浙江省金華第一中學(xué)(321015) 黃錦龍

既含參數(shù)又含變量的不等式恒成立問(wèn)題之所以備受命題者的青睞,一方面是這類問(wèn)題把不等式、函數(shù)、方程、幾何等內(nèi)容有機(jī)結(jié)合起來(lái),在知識(shí)的交會(huì)處命題,具有知識(shí)點(diǎn)多、綜合性強(qiáng)等特點(diǎn),能體現(xiàn)出很好的區(qū)分度與選拔功能;另一方面是此類問(wèn)題條件復(fù)雜,切入點(diǎn)難發(fā)現(xiàn),能很好地檢測(cè)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力.學(xué)習(xí)解決好不等式恒成立問(wèn)題,能鞏固基礎(chǔ)知識(shí),訓(xùn)練基本技能,感悟基本思想,豐富基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn),提高從數(shù)學(xué)角度發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題的能力、分析和解決問(wèn)題的能力,促使數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)落地開花.本文通過(guò)實(shí)例,以問(wèn)題為導(dǎo)向,用五種意識(shí)對(duì)破解不等式恒成立問(wèn)題作出解析,供讀者參考.

1 特值探路,驗(yàn)證結(jié)論快捷解

例1(2018年3月溫州適應(yīng)性考試) 已知f(x)=x2－ax,|f(f(x))|≤2 在[1,2]上恒成立,則實(shí)數(shù)a的最大值為____.

解析這是一道填空壓軸題,試題簡(jiǎn)約而不簡(jiǎn)單,若采取“強(qiáng)攻”,勢(shì)必很快“敗下陣”來(lái).不妨先思考問(wèn)題成立的必要條件,取特殊值框定a的范圍,由

所以f(x)在[f(1),f(2)]上單調(diào)遞減,而故實(shí)數(shù)a的最大值為完美解決!

例2(2018年6月浙江省數(shù)學(xué)學(xué)考) 設(shè)函數(shù)f(x)=3|ax|－(x+a)2,其中a ∈R.

(1)當(dāng)a=1 時(shí),求函數(shù)f(x)的值域;

(2)若對(duì)任意x ∈[a,a+1],恒有f(x)≥－1,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

解析(1) 略;(2) 注意到,僅對(duì)x分類討論,無(wú)法去絕對(duì)值,以化簡(jiǎn)f(x)的解析式.那就抓住目標(biāo),從必要條件入手,先通過(guò)特殊值來(lái)縮小所求參數(shù)的范圍,為解題找到思考方向.因?yàn)閷?duì)任意x ∈[a,a+1],恒有f(x)≥－1,所以

解得－1≤a≤0.

下面證明,當(dāng)a ∈[－1,0],對(duì)任意x ∈[a,a+1],恒有f(x)≥－1,

①當(dāng)a≤x≤0 時(shí),

故f(x)≥min{f(a),f(0)}≥－1 成立;

②當(dāng)0≤x≤a+1 時(shí),

故f(x)≥min{f(a+1),f(0)}≥－1 成立.

由此,對(duì)任意x ∈[a,a+1],恒有f(x)≥－1.所以,實(shí)數(shù)a的取值范圍為[－1,0].

評(píng)注特殊化是把研究對(duì)象或問(wèn)題從原有范圍縮小到較小范圍或個(gè)別情形進(jìn)行考察的思維方法,也就是說(shuō),當(dāng)數(shù)學(xué)問(wèn)題的一般性不十分明顯時(shí),我們可以從特殊的數(shù)、形的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系入手,從而找到解題方法或構(gòu)成解題起點(diǎn).在解決不等式恒成立問(wèn)題時(shí),通過(guò)代入特殊值(如端點(diǎn)值),可以縮小所求參數(shù)的范圍,甚至可以得到結(jié)果,如上述兩題,但特殊化所得結(jié)論是問(wèn)題成立的必要條件,接下來(lái)論證其充分性即可,這樣就掌控了解題節(jié)奏,能大幅度提高成功解題的概率.

2 數(shù)形結(jié)合,借助圖象直觀解

例3(2018年4月浙江省數(shù)學(xué)學(xué)考) 若不等式2x2－(x－a)|x－a|－2≥0 對(duì)于任意x ∈R 恒成立,則實(shí)數(shù)a的最小值是____.

