◎付芳芳 （陸軍炮兵防空兵學院，基礎部數(shù)學教研室，安徽 合肥 231600）

一、引 言

數(shù)學科學具有高度抽象、體系嚴謹、應用廣泛、發(fā)展連續(xù)等特點，數(shù)學史就是研究數(shù)學科學及其發(fā)展規(guī)律的一門學科．它不僅追溯數(shù)學內容、思想和方法的演變、發(fā)展過程，而且還探索影響這種過程的各種因素，以及歷史上數(shù)學科學的發(fā)展對人類文明所帶來的影響．因此，數(shù)學史不是數(shù)學教育可有可無的點綴，而是不可或缺的．將數(shù)學史融入數(shù)學的教學過程中，對學生學習數(shù)學會有更好的教育價值．

首先，它可以使學生體會數(shù)學創(chuàng)造的過程，培養(yǎng)創(chuàng)造性思維能力，加深對數(shù)學概念、方法和思想的理解．教師在講課的過程中融入與之相關的數(shù)學史內容，可以向學生展現(xiàn)數(shù)學家們曾經學習的生活狀態(tài)，還可以呈現(xiàn)出數(shù)學家們最初因什么問題、什么原因去思考該問題及思考解決該問題的過程，這樣學生們可以對問題的來龍去脈有更深刻的了解，并激發(fā)學生的創(chuàng)造性思維能力，從而對即將要講授的概念、方法和思想等能夠熟練地掌握．

其次，它可以展現(xiàn)數(shù)學的魅力及作用，引起學生的興趣．由于數(shù)學的高度抽象性，使得其呈現(xiàn)在學生面前時，不能通過感官使學生直接感受其內在的魅力，因此大多數(shù)學生也就不會主動地學習數(shù)學．但其實數(shù)學既具有完美無瑕的統(tǒng)領地位，又能提供無微不至的服務．它的作用和功效通常不能直接展現(xiàn)，學生們體會不到．而介紹數(shù)學史就是向學生展現(xiàn)數(shù)學魅力及作用的一種有效手段，在此過程中，學生們能夠見證每一個數(shù)學問題的解決對當時科技與社會發(fā)展的推動作用，從而引起學生的學習興趣．

最后，學習數(shù)學史可以培養(yǎng)學生在學習過程中不畏困難、刻苦鉆研的學習精神．數(shù)學史離不開數(shù)學家，教材上的每一個知識點的形成都是需要數(shù)學家們花幾十年、幾百年，甚至上千年才能徹底完成的，是數(shù)學家們潛心鉆研、嘔心瀝血得到的成果．數(shù)學家們學習和研究數(shù)學的成長道路各不相同，幾乎每一位學生都能從數(shù)學家的傳記中感受到榜樣的力量是無窮的．“以人為本”可以由此發(fā)揮最大的效益．

基于以上分析，本文擬從極限定義發(fā)展史的角度來設計數(shù)列極限定義的教學．

二、數(shù)列極限定義的教學設計過程

數(shù)列極限部分是高等數(shù)學課程中的重要內容，也是整個微積分學的理論基石．其中，數(shù)列極限概念中的算術定義是高等數(shù)學中的一個重點，而且由于其抽象性的特點，學生在學習過程中很難理解，故使得其又成為高等數(shù)學中的一個難點．

之前已經有多位教育工作者對數(shù)列極限的定義和講解方法進行了多方面的探討．本文試圖融合數(shù)學史的知識于數(shù)列極限概念的教學中，讓學生在學習數(shù)列極限發(fā)展史的過程中體會算術定義中“ε”和“N”的由來，加深他們對算術定義的理解，便于學生更好地掌握數(shù)列極限定義的深層內涵．

