李明超,崔明月

(煙臺(tái)大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院,山東 煙臺(tái) 264005)

在現(xiàn)代大型工業(yè)中, 室內(nèi)外工礦企業(yè)、 鋼鐵化工、 鐵路交通、 港口碼頭等對(duì)橋式吊車系統(tǒng)的應(yīng)用非常普遍.這吸引了越來越多的工程師關(guān)注橋式吊車的建模和控制問題, 以提高其在作業(yè)中的安全性和高效性.對(duì)于橋式吊車的跟蹤控制問題, 文獻(xiàn)[1]建立了非線性模型并根據(jù)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)了一個(gè)反推控制器. 文獻(xiàn)[2]提出了一種具有魯棒性的非線性信息融合控制算法. 文獻(xiàn)[3]放寬了對(duì)參考軌跡的要求, 提出了一種新型的軌跡跟蹤控制策略保證負(fù)載快速平穩(wěn)運(yùn)送.為了處理不確定性, 文獻(xiàn)[4]設(shè)計(jì)了一個(gè)模糊自適應(yīng)PID控制器使得負(fù)載可以快速到達(dá)指定位置.然而, 以上文獻(xiàn)大多采用基于力或力矩的控制策略來達(dá)到期望的目標(biāo).在考慮實(shí)際應(yīng)用問題時(shí)存在著不考慮執(zhí)行機(jī)構(gòu)作用的缺點(diǎn).

由于電壓執(zhí)行機(jī)構(gòu)具有較高的可控性,因此電動(dòng)機(jī)驅(qū)動(dòng)的橋式吊車越來越受到工程界的重視.因直流電動(dòng)機(jī)具有體積小、重量輕、效率高等突出優(yōu)點(diǎn),在橋式吊車控制中得到了廣泛應(yīng)用.對(duì)帶有直流電機(jī)提供驅(qū)動(dòng)力的橋式吊車系統(tǒng), 文獻(xiàn)[5]設(shè)計(jì)了模糊自適應(yīng)PID 控制器. 文獻(xiàn)[6]采用非線性PID 控制器進(jìn)行跟蹤控制, 使系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)定性.然而以上都是在確定的環(huán)境下進(jìn)行車擺系統(tǒng)的跟蹤控制.

隨著工業(yè)技術(shù)的發(fā)展,人們自然希望橋式吊車能在許多隨機(jī)振動(dòng)環(huán)境中也能很好地作業(yè).如何描述隨機(jī)擾動(dòng)和將它們合理地引入到系統(tǒng)中是隨機(jī)建模和控制的關(guān)鍵.傳統(tǒng)的研究思路是將隨機(jī)噪聲設(shè)為白噪聲建模,然后將白噪聲看作是維納的形式導(dǎo)數(shù)并建立It型隨機(jī)微分方程系統(tǒng)(SDEs).對(duì)于不同的機(jī)械系統(tǒng), 文獻(xiàn)[7-9]研究了隨機(jī)建模和控制器設(shè)計(jì)方法.對(duì)于受外部隨機(jī)激勵(lì)和不確定擾動(dòng)的車擺系統(tǒng), 文獻(xiàn)[10]建立了隨機(jī)非線性動(dòng)態(tài)模型并基于耗散性設(shè)計(jì)了干擾抑制控制器.但白噪聲具有無限帶寬且能量是無限大的, 而實(shí)際工程中隨機(jī)擾動(dòng)是比較溫和的. 因此將隨機(jī)擾動(dòng)描述為有色噪聲更合理.

文獻(xiàn)[11]構(gòu)建了一個(gè)關(guān)于隨機(jī)微分方程系統(tǒng)(RDEs)的穩(wěn)定性的完整的理論框架, 其中隨機(jī)噪聲是有色噪聲. 在此基礎(chǔ)上,文獻(xiàn)[12-13]研究了受有色噪聲干擾的非線性基準(zhǔn)系統(tǒng)、汽車懸架系統(tǒng)的隨機(jī)建模與控制問題. 對(duì)于受有色噪聲干擾的拉格朗日系統(tǒng), 文獻(xiàn)[14]設(shè)計(jì)了一個(gè)跟蹤控制器并應(yīng)用到了車擺系統(tǒng)中. 但是, 對(duì)受直流電機(jī)驅(qū)動(dòng)的橋式吊車系統(tǒng)的隨機(jī)建模與軌跡跟蹤問題目前還沒有研究. 本文主要解決這些問題, 主要工作如下:

