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        Lucas數(shù)列兩項(xiàng)乘積倒數(shù)的有限和

        2020-08-19 01:01:30張福玲
        關(guān)鍵詞:乘積奇數(shù)偶數(shù)

        張福玲

        (渭南師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院,陜西 渭南 714099)

        0 引言

        Lucas數(shù)列的遞推公式為:

        Ln=Ln-1+Ln-2,L0=2,L1=1,n≥2。

        其通項(xiàng)公式為[1]:

        近年來許多學(xué)者對Lucas數(shù)列進(jìn)行了一系列的研究,見文獻(xiàn)[2-5]。文獻(xiàn)[4]中給出了Lucas數(shù)列無限倒數(shù)和的等式:

        文獻(xiàn)[5-6]中給出了Lucas數(shù)列奇偶項(xiàng)平方的倒數(shù)和的等式:

        通過Lucas數(shù)列的一些性質(zhì),得到了關(guān)于Lucas數(shù)列兩項(xiàng)乘積倒數(shù)的有限和以及Lucas數(shù)列兩項(xiàng)交錯項(xiàng)乘積的倒數(shù)和的兩個定理:

        定理1對于任意的正整數(shù)n,m>1,有

        定理2 對于任意的正整數(shù)n,m>1,有

        1 主要引理

        引理1[2]對于任意的正整數(shù)n,存在以下關(guān)系

        引理2 設(shè)a,b,c,d為正整數(shù),其中a+b=c+d,且b≥max{c,d},得到

        LaLb-LcLd=(-1)a+1Lb-cLb-d。

        證明根據(jù)Lucas數(shù)列的通項(xiàng)公式有

        LaLb-LcLd=(Aa-Ba)(Ab-Bb)-(Ac-Bc)(Ad-Bd)

        =AcBd+AdBc-AaBb-AbBa

        =(AB)a(Ac-aBd-a+Ad-aBc-a-Bb-a-Ab-a)

        =(-1)a+1(Ab-a+Bb-a-Ac-aBb-c-Ab-cBc-a)

        =(-1)a+1(Ac-a-Bc-a)(Ab-c-Bb-c)

        =(-1)a+1Lb-cLb-d

        根據(jù)引理2,令a=1,b=n+m+1,c=n+1,d=m+1可得

        引理3 對于任意的正整數(shù)m和n,有

        LmLn+Lm+1Ln+1=Lm+n+1。

        根據(jù)引理2,令a=2,b=2n+2,c=d=n+2可得

        引理4 對于任意的正整數(shù)n,有

        根據(jù)引理3,令m=n-1,n=n可得

        引理5 對于任意的正整數(shù)n,有

        L2n=Ln-1Ln+LnLn+1。

        引理6 對于任意的n≥1,那么

        L2n+12+1>LnLn+1(Ln+12+1)。

        所以

        L2n+12+1>LnLn+1(Ln+12+1)。

        引理7 對于任意的和n,有

        證明根據(jù)引理2可得:

        引理8 對于任意的m≥2和n,有

        證明根據(jù)引理2可得

        引理9 對于任意的n,有

        證明根據(jù)引理2可得

        引理10 對于任意的n≥1,有

        證明根據(jù)引理2得

        引理11 對于任意的n≥1,有

        證明根據(jù)引理2、引理3和引理5可以得到:

        引理12 對于任意的n≥1,有

        證明根據(jù)引理2、引理3和引理5可以得到

        2 Lucas數(shù)列兩項(xiàng)乘積的倒數(shù)和

        定理1對于任意的正整數(shù)n,m>1,有

        證明根據(jù)引理2可以得到

        所以

        從而可以得到

        (1)

        1)n為偶數(shù)時

        所以

        因此

        (2)

        對于任意的k,由引理1有

        所以

        從而

        根據(jù)引理6

        所以

        (3)

        由(2)和(3)

        即當(dāng)n為偶數(shù)時

        (4)

        2)n為奇數(shù)時

        根據(jù)(1)可以得到

        由于n為奇數(shù),所以

        根據(jù)引理4,

        根據(jù)引理3

        (5)

        對于任意的k,根據(jù)引理1可以得到:

        那么

        所以

        (6)

        由(5)和(6)可以得到

        即當(dāng)n為奇數(shù)時,有

        (7)

        由(4)和(7)式可得定理1。

        3 Lucas數(shù)列兩項(xiàng)乘積交錯項(xiàng)的倒數(shù)和

        定理2 對于任意的正整數(shù)n,m>1,有

        證明由引理2可以得到,當(dāng)a=k,b=k+2,c=d=k+1時,

        所以

        因此

        (8)

        1)n為偶數(shù)時

        由引理8和(8)可得

        (9)

        根據(jù)引理2

        (10)

        根據(jù)引理10,

        從而可以得

        (11)

        根據(jù)引理11,

        根據(jù)引理7

        所以

        (12)

        結(jié)合(11)和(12)可得到

        即當(dāng)n為偶數(shù)時

        (13)

        2)n為奇數(shù)時

        根據(jù)引理2、(9)和(10)

        根據(jù)引理9

        (14)

        根據(jù)引理12

        根據(jù)引理7

        所以

        (15)

        結(jié)合(14)和(15)可以得到:

        即,當(dāng)n為奇數(shù)時

        (16)

        結(jié)合(13)和(16)可得定理2。

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