1．數(shù)列極限的描述性定義．

首先提出兩個問題讓學生進行討論．

問題1 0．9999…與1 的大小關系如何呢？

總結學生課堂討論后出現(xiàn)的兩種答案：

答案1 設0．9999…＝a，則10a ＝9．9999…＝9＋0．9999…＝9＋a，移項得0．9999…＝1．

答案2 雖然9 可以無限循環(huán)下去，但小數(shù)點前總有個0，所以0．9999…＜1．

問題2 s＝1-1＋1-1＋1-1＋…＝？

總結學生討論后出現(xiàn)的三種答案：

答案1 s＝（1-1）＋（1-1）＋（1-1）＋…＝0＋0＋0＋…＝0．

答案2 s＝1-（1-1）-（1-1）-（1-1）＋…＝1-0-0-0-…＝1．

答案3 s＝1-（1-1＋1-1＋1-1＋…）＝1-s，移項得

兩個問題都出現(xiàn)了多種答案，這種答案的不確定性迅速抓住了學生們的注意力，讓學生們快速引起對教師即將要講授的知識的興趣．接下來教師就指出，之所以出現(xiàn)了多種看似有道理的答案，本質上是因為用“有限”觀來解釋“無限”過程是錯誤的，同時引導學生回憶高中時用到過的“極限”觀去解釋“無限”的過程．而數(shù)列極限的描述性定義是學生們在高中數(shù)學中就已經接觸過的知識，教師接下來帶領學生回憶數(shù)列極限的描述性定義．

定義1 對于無窮數(shù)列｛xn｝，當項數(shù)n 無限增大時，xn無限趨近于某個常數(shù)a（｜xn-a｜無限接近0），那么就說xn的極限為a．

下面來分析這個描述性定義．在這個定義中，關鍵要抓住兩個無限變化的過程，一是n“無限增大”，二是xn與a“無限接近”．回顧利用數(shù)列極限的描述性定義求數(shù)列極限的方法：直接觀察法（描點，作圖，觀察），并舉出以下幾個例子說明如何直接觀察數(shù)列的極限值：

此時，教師可以提醒學生使用MATLAB 軟件作出點列圖進行觀察．由于學生在作圖的時候只能作出有限多項的點列圖，因此可以指出描述性定義中存在的兩個問題：

第一，什么是“n 無限增大”？ 畫圖觀察的時候，n 到底取到多大才算“無限增大”？ 一萬、一百萬、還是一億？ 顯然，只要是一個具體的數(shù)字，哪怕是天文數(shù)字，都不能叫“無限增大”．

第二，什么是“xn與a 無限接近”？ xn與a 之間差多少才算“無限接近”？ 顯然，只要它們之間的差值是一個具體的數(shù)，無論是多么小的數(shù)字，都不能叫“無限接近”．

由此看出數(shù)列極限的描述性定義比較模糊，不符合數(shù)學科學嚴謹性的特點，所以我們有必要對數(shù)列極限下一個更精確的定義，即用數(shù)學的算術語言去描述“n 無限增大”和“xn與a 無限接近”這兩個無限變化的過程．

2．數(shù)列極限的算術定義的發(fā)展史．

（1）樸素的、直觀的極限觀時期（公元前300 多年前～17 世紀）．

在這一時期，古希臘開始陸續(xù)出現(xiàn)了一些極限思想的應用，代表人物有柏拉圖的學生尼多斯的歐多克索斯（公元前400 年～公元前347 年），他提出了“設給定兩個不相等的量，如果從其中較大的量減去比它的一半大的量，再從所余的量減去比這余量的一半大的量，繼續(xù)重復這一過程，必有某個余量將小于給定的較小的量”．我們稱之為“窮竭法”．之后，希臘人還利用這種“窮竭法”來證明關于曲線圖形的面積和體積的那些定理．特別是，阿基米德（公元前287 年～公元前212 年）把那個最早的令人滿意的證明即“圓錐體的體積是同底同高的圓柱體體積的三分之一”歸到了歐多克索斯的名下．

