作出點(diǎn)D，使AD:CD=1∶2，則滿足條件①的點(diǎn)P都在BD上；同理，如圖6，在AB上取點(diǎn)E，當(dāng)BE∶AE=2∶3時(shí)，滿足條件②的點(diǎn)P都在CE上。綜上，BD和CE的交點(diǎn)即為所求。

在這里利用平行線分線段成比例定理和相似三角形的性質(zhì)把線段按指定的比值分割，如圖7作出點(diǎn)D、E，連接AE和BD，如圖8，交點(diǎn)P即為所求。

圖4

圖5

圖6

圖7

圖8

思路2：等積變形

由SΔPAB∶SΔPBC∶SΔPCA=1∶2∶3，易 知，取AB中點(diǎn)E，如圖9，則SΔEAC∶SΔABC=1∶2。過點(diǎn)E做EF//AC交BC于F，如圖10，易知當(dāng)點(diǎn)P在EF運(yùn)動(dòng)時(shí)，有。所以在△ABC內(nèi)部，所求的點(diǎn)P一定在EF上；同理，如圖11、12，分別作出AB和AC三等分點(diǎn)G，H，則所求點(diǎn)P一定在GH上。綜上，如圖13，EF和GH的交點(diǎn)即為所求。

圖9

圖10

圖11

圖12

圖13

思路1結(jié)合共邊的兩三角形高的比是兩相似三角形的相似比，先找到符合使S△PAB∶S△PBC=1∶2和S△PBC∶S△PCA=2∶3所在的直線，兩線相交即為所求。學(xué)生熟知三角形中線，能將三角形分成面積相等的兩部分，以此延伸三角形面積3等分，甚至n等分的方法。思路2和思路1相似，區(qū)別在于運(yùn)用同底等高的三角形面積相等的知識(shí)，得到三角形面積的二分之一、三分之一，再找到交點(diǎn)。設(shè)計(jì)意圖：此題有利于提高學(xué)生借助網(wǎng)格綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題的能力。題目以網(wǎng)格為載體，以學(xué)生熟悉的等分面積為問題，增強(qiáng)了解決問題的信心。

（四）學(xué)以致用

如圖14，在每個(gè)小正方形的邊長為1的網(wǎng)格中，點(diǎn)A、B、C均在格點(diǎn)上。

（1）AB=_____。（2）請(qǐng)你借助網(wǎng)格和無刻度的直尺，作出一個(gè)以AB為邊的矩形，使矩形的面積等于△ABC的面積，并簡要說明你的作圖方法(不證明)。

圖14

師生活動(dòng)：教師布置習(xí)題，根據(jù)課上的實(shí)際情況讓學(xué)生選作。設(shè)計(jì)意圖：鞏固基本作法，引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)系相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)，總結(jié)解題策略?？梢韵热サ艟W(wǎng)格背景，算出矩形邊長，還原數(shù)學(xué)本質(zhì)，研究通法（先算后畫）；也可以利用網(wǎng)格特征，猜測或拼湊，然后再論證（先畫后證）。

（五）課堂小結(jié)

1.這節(jié)課學(xué)到了哪些網(wǎng)格基本作圖？2.網(wǎng)格問題的解題策略是什么？師生活動(dòng)：從學(xué)習(xí)內(nèi)容、基本方法、解題策略幾個(gè)方面進(jìn)行概括總結(jié)。設(shè)計(jì)意圖：借助小結(jié)，引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)基本作圖、基本策略。

五、幾點(diǎn)思考

（一）從學(xué)生實(shí)際出發(fā)，低起點(diǎn)緩步推進(jìn)

網(wǎng)格作圖問題立意新穎、綜合性強(qiáng)，對(duì)于農(nóng)村校的學(xué)生普遍感到困難。首先應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生從位置、數(shù)量、圖形等方面領(lǐng)會(huì)網(wǎng)格自身的特征賦予了圖形的特殊關(guān)系，進(jìn)而使圖形得以特殊化、數(shù)量化。接著以基本作圖為載體，讓學(xué)生體會(huì)網(wǎng)格可以作為作圖工具替代傳統(tǒng)刻度尺和圓規(guī)，這樣增加了數(shù)學(xué)味道，更注重挖掘其蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)道理，激發(fā)學(xué)生的探究興趣。

（二）從中考真題入手，落實(shí)綜合實(shí)踐課程內(nèi)容

新課標(biāo)指出：綜合與實(shí)踐的內(nèi)容，設(shè)置的目的在于培養(yǎng)學(xué)生的問題意識(shí)、應(yīng)用意識(shí)，積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，提高解決問題的能力。師生一起探究中考題這道綜合實(shí)踐類問題，讓學(xué)生運(yùn)用教材原題提煉基本圖形，再解決問題。這樣預(yù)測結(jié)果，利用基本圖形分析問題，有助于探索解決問題的思路，提升學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、直觀想象、數(shù)據(jù)分析等數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

（三）從總結(jié)通法著力，期待能拋磚引玉

筆者精選和例題有聯(lián)系兩道題，鼓勵(lì)學(xué)生多角度探究，在實(shí)踐的過程中注意引導(dǎo)學(xué)生明確作圖的道理，把握幾何圖形的特征和性質(zhì)，找到各元素之間的關(guān)系，抓住本質(zhì)、總結(jié)通法，從而鞏固基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能，形成網(wǎng)格問題的基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，提升發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題的能力。

（四）從網(wǎng)格功能審視，今后要繼續(xù)完善

考慮本節(jié)內(nèi)容較難，筆者將本課設(shè)為兩課時(shí)，盡管如此，還是有很多遺憾。比如進(jìn)行了作平行線、作垂直、等分線段這三個(gè)基本作圖的教學(xué)，對(duì)于其他基本作圖還沒有涉及，在以后的教學(xué)工作中，筆者會(huì)繼續(xù)完善，繼續(xù)研究，期待網(wǎng)格問題被更多的師生悅納，讓這么富有魅力的小小網(wǎng)格發(fā)揮最大的育人功效！