(1) 如何將隨機(jī)噪聲合理地引入到系統(tǒng)是建模的難點(diǎn). 首先在確定情形下, 利用拉格朗日力學(xué)[15]、牛頓力學(xué)和電磁學(xué)建立直流電機(jī)驅(qū)動(dòng)的橋式吊車系統(tǒng)的模型. 然后利用動(dòng)靜法, 將環(huán)境中的隨機(jī)擾動(dòng)轉(zhuǎn)化為對(duì)力或力矩的隨機(jī)干擾;利用等效電路, 將電路中的熱噪聲轉(zhuǎn)化為對(duì)電壓的隨機(jī)干擾,從而建立系統(tǒng)的隨機(jī)模型.

(2) 隨機(jī)噪聲的存在增加了跟蹤控制器設(shè)計(jì)的難度. 基于所建立的模型,通過選擇合適的Lyapunov函數(shù),利用向量式的Backstepping方法和將噪聲分離出來的技術(shù),設(shè)計(jì)了一個(gè)可調(diào)參數(shù)的跟蹤控制器使得跟蹤誤差的二階矩可通過調(diào)節(jié)參數(shù)達(dá)到任意小,同時(shí)保證閉環(huán)系統(tǒng)的所有信號(hào)是依概率有界的.最后仿真結(jié)果說明了策略的有效性.

1 問題提出

考慮如圖1所示由直流電動(dòng)機(jī)驅(qū)動(dòng)的橋式吊車系統(tǒng). 一個(gè)質(zhì)量為m1(單位kg)的小車可以沿著光滑的水平導(dǎo)軌滑動(dòng), 一個(gè)質(zhì)量為m2(單位kg)負(fù)載由一根長(zhǎng)為l(單位m)的剛性吊索連接在小車上,負(fù)載僅在垂直平面上擺動(dòng). 重力加速度為g(單位m/s2). 直流電動(dòng)機(jī)1給小車提供一個(gè)水平力F1(單位N), 直流電動(dòng)機(jī)2給剛性吊索和負(fù)載提供一個(gè)扭轉(zhuǎn)力矩F2(單位N·m).小車的水平位移為q1(單位m), 剛性吊索和負(fù)載的擺角為q2(單位rad).在本文中用的是永磁直流電動(dòng)機(jī)并且轉(zhuǎn)子關(guān)于轉(zhuǎn)軸是對(duì)稱的.第i(i=1,2)個(gè)直流電動(dòng)機(jī)的電感、電阻和電流分別為L(zhǎng)i(單位mH)、Ri(單位Ω) 和Ii(單位A),控制ui(單位V)是第i個(gè)直流電動(dòng)機(jī)的電壓.由于受環(huán)境的影響, 導(dǎo)軌是隨機(jī)振動(dòng)的. 如文獻(xiàn)[7]中所述將隨機(jī)振動(dòng)描述為隨機(jī)加速度,讓?duì)?(t)(單位m/s2)和ξ2(t)(單位m/s2)分別表示水平和豎直方向的加速度(見圖1), 它們可看作是獨(dú)立的平穩(wěn)過程.

給定參考信號(hào)qr(t)=[qr1(t),qr2(t)]T∈3, 在忽略剛性吊索的質(zhì)量, 小車與吊索的摩擦力和不考慮空氣阻力下,本文的目標(biāo)是設(shè)計(jì)一個(gè)控制器使得軌跡q=(q1,q2)T盡可能地跟蹤到參考信號(hào)qr,這里是有界的, 同時(shí)保證閉環(huán)系統(tǒng)的所有信號(hào)依概率有界.

2 系統(tǒng)建模

合理的建模是設(shè)計(jì)控制器的關(guān)鍵.下面分2步對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行合理的建模.