這一期間，我國魏晉時期的劉徽是第一位用極限思想來考慮問題的科學家．他先用圓內接正六邊形來近似代替圓的面積，然后將每條邊一分為二，用圓內接正十二邊形來近似代替圓的面積，如此繼續(xù)下去．用劉徽的話來說，就是“割之彌細，失之彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓合體而無所失矣”．我們稱之為“割圓術”．他的“割圓術”把π的值精確到了小數(shù)點后3 位．把割圓術推向極致的是我國南北朝時期的數(shù)學家祖沖之，他把π 的值精確到了小數(shù)點后7位．在此后一千多年的漫長歲月里，人們的極限觀基本停留在這一層次．

（2）神秘的極限觀時期（17 世紀～18 世紀）．

這一時期人類數(shù)學史上發(fā)生了一件重大的事情，那就是牛頓（1643 年～1727 年）和萊布尼茨（1646 年～1716 年）分別獨立地創(chuàng)立了微積分學，在他們建立微積分的過程中都用到了極限的思想．例如，牛頓在1676 年撰寫的《曲線求積術》中提出了“最初比和最終比”的學說．他用下面的方法來求“初始增量的最初比”或“漸進于零的增量的最終比”．設x 和xn的變動率是我們要求的．設o 是x 的增量，（x＋o）n-xn是對應的xn的增量，則這兩個增量之比為1 ∶為了求出最初比和最終比，可以讓o 消失，得到1 ∶nxn-1．在這里，牛頓的方法實際上已經非常接近于極限的概念了，但是他們最終都沒能夠嚴格明確極限的含義．

由于微積分在解決實際問題中的強大能力，使得在此后近一個世紀的時間里許多科學家都致力于解釋到底什么是極限，并最終在實數(shù)集理論的基礎上建立了嚴格的極限理論，使得微積分有了堅實的理論基礎，成了一門嚴謹?shù)膶W科．

（3）嚴格的極限理論時期（18 世紀～19 世紀）．

第一個明確提出極限概念的人是法國數(shù)學家達朗貝爾（1717 年～1783 年）．達朗貝爾相信，微積分真正的玄妙應該到極限的觀念中去找．他在《百科全書》中把牛頓的術語“最初比和最終比”解釋為極限．在他為《百科全書》撰寫的關于“極限”的詞條中提出，“假如第二個量比任意給定的值更為接近第一個量，則把第一個量稱作第二個（變）量的極限”．顯然他提出的仍然是一個描述性定義．

在其后，對極限概念發(fā)展有重大突破貢獻的是法國數(shù)學家柯西（1789 年～1857 年）．他把達朗貝爾的極限概念作為基本概念，并賦予它更精確的算術特征．他摒棄了幾何，摒棄了無窮小或速率，給出了相對比較清晰的極限定義：“如果賦給一個變量的連續(xù)值無限趨近于一個固定值，以至于到最后，它與這個固定值的差要多小有多小，那么，這最后的值被稱作所有其他值的極限”．不僅如此，他還給出了沿用至今的極限符號“l(fā)im”，并指出xn與a“無限接近”是指它們之間的差值可以“要多小就有多小，”也就是它們之間的距離“要多小就有多小”，可以用｜xn-a｜表示它們之間的距離．那么到底要小到什么程度才算是我們想象中的“要多小就有多小”呢？ 顯然，小于任何一個具體的數(shù)都不能算是“要多小就有多小”．柯西這樣思考這個問題：隨便你給個多么小的正數(shù)ε（你想給多小就多?。?，我都可以讓xn與a 之間的距離比你給的這個正數(shù)ε 還小，這樣你總該相信xn與a 之間的距離可以要多小就有多小了吧．于是，柯西說：“對?ε＞0，｜xn-a｜＜ε 就表示了xn與a 之間的距離可以要多小就有多?。边@樣就有了用數(shù)學的語言刻畫極限描述性定義中的第一個無限變化的過程，即xn與a“無限接近”的過程．