解析被一道學(xué)考試題難住了,讓不少學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)上開始“懷疑人生”.令x=0,得干脆就把作為了最后結(jié)果,很可惜! 題設(shè)不等式等價(jià)于2x2－2≥(x－a)|x－a|對(duì)于任意x ∈R 恒成立,且令f(x)=2x2－2,

圖1

則g(x) 的圖象不能在f(x) 圖象的上方,在同一坐標(biāo)系作出它們的圖象,如圖(1),可得當(dāng)時(shí),2x2－2≥－(x－a)2即3x2+2ax+a2－2≥0 恒成立,所以Δ=4a2－12(a2－2)≤0,解得綜上,實(shí)數(shù)a的最小值是

例4已知函數(shù)對(duì)任意的x ∈[0,1]恒有f(x+a)≤f(x)成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是____.

解析是分段函數(shù),想從“數(shù)”的角度破題無(wú)異于“與虎謀皮”,那就從“形”的角度入手,對(duì)任意的x ∈[0,1]恒有f(x+a)≤f(x)成立,就是在區(qū)間[0,1]上,f(x+a)的圖象總在f(x)圖象的下方或者與之重合,而f(x+a)的圖象可以由f(x)的圖象經(jīng)過(guò)平移得到,當(dāng)a=0 時(shí),符合題意;當(dāng)a＜0 時(shí),如圖(2),可得a=－1;當(dāng)a＞0 時(shí),如圖(3),可得a≥1,綜上所述,a≥1,a=0,a=－1.

圖2

圖3

3 分離參數(shù),轉(zhuǎn)化問(wèn)題簡(jiǎn)潔解

例5已知f(x)=ax3,g(x)=9x2+3x－1,當(dāng)x ∈[1,2]時(shí),f(x)≥g(x)恒成立,則a的取值范圍為( )

A.a≥11 B.a≤11

C.a≥D.a≤

解析f(x)≥g(x)恒成立,即ax3≥9x2+3x－1 恒成立.因?yàn)閤 ∈[1,2],所以對(duì)a實(shí)施分離,可得恒成立.令則當(dāng)時(shí),a≥9t+3t2－t3恒成立.令h(t)=9t+3t2－t3,則h′(t)=9+6t－3t2=－3(t－1)2+12.易知h′(t)在上是增函數(shù),得所以h(t)在上是增函數(shù),從而a≥h(t)max=h(1)=11.故選A,這就是分離參數(shù)法解題的“套路”.

例6若對(duì)任意的x ∈[1,4],存在實(shí)數(shù)a,當(dāng)b＞0 時(shí),使恒成立,求實(shí)數(shù)b的最大值.

解析初讀本題,容易被題目復(fù)雜的信息所難住,仔細(xì)研讀,分清參數(shù)與變量,思路就來(lái)了.去掉絕對(duì)值,得－2x≤x2+ax+b≤2x,注意到x ∈[1,4],分離參數(shù)a,問(wèn)題等價(jià)于對(duì)任意的x ∈[1,4]恒成立,依題意,要使實(shí)數(shù)a存在,只需即可,接下來(lái),就是求最值了.令對(duì)b分類討論:

ymin=可得－(1+b)+2,解得,b ∈?,所以b ∈?.

綜上所述,求并集得0＜b≤9,故實(shí)數(shù)b的最大值為9.

評(píng)注分離參數(shù)法通常是指對(duì)題設(shè)中含參不等式(方程)的參數(shù)進(jìn)行分離,使不等號(hào)(等號(hào))一端只含有參數(shù)(不含變量),另一端只含變量(不含參數(shù)),從而解決有關(guān)不等式恒成立、不等式或方程有解中參數(shù)的取值范圍或參數(shù)最值的一種方法.對(duì)于不等式恒成立問(wèn)題,如能成功分離參數(shù),將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為易于求解的函數(shù)值域或最值問(wèn)題,那么就能極大地優(yōu)化解題程序,使解題過(guò)程簡(jiǎn)潔明快.

4 變換主元,合理減元輕松解

例7(2017·湖州、衢州、麗水三地質(zhì)檢) 已知函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a,b,c ∈R),若存在實(shí)數(shù)a ∈[1,2],對(duì)任意x ∈[1,2],都有f(x)≤1,則7b+5c的最大值是____.