2.1 在確定情形下建模

假設(shè)系統(tǒng)不受環(huán)境影響, 即ξ1=ξ2=0. 考慮由小車和負(fù)載組成的質(zhì)點(diǎn)系, 選擇廣義坐標(biāo)q1和q2.在如圖1所示的坐標(biāo)系Oxy下, 質(zhì)點(diǎn)的自然坐標(biāo)為

(1)

則系統(tǒng)的動(dòng)能為

(2)

選取x軸為零勢(shì)能面，則系統(tǒng)的勢(shì)能為

P=m1gy1+m2gy2=-m2glcosq2.

(3)

則拉格朗日函數(shù)為L(zhǎng)=T-P. 根據(jù)拉格朗日力學(xué)得

(4)

寫成緊湊形式為

(5)

假設(shè)直流電動(dòng)機(jī)中無熱噪聲, 根據(jù)電磁學(xué), 直流電動(dòng)機(jī)可以建立如下模型:

(6)

直流電機(jī)提供給小車的水平力F1及剛性吊索和負(fù)載的力矩F2分別為

F1=k1I1,F2=k2I2.

(7)

其中k1表示電動(dòng)機(jī)1提供的力的系數(shù),k2表示電動(dòng)機(jī)2提供的力矩的系數(shù). 從而, 系統(tǒng)在確定情形下的模型為

(8)

其中Uk=diag{k1,k2}.

2.2 在隨機(jī)情形下的建模

考慮環(huán)境中的隨機(jī)振動(dòng), 注意到ξ1(t),ξ2(t)分別表示水平和豎直方向的加速度(圖1),對(duì)ξ2(t)沿著吊索的方向和垂直于吊索的方向進(jìn)行分解, 如圖2 所示.根據(jù)相對(duì)運(yùn)動(dòng)和動(dòng)靜法,小車和負(fù)載受到的隨機(jī)力和隨機(jī)力矩分別為

(9)

因此環(huán)境中隨機(jī)振動(dòng)對(duì)系統(tǒng)的影響可看作是隨機(jī)噪聲Λ(q)ξ對(duì)力和力矩的干擾, 其中Λ(q)=diag{-m1,-m2lsinq2}和ξ=(ξ1,ξ2)T.

眾所周知,電路系統(tǒng)中存在熱噪聲, 有時(shí)熱噪聲不容忽視. 為了處理熱噪聲, 根據(jù)等效電路, 真實(shí)的噪聲電阻通常表示為一個(gè)理想的電阻和一個(gè)電壓噪聲串聯(lián).因此, 直流電機(jī)中的熱噪聲可以看作是噪聲η=(η1,η2)T對(duì)電壓的干擾, 其中η是一個(gè)平穩(wěn)過程.

對(duì)于受隨機(jī)干擾的橋式吊車系統(tǒng), 將Λ(q)ξ加到系統(tǒng)(8)中的第一個(gè)方程中并用u+η替換系統(tǒng)(8)中u, 則可建立系統(tǒng)的隨機(jī)模型為

(10)

2.3 模型的性質(zhì)

性質(zhì)1存在常數(shù)λ1>0和λ2>0, 使得

0<λ1I2×2≤D(q)≤λ2I2×2,?q∈2.

(11)

(12)

這2個(gè)性質(zhì)在控制器設(shè)計(jì)和穩(wěn)定性分析中起著重要的作用.

3 軌跡跟蹤控制

為了設(shè)計(jì)控制器, 將系統(tǒng)(10)轉(zhuǎn)化為如下準(zhǔn)下三角結(jié)構(gòu)

(13)

易證得函數(shù)D(q),C(q,v),σ(q)和Λ(q)是光滑的. 完備概率空間為四元組(Ω,F,Ft,P),Ft為濾波且滿足一般性條件(遞增且為右連續(xù)的,F0包含所有的P-零概集). 為了達(dá)到控制目標(biāo)，對(duì)隨機(jī)噪聲需進(jìn)一步假設(shè).

假設(shè)1假設(shè)平穩(wěn)過程ξ和η是Ft適應(yīng)過程并且是分段連續(xù)的, 假設(shè)存在K>0滿足

(14)

3.1 跟蹤控制器設(shè)計(jì)

Step1:引入誤差

(15)

則

(16)

(17)

其中設(shè)計(jì)參數(shù)c1>0.

Step2:令

z3=I-α2.