但是，問題仍然沒有解決．那就是，這里出現(xiàn)的xn是哪一項呢？ 是x1，x2？ 還是x3，x4？ …顯然，對于任何一個具體的xn，｜xn-a｜都是一個具體的數(shù)，不可能要多小就有多小，除非xn＝a．顯然是當n 無限增大時才有這個等式成立，而一旦要求n 無限大，就跳出了我們的認知范圍．如何解決這個矛盾呢？ 德國數(shù)學家魏爾斯特拉斯（1815 年～1897 年）巧妙地解決了這個棘手的問題．他指出：既然xn的極限只與當n 無限增大時的xn的值有關，那就是說與從x1開始的前面的任意有限項都無關，也就是只要在數(shù)列中存在一項第N項xN，使得這一項以后的所有項都滿足不等式｜xn-a｜＜ε 即可，哪怕這個N 再怎么大，扔掉的都是這個數(shù)列中的有限項，而數(shù)列中的任意有限項都與數(shù)列的極限值無關，這樣就有了用數(shù)學的語言刻畫極限描述性定義中的第二個無限變化過程，即n“無限增大”的過程．于是，魏爾斯特拉斯總結出：?N∈Z＋，當n＞N 時，｜xn-a｜＜ε 恒成立．這就是沿用至今的數(shù)列極限的算術定義．

值得指出的是，魏爾斯特拉斯在給出極限的算術定義時，他只是一名中學的老師．但在1853 年，由于他的一篇論述阿貝爾函數(shù)的論文使得他被廣泛地認可，隨后不久他便成了柏林大學的教授，當時他差不多40 歲．人們普遍認為偉大的數(shù)學家必定在早年的時候就贏得了名聲，而魏爾斯特拉斯卻成了一個引人注目的例外．他大器晚成，在19 世紀最后30 余年里，他被很多人認為是世界上首屈一指的分析學家．

3．數(shù)列極限的算術定義．

定義2（“ε-N”定義） 設｛xn｝為一數(shù)列，如果存在常數(shù)a，對于任意給定的正數(shù)ε（不論它多么小），總存在正整數(shù)N，使得當n＞N 時，不等式｜xn-a｜＜ε 都成立，那么就稱常數(shù)a 是數(shù)列的極限，或者稱數(shù)列｛xn｝收斂于a，記為或xn→a（n→∞）．

下面應用數(shù)列的算術定義證明用數(shù)列極限描述性定義得到的數(shù)列的極限值．

這是一個結構非常簡單的數(shù)列，精講的目的是通過帶領學生多次嘗試讓學生體會出極限的算術定義應該注意的兩點：

一是ε 在給之前是“任意”的，給之后就是“確定”的．只有是“任意”的，才能刻畫xn與a 之間的距離是“要多小就有多小”；只有是“給定”的，才能找出相應的N，以確保第N＋1項以后所有的項都滿足xn與a 之間的距離可以小于預先給定的值；

二是N 的“相應性”，它是與ε 相關的．一般來說，N 隨著ε 的減小而增大，N 可大不可小，所以通?？梢詫⒔^對值式子先放大．

這種先用具體數(shù)值代入來解釋ε 和N 的特點及關系的方法不同于以往的直接用“ε-N”定義證明的方法，便于學生更好地理解和使用算術定義．

例2證明

分析由于分子中也含有n，故為了解出不等式需要將分子中的n 放縮掉．又由于N 可大不可小，所以采用將絕對值式子放大的方法去除分子中的n．

證明對?ε＞0，

最后再通過下面兩個例題進一步鞏固數(shù)列極限算術定義的使用．

例3證明數(shù)列，…的極限是1．

例4設｜q｜＜1，證明等比數(shù)列1，q，q2，…，qn-1，…的極限是0．

具體證明過程這里不再贅述．

三、教學總結

本教學設計摒棄了以往的直接給出數(shù)列極限算術定義再解釋說明的教學模式，通過分析指出數(shù)列極限描述性定義中對于兩個“無限”變化過程刻畫不清，從而讓學生體會到對數(shù)列極限下算術定義的必要性．針對數(shù)列極限算術定義的教學難點和重點，筆者利用介紹數(shù)列極限算術定義的發(fā)展史一步步地給出數(shù)列極限的算術定義，從而讓學生能夠更加深刻地理解數(shù)列極限算術定義的內涵和本質．