蘇藝偉

(福建省龍海第一中學(xué)新校區(qū) 363100)

三次函數(shù)是一類(lèi)重要的函數(shù),以三次函數(shù)為載體的試題經(jīng)常出現(xiàn)在高考以及各級(jí)各類(lèi)高三綜合卷當(dāng)中,內(nèi)容主要涉及借助導(dǎo)數(shù)研究三次函數(shù)的圖象,性質(zhì)等等.

一、知識(shí)點(diǎn)

設(shè)三次函數(shù)為f(x)=ax3+bx2+cx+d,其中a≠0,x∈R.f′(x)=3ax2+2bx+c,為二次函數(shù).令Δ=b2-4ac.

1.圖象及其單調(diào)性

當(dāng)a>0時(shí),若Δ≤0,則f(x)在R上單調(diào)遞增,無(wú)極值.若Δ>0,則令f′(x)=3ax2+2bx+c=0,解得極值點(diǎn)為x1,x2(設(shè)x1

當(dāng)a<0時(shí),若Δ≤0,則f(x)在R上單調(diào)遞減,無(wú)極值;若Δ>0,則令f′(x)=3ax2+2bx+c=0,解得極值點(diǎn)為x1,x2(設(shè)x1

2.一個(gè)重要結(jié)論

若三次函數(shù)有極值,則必有一個(gè)極大值,一個(gè)極小值?Δ>0.

3.對(duì)稱(chēng)中心

二、應(yīng)用

題型1:三次函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題

此類(lèi)題型主要以三次函數(shù)為載體,告知零點(diǎn)情況,求參數(shù)的值或者取值范圍,需要借助導(dǎo)數(shù)運(yùn)算考查其單調(diào)性,結(jié)合題意求解,往往伴隨著對(duì)參數(shù)的分類(lèi)討論.

例1(2018年江蘇卷第11題)若函數(shù)f(x)=2x3-ax2+1(a∈R)在(0，+∞)內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn),則f(x)在[-1,1]上的最大值與最小值的和為_(kāi)___.

解析顯然f(0)=1.f′(x)=6x2-2ax=2x(3x-a).

若a=0,則f′(x)≥0,f(x)在R上單調(diào)遞增.故當(dāng)x∈(0，+∞)時(shí)f(x)>1.此時(shí)f(x)在(0，+∞)上無(wú)零點(diǎn).

若a<0,則x21.此時(shí)f(x)在(0，+∞)上無(wú)零點(diǎn).

此時(shí)數(shù)f(x)=2x3-3x2+1,在[-1,1]上的最大值與最小值的和為分f(-1)+f(0)=-4+1=-3.

例2(2014年新課標(biāo)全國(guó)Ⅰ卷第11題)已知函數(shù)f(x)=ax3-3x2+1,若f(x)存在唯一的零點(diǎn)x0,且x0>0,則a的取值范圍是____.

解析顯然f(0)=1.f′(x)=3ax2-6x=3x(ax-2).

綜上,a<-2.

題型2:三次函數(shù)的圖象問(wèn)題

此類(lèi)題型經(jīng)常需要畫(huà)出三次函數(shù)的圖象,結(jié)合圖象進(jìn)行求解,主要考查考生的數(shù)形結(jié)合能力,推理論證能力.

例3(2015年安徽卷第15題)設(shè)x3+ax+b=0,其中a,b均為實(shí)數(shù).下列條件中,使得該三次方程僅有一個(gè)實(shí)根的是(1)a=-3,b=-3;(2)a=-3,b=2;(3)a=-3,b>2;(4)a=0,b=2;(5)a=1,b=2.

解析對(duì)于(3),當(dāng)a=-3,b>2時(shí),有x3-3x+b=0.

設(shè)f(x)=x3-3x+b,令f′(x)=3x2-3=0,得x1=-1,x2=1.

易知f(x)在(-∞,-1)上單調(diào)遞增,在(-1,1)上單調(diào)遞減,在(1，+∞)上單調(diào)遞增.

f(-1)=2+b>0,f(1)=-2+b>0,如圖(1)所示,此時(shí)f(x)只有一個(gè)零點(diǎn),符合題意.

圖1

可得正確答案是(1),(3),(4),(5)正確.

解析函數(shù)g(x)=f(x)-b兩個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于y=f(x)與y=b的圖象有兩個(gè)交點(diǎn).

畫(huà)出函數(shù)y=f(x)的圖象,該圖象隨著a的變化而變化.如圖2所示.易知當(dāng)0≤a≤1時(shí),不存在直線(xiàn)y=b使得兩者的圖象有兩個(gè)交點(diǎn).因此符合題意的a的取值范圍是(-∞,0)∪(1,+∞).

圖2

(1)若a=0,則f(x)的最大值為_(kāi)___;

(2)若f(x)無(wú)最大值,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是____.