(18)

由式(15)和(18)知

(19)

(20)

根據(jù)Young不等式則有

(21)

其中d1>0. 根據(jù)性質(zhì)2, 并將式(21)代入式(20), 整理得到

(22)

令

(23)

其中c2>0, 由此可以得到

(24)

Step3: 根據(jù)式(10)和式(18), 整理得到

(25)

(26)

利用Young不等式得到

(27)

其中d2>0,d3>0, 所以V3的導(dǎo)數(shù)是

(28)

選取控制器u為

(29)

其中設(shè)計(jì)參數(shù)c3>0, 則

(30)

(31)

3.2 穩(wěn)定性分析

定理1對(duì)于隨機(jī)系統(tǒng)(10), 給定有界參考信號(hào)qr∈3, 在假設(shè)1和控制器(29)下,

(1) 閉環(huán)系統(tǒng)(31)是NSS-P的, 即對(duì)?ε>0,存在一個(gè)KL類函數(shù)β(., .)和一個(gè)K類函數(shù)γ( .),

使得

P{|x(t)|≤β(|x0|,t-t0)+γ(δK)}≥1-ε,?t∈[t0,∞),x0∈4,

(32)

其中x=[q1,q2,v1,v2]T和δK=δ1K.

(2) 閉環(huán)系統(tǒng)所有的信號(hào)是依概率有界的.

(3) 跟蹤誤差z1=q-qr滿足

(33)

其中不等式右端可以通過調(diào)節(jié)合適的參數(shù)使得足夠的小.

f1|z|2≤V≤f2|z|2,

(34)

(35)

再結(jié)合式(34)可得

(36)

這蘊(yùn)含著z是依概率有界的. 事實(shí)上, 由Chebyshev不等式知

(37)

注意到qr是有界的和z1=q-qr,q是依概率有界. 同理因參考信號(hào)qr的三階導(dǎo)數(shù)是有界的, 則由式(15), (18)和αi的定義知v,I是依概率有界. 這再結(jié)合式(29)得u是依概率有界的.

進(jìn)一步, 由V的定義和式(35)所以

4 仿真實(shí)驗(yàn)

在仿真中, 平穩(wěn)過程?可由下式產(chǎn)生

(38)

其中a>0是一個(gè)設(shè)計(jì)常數(shù),w(t)∈是一個(gè)零均值的有限帶寬白噪聲, 它的噪聲功率為A, 采樣時(shí)間為tc.由文獻(xiàn)[11]知?是一個(gè)零均值寬平穩(wěn)過程, 它的均方為隨機(jī)噪聲ξi(t)∈,ηj(t)∈由上述方法產(chǎn)生, 即

(39)

(40)

其中:a1=3,a2=2,b1=3,b2=2,噪聲功率A=1,tc=0.1.

給定參考信號(hào)qr=(3sint,2cost)T,選擇函數(shù)的初始值為q(0)=(-1,1)T,v(0)=(0,0)T,I(0)=(0,0)T.系統(tǒng)的參數(shù)為m1=4.2,m2=3,g=9.8,l=1,L1=L2=0.1,Ue1=8,Ue2=9,R1=1,R2=1,k1=13,k2=10, 設(shè)計(jì)參數(shù)為c1=6,c2=10,c3=20,d1=2,d2=0.11,d3=0.6.

由圖3可以看出, 跟蹤誤差非常小并且所有的信號(hào)包括控制u均有界, 由此可以得出控制器的有效性和穩(wěn)定性分析的合理性.

5 結(jié) 論

本文考慮了一類直流電機(jī)驅(qū)動(dòng)的橋式吊車系統(tǒng)在隨機(jī)振動(dòng)環(huán)境中的軌跡跟蹤問題. 基于拉格朗日力學(xué), 動(dòng)靜法和電磁學(xué)的相關(guān)知識(shí)建立橋式吊車的隨機(jī)模型, 然后設(shè)計(jì)控制器使得跟蹤誤差的均方通過調(diào)節(jié)參數(shù)可以任意小, 仿真結(jié)果說明了策略的有效性.還可以進(jìn)一步考慮, 對(duì)于含有未知參數(shù)的情形, 如何設(shè)計(jì)自適應(yīng)控制器. 當(dāng)僅輸出可測(cè)時(shí), 如何設(shè)計(jì)基于觀測(cè)器的輸出反饋跟蹤控制器等.