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        線性紅利下帶干擾的復(fù)合Poisson-Geometric風(fēng)險模型

        2020-08-19 01:01:54侯致武喬克林
        關(guān)鍵詞:紅利盈余線性

        侯致武,喬克林

        (1.延安大學(xué)西安創(chuàng)新學(xué)院 數(shù)據(jù)科學(xué)與工程學(xué)院,陜西 西安 710100;2.延安大學(xué) 數(shù)學(xué)與計算機(jī)科學(xué)學(xué)院,陜西 延安 716000)

        0 引言

        近年來,很多國內(nèi)外學(xué)者基于經(jīng)典的復(fù)合Poisson風(fēng)險模型進(jìn)行改進(jìn)和完善。文獻(xiàn)[1-5]在經(jīng)典模型中引入利率因素、干擾因素、紅利邊界、隨機(jī)保費等。但在保險業(yè)務(wù)的實際經(jīng)營過程中,索賠次數(shù)并不完全服從Poisson分布,其方差往往會大于均值。文獻(xiàn)[6-8]將經(jīng)典風(fēng)險模型進(jìn)一步推廣為更貼近實際的復(fù)合Poisson-Geometric風(fēng)險模型,但保費收入是線性的。考慮到保費的隨機(jī)性,文獻(xiàn)[9-10]將復(fù)合Poisson-Geometric風(fēng)險模型中的保費收入由線性函數(shù)推廣為復(fù)合Poisson過程,但未考慮隨機(jī)干擾因素。喬克林等[11]討論了保費收入服從復(fù)合Poisson過程,理賠量服從復(fù)合Poisson-Geometric過程且?guī)Ц蓴_的風(fēng)險模型,但未考慮線性紅利。侯致武等[12]建立了同時考慮利率因素、隨機(jī)干擾因素、且保費收入為復(fù)合Poisson過程,索賠為復(fù)合Poisson-Geometric過程的風(fēng)險模型,并給出了該模型的期望折現(xiàn)罰金函數(shù)所滿足的積分微分方程。

        考慮到保險公司實際經(jīng)營的收益具有分紅策略,本文建立了同時考慮利率因素、干擾因素、線性分紅且保費收入為復(fù)合Poisson過程、索賠為復(fù)合Poisson-Geometric過程的風(fēng)險模型,從而推廣了文獻(xiàn)[12]中的復(fù)合Poisson-Geometric風(fēng)險模型,并且運用盈余過程的強(qiáng)馬氏性和It公式,得到了保險公司的生存概率和紅利付款的期望現(xiàn)值分別滿足的積分微分方程。

        1 預(yù)備知識

        定義1 設(shè)文中所有隨機(jī)變量都定義在完備概率空間(Ω,F,p)上,則常利力下帶干擾的復(fù)合Poisson-Geometric風(fēng)險模型為

        (1)

        定義2 設(shè)線性紅利界限為b+at(其中b為初值且u≤b,a為增長速率且0

        (2)

        定義3 記T=inf(t>0;U*(t)<0)(若集合為空集,則T=∞)為破產(chǎn)時刻,保險公司的最終破產(chǎn)概率φ(u,b)=P(T<∞|U*(0))=u),對應(yīng)的生存概率為ψ(u,b)=1-φ(u,b)。

        引理1[6]設(shè)N(t)是參數(shù)為(λ,ρ)的Poisson-Geometric過程,記α=λ(1-ρ)/ρ(若ρ=0,則α=λ),則當(dāng)t足夠小時,有

        P{N(t)=0}=e-λt=1-λt+o(t),

        P{N(t)=k}=αρkt+Ak(t)ο(t),k=1,2,…,

        2 主要結(jié)果及證明

        記G*k(y)和g*k(y)分別為索賠分布G(y)和概率密度g(y)的k重卷積,并記

        定理1 風(fēng)險模型(2)的生存概率ψ(u,b)滿足如下積分微分方程:

        且滿足邊界條件:

        1)事件B1:在(t,t+Δt)內(nèi),M(t)=0,N(t)=0,其發(fā)生的概率為

        P(B1)=(1-λ1Δt+o(Δt))(1-λ2Δt+o(Δt))=1-(λ1+λ2)Δt+o(Δt)。

        2)事件B2:在(t,t+Δt)內(nèi),M(t)=0,N(t)=k,其發(fā)生的概率為

        P(B2)=(1-λ1Δt+o(Δt))[αρkΔt+Ak(Δt)o(Δt)]=αρkΔt+Ak(Δt)o(Δt)。

        3)事件B3:在(t,t+Δt)內(nèi),M(t)=1,N(t)=0,其發(fā)生的概率為

        P(B3)=λ1Δt(1-λ2Δt+o(Δt))=λ1Δt+o(Δt)。

        4)事件B4:其他情況,其發(fā)生的概率為

        P(B4)=o(Δt)。

        當(dāng)y>u+h(t)時,ψ(u+h(t)-y,b)=0,即破產(chǎn)必然發(fā)生。由盈余過程的強(qiáng)馬氏性和全期望公式得

        整理得

        (λ1+λ2)ΔtE[ψ(u+h(Δt),b+aΔt)]=E[ψ(u+h(Δt),b+aΔt)]-ψ(u,b)+

        (3)

        (λ1+λ2)ΔtE[ψ(u+h(Δt),b+aΔt)]=E[ψ(u+h(Δt),b+aΔt)]-ψ(u,b)+

        (4)

        (5)

        將(5)式代入(4)式后,兩端同時除以Δt,令Δt→0,化簡得

        定理2 風(fēng)險模型(2)下紅利付款的期望現(xiàn)值V(u,b)滿足積分微分方程:

        并滿足的邊界條件:

        證明當(dāng)0≤u≤b時,類似于定理1的證明方法,由盈余過程的強(qiáng)馬氏性和全期望公式得

        V(u,b)=e-δΔtE[V(u+h(Δt),b+aΔt)]× [1-(λ1+λ2)Δt+o(Δt)]+

        由(5)式、引理1及單調(diào)收斂定理得

        將eδΔt的Taylor展開式代入上式,等式兩端同時除以Δt,令Δt→0,化簡得

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