安徽省安慶市第二中學(xué)東區(qū)(246003) 汪學(xué)思
命題已知0<x<1,0<y<1,求證:
并求使等式成立的條件.該題是人教社A 版數(shù)學(xué)必修2 第三章習(xí)題3.3 的B 組第8 題[1].
本題來源于一道競(jìng)賽題:“已知a、b是小于1 的正數(shù),求證
該命題我們很容易從不等式左邊的結(jié)構(gòu)上看出形似兩點(diǎn)間的距離公式,令點(diǎn)P(x,y)、O(0,0)、A(1,0)、B(1,1)、C(0,1),利用兩點(diǎn)間的距離公式,則將不等式的左邊轉(zhuǎn)化為與正方形頂點(diǎn)有關(guān)的線段和問題;即為正方形ABCO內(nèi)部一點(diǎn)P到頂點(diǎn)A,B,C,O的距離和.如圖1,得原題左邊=|PO|+|PB|+|PA|+|PC|≥|OB|+|AC|=當(dāng)且僅當(dāng)P點(diǎn)位于線段OB與AC的交點(diǎn)時(shí)取等號(hào),此時(shí)
圖1
而此時(shí)P點(diǎn)也正是四邊形的費(fèi)馬點(diǎn):數(shù)學(xué)上到四邊形四個(gè)頂點(diǎn)距離之和最小的點(diǎn)為四邊形的費(fèi)馬點(diǎn).它是這樣確定的:
(1)在凸四邊形ABCD中,費(fèi)馬點(diǎn)為兩對(duì)角線AC、BD交點(diǎn)P;
(2)在凹四邊形ABCD中,費(fèi)馬點(diǎn)為凹頂點(diǎn)D(P).[3]
本題在這里既考查了兩點(diǎn)距離公式,又讓同學(xué)領(lǐng)悟到數(shù)形結(jié)合與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法,既考查了距離的極值問題,又可以結(jié)合著名的費(fèi)馬點(diǎn)問題進(jìn)行數(shù)學(xué)史的教育,激發(fā)學(xué)生在這方面的興趣,可謂一題多得.
我們?nèi)绻麑?duì)該題的證明過程及幾何意義進(jìn)行琢磨和推敲,就不難發(fā)現(xiàn)這樣的一個(gè)事實(shí):
推論1在正方形的內(nèi)接四邊形(指四邊形頂點(diǎn)分別在正方形的四條邊上)中,凡是各邊與正方形對(duì)角線分別垂直的四邊形周長都相等且最小,等于兩倍的正方形對(duì)角線長;反之亦成立.
這個(gè)推論的證明如下:如圖2,∵四邊形EFGH各邊分別與正方形ABCD的對(duì)角線AC、BD垂直,∴四邊形EFGH為矩形.
設(shè)該矩形與對(duì)角線分別交于I、J、K、L,則EH=FG=IJ.
∵∠1=∠2=∠3=∠4=45°,∴EF=2AI.同理HG=2CJ;
∴四邊形EFGH的周長=2AI+2IJ+2JC=2AC.
再設(shè)正方形ABCD另有一內(nèi)接四邊形PQRS,但PQ不垂直BD,如圖3.
從P、Q分別向AC作垂線,垂足為M、N,則PQ>MN.
設(shè)PS、QR分別交AC于T、V,則有PT≥PM=MC,QV≥QN=AN,
∴TP+PQ+QV>MC+MN+AN=AC,同理可證TS+SR+RV>AC;
∴四邊形PQRS的周長>2AC.
很明顯,當(dāng)正方形的內(nèi)接四邊形周長等于兩倍的正方形對(duì)角線長時(shí),其對(duì)邊必與其中一條正方形對(duì)角線垂直,而另一組對(duì)邊與該對(duì)角線平行.
綜上所述,推論1 證畢.
該推論如果“翻譯”成代數(shù)式,就可以得到一組系列不等式:
推論2若a、b、c、d為四個(gè)任意的非負(fù)數(shù),且皆不大于另一任意正數(shù)L,則有:
當(dāng)且僅當(dāng)b=d=L-a=L-c時(shí),等號(hào)成立(參見圖4);
當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=d時(shí),等號(hào)成立(參見圖5);
當(dāng)且僅當(dāng)a=b=L-c=d時(shí),等號(hào)成立(參見圖6);
······
由于推論1 中的內(nèi)接四邊行把正方形各邊分成的各部分線段字母的設(shè)法不同(參見圖4―圖6,正方形邊長為L),可造成推論2 中共有A12·A12·A12·A12=16 種不同形式的不等式.這16 個(gè)不同形式的不等式可以互化,如①式中的L-a與a、L-c與c互換,即可得②式.
可以看出,本文開頭的命題,只不過是屬于推論2中③式里的c=a、d=L-b且L=1 的這種情形而已.
我們?nèi)粼谕普?中令a=Lsin2α、b=Lsin2β、c=Lsin2γ、d=Lsin2δ,就不難得到用三角函數(shù)的形式表示推論2 相應(yīng)各條的又一推論:
推論3對(duì)于任意角α、β、γ、δ,有下面一系列的關(guān)系式(共16 個(gè))
當(dāng)且僅當(dāng)α=kπ±β=lπ±γ=mπ±δ(k、l、m ∈Z)時(shí),等號(hào)成立;
······