解析(1)當(dāng)a=0,畫(huà)出f(x)的圖象,如圖3所示.

圖3 圖4

此時(shí)f(x)的最大值為f(-1)=2.

f(x)的圖象隨著實(shí)數(shù)a的變化而變化,如圖4所示,觀察圖象的變化可知當(dāng)a<-1時(shí),f(x)無(wú)最大值.

題型3:已知恒成立求參數(shù)取值范圍

此類(lèi)題型一般以含參三次函數(shù)為載體,告知該三次函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上恒大于零或恒小于零,要求參數(shù)的取值范圍.一般采取分離變量轉(zhuǎn)化為求新函數(shù)最值的方法求解.

例6(2014年遼寧卷第11題)當(dāng)x∈[-2,1]時(shí),不等式ax3-x2+4x+3≥0恒成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是____.

解析當(dāng)x=0時(shí),有a∈R.

令g(t)=t-4t2-3t3,只需a≤g(t)min.g′(t)=-9t2-8t+1,令g′(t)=0,得t=-1.

故當(dāng)t=-1時(shí)g(t)有最小值-2,所以a≤-2.

令g(t)=t-4t2-3t3,只需a≥g(t)max.

由于g′(t)=-9t2-8t+1≤0在t∈[1，+∞)恒成立,

所以g(t)在t∈[1，+∞)上單調(diào)遞減,故當(dāng)t=1時(shí)g(t)有最大值-6,所以a≥-6.

綜上有-6≤a≤-2.

題型4:三次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性問(wèn)題

此類(lèi)題型主要圍繞三次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)中心展開(kāi)試題的命制,需要綜合運(yùn)用導(dǎo)數(shù),不等式等相關(guān)知識(shí)求解.

圖5

(1)y=cosx；

(3)y=x3+x2-2；

(4)y=x3.

其中有中位點(diǎn)的是____.

解析若給出的曲線(xiàn)是中心對(duì)稱(chēng)圖形且對(duì)稱(chēng)中心在圖象上,則此曲線(xiàn)一定有中位點(diǎn),則(1)(3)(4)符合題意.

解析對(duì)于f(x)=x3-3x2+2x+1,f(x)的對(duì)稱(chēng)中心是(1,1),顯然直線(xiàn)l過(guò)f(x)對(duì)稱(chēng)中心.假設(shè)其3個(gè)交點(diǎn)分別為x1,x2,x4,則有x2=1,x1+x4=2.則必有x3

題型5:三次函數(shù)的綜合性問(wèn)題

例10(2013年安徽卷第10題)若函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+c有極值點(diǎn)x1,x2,且f(x1)=x1,則關(guān)于x的方程3(f(x))2+2af(x)+b=0的不同實(shí)根個(gè)數(shù)是____.

解析由已知有x1,x2是方程3x2+2ax+b=0的兩個(gè)不同實(shí)根.結(jié)合題意有f(x)=x1,或者f(x)=x2.問(wèn)題轉(zhuǎn)化成直線(xiàn)y=x1與y=x2跟y=f(x)圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù).

若x1>x2,如圖6所示,此時(shí)有三個(gè)交點(diǎn);若x1

圖6 圖7

因此,不同實(shí)根個(gè)數(shù)是三個(gè).

例11已知函數(shù)f(x)=(x-a)3-3x+a(a>0)在[-1,b]上的值域?yàn)閇-2-2a,0],則b的取值范圍是____.

解析對(duì)于函數(shù)f(x)=(x-a)3-3x+a(a>0),求導(dǎo)f′(x)=3x2-6ax+3(a2-1),即f′(x)=3(x-(a+1))(x-(a-1)).令f′(x)=0,得x1=a-1>-1,x2=a+1>1.

極大值為f(a-1)=2-2a,極小值為f(a+1)=-2-2a.結(jié)合圖8可得a-1=0,a=1.

圖8

由題意得存在唯一的正整數(shù)x0,使得g(x0)

g′(x)=x2-6x+8,令g′(x)=0得x1=2,x2=4.

圖9

不難發(fā)現(xiàn),三次函數(shù)試題綜合性強(qiáng),融函數(shù),導(dǎo)數(shù),不等式等于一體,能夠較好地考查考生的數(shù)形結(jié)合能力,推理論證能力,計(jì)算求解能力,因而備受命題者青睞.在實(shí)際解題中,我們要在掌握好三次函數(shù)基本知識(shí),基本方法的基礎(chǔ)上根據(jù)題目條件靈活轉(zhuǎn)化,將未知轉(zhuǎn)向已知,化抽象為具體,化繁為簡(jiǎn),從而真正提高解題能力,實(shí)現(xiàn)高效復(fù)習(xí)備考.