解析題目變量多,需要根據(jù)問(wèn)題,分清主次.令g(a)=x2·a+bx+c,則g(a)是關(guān)于a的一次函數(shù),在[1,2]上單調(diào)遞增,得g(a)≤1 有解,于是g(a)min≤1?g(1)≤1,即x2+bx+c≤1 對(duì)任意x ∈[1,2]恒成立,令h(x)=x2+bx+c,則有

所以,當(dāng)b=－3,c=3 時(shí),7b+5c取最大值－6.

例8已知函數(shù)f(x)=lnx.若不等式mf(x)≥a+x對(duì)所有m ∈[0,1],都成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為____.

解析由題意得,a≤mlnx－x對(duì)所有的m ∈[0,1],x ∈都成立,令H(m)=lnx·m－x,m ∈[0,1],x ∈

所以－1≤lnx≤2,可 得即對(duì)恒成立,所以令g(x)=lnx－x則知函數(shù)g(x)在上是增函數(shù),在[1,e2]上是減函數(shù),所以g(x)min=g(e2=2－e2,故a≤2－e2.綜上得a≤－e2.

評(píng)注在日常解題中,我們總是習(xí)慣于將多元不等式轉(zhuǎn)換成x的不等式,視x為主元,這種思維定勢(shì)有時(shí)會(huì)增加問(wèn)題解決的難度和復(fù)雜性.像例7,例8 含多元的不等式恒成立問(wèn)題,就需要緊扣問(wèn)題目標(biāo),先選擇某已知變量為主元,x為參數(shù),就可以“掙脫”多元束縛,按層次有效減元消元,使問(wèn)題由復(fù)雜不斷走向簡(jiǎn)單,直至迎刃而解.

5 構(gòu)造函數(shù),化歸最值容易解

例9當(dāng)x≥0 時(shí),不等式ln(x+1)≥x－kx2恒成立,則實(shí)數(shù)k的最小值是____.

解析當(dāng)x=0 時(shí),不等式對(duì)任意實(shí)數(shù)k恒成立,無(wú)法縮小k的范圍;那就分離變量,當(dāng)x＞0 時(shí),可得恒成立,令求導(dǎo)后,發(fā)現(xiàn)導(dǎo)函數(shù)變得復(fù)雜,難以求g(x)的最大值,怎么辦?

直接構(gòu)造函數(shù)f(x)=ln(x+1)－x+kx2(x≥0),則由題意知x≥0 時(shí),f(x)min≥0,首先f(wàn)(1)=k－1+ln 2≥0,得k＞0.求導(dǎo)得,

(1)若2k－1＜0 即當(dāng)時(shí),有f′(x)≤0,此時(shí)＜f(0)=0,與題意不符;

(2)若2k－1≥0 即當(dāng)x≥0 時(shí),f′(x)≥0,此時(shí)恒有f(x)≥f(0)=0,符合題意,所以實(shí)數(shù)k的最小值是

例10已知函數(shù)f(x)=(x+1)lnx,

(2)存在實(shí)數(shù)k,使得對(duì)任意的實(shí)數(shù)x ∈[1,e],恒有f(x)≥(k+1)x+b成立,求k+b的最大值.

解析(1)略;(2)構(gòu)造函數(shù)

求導(dǎo),得

再求導(dǎo),得

則g′(x)在[1,e]單調(diào)遞增,所以

①當(dāng)k≤1 時(shí),g′(x)≥0 恒成立,知g(x)在[1,e]單調(diào)遞增,則g(x)≥g(1)=－k－1,所以－k－1≥b ?b+k≤－1.

所以

可得

記

可得

所以,

綜上所述,k+b的最大值為－1.

評(píng)注函數(shù)、方程、不等式是數(shù)學(xué)中的“三駕馬車”,根據(jù)解決問(wèn)題的需要,在函數(shù)、方程、不等式三者之間進(jìn)行適當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化,就能把尚未解決或難以解決的問(wèn)題,逐步歸結(jié)為已經(jīng)解決或易于解決的問(wèn)題.上述兩題的解法,就是通過(guò)構(gòu)造函數(shù),把不等式恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)性質(zhì)研究的問(wèn)題,通過(guò)討論函數(shù)的單調(diào)性,計(jì)算函數(shù)在給定區(qū)間上的最值,從而實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的解決.