湖南省懷化市鐵路第一中學(xué)(418000) 高 用

1 引言

聽了一節(jié)“函數(shù)的單調(diào)性”的新授課,引發(fā)了我對(duì)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中提問這一環(huán)節(jié)的深入思考.

案例師:(用多媒體投影給出了某一天某地氣溫隨時(shí)間變化的圖象,略)請(qǐng)同學(xué)們觀察圖象,說出氣溫在哪些時(shí)間段內(nèi)是逐步升高的或逐步下降的?

學(xué)生看圖之后議論紛紛.

師:什么叫做“隨時(shí)間的增大氣溫逐步升高”?

生1 若有所悟,但又不好表達(dá),似乎只能重復(fù)“隨時(shí)間的增大氣溫逐步升高”的說法.

師:生1 同學(xué),請(qǐng)你說說怎樣用數(shù)學(xué)語言來刻畫“隨時(shí)間的增大氣溫逐步升高”的意思?

生1:如果用t表示時(shí)間,f(t)表示氣溫,則“時(shí)間增大”可用式子t1＜t2刻畫;“氣溫逐步升高”就是t1和t2兩個(gè)時(shí)刻所對(duì)應(yīng)的氣溫f(t1)和f(t2)滿足f(t1)＜f(t2).

師:你抓住了怎樣刻畫“時(shí)間增大”和怎樣刻畫“氣溫逐步升高”的關(guān)鍵,因而說得十分中肯.但根據(jù)數(shù)學(xué)語言的嚴(yán)謹(jǐn)性要求,什么叫做:“隨著”?怎樣刻畫“時(shí)間段內(nèi)”?這些均是要在描述中表達(dá)清楚的.請(qǐng)大家先看看下面的問題:

(1)對(duì)于任意的t1,t2∈[4,6]時(shí),當(dāng)t1＜t2時(shí),是否都有f(t1)＜f(t2)呢?

(2)如果在(a,b)內(nèi)取無數(shù)個(gè)值,使得t1＜t2＜···＜tn＜···時(shí),有f(t1)＜f(t2)＜···＜f(tn)＜···,能否得到在區(qū)間(a,b)上函數(shù)具有“隨著t的增大對(duì)應(yīng)函數(shù)值f(t)也增大”這一特征呢?請(qǐng)舉例說明.

學(xué)生若有所悟,議論紛紛,生2 舉手發(fā)言.

生2:我似乎知道“隨著”和“時(shí)間段內(nèi)”的意思了.單調(diào)遞增函數(shù)表現(xiàn)的是一個(gè)變化過程,這個(gè)過程和相應(yīng)的自變量的區(qū)間有關(guān).

師:很好!你能給出單調(diào)增函數(shù)的概念嗎?

學(xué)生閱讀教材,相互討論,提煉出單調(diào)增函數(shù)的概念.

師:確實(shí)很棒!你能類比單調(diào)增函數(shù)的概念,給出單調(diào)減函數(shù)的概念嗎?

······

點(diǎn)評(píng)案例中的“問題串”很有特色,具體可概括為兩個(gè)方面:一是能有效的促進(jìn)學(xué)生思考,激發(fā)求知欲望,并及時(shí)反饋教學(xué)信息;二是能促進(jìn)師生在課堂中的良性互動(dòng).案例中提問設(shè)計(jì)總的框架是不錯(cuò)的,能引導(dǎo)學(xué)生從具體到抽象地認(rèn)識(shí)單調(diào)函數(shù)的基本規(guī)律,“問”出了課堂的閃光點(diǎn)、概念的生長(zhǎng)點(diǎn),實(shí)現(xiàn)教學(xué)難點(diǎn)的突破.

但回頭細(xì)細(xì)一想,案例中的提問似乎存在著不少問題.

(1)有些設(shè)問過于生硬,比如“什么叫做‘隨時(shí)間的增大氣溫逐步升高’?”這樣的問題,學(xué)生除了重復(fù)表述外,確實(shí)不知道該如何回答.

(2)提問不能只求正確答案,排斥求異思維.案例設(shè)計(jì)的問題,教師在其提問后只是要求學(xué)生按照他事先設(shè)計(jì)好的思路去回答,這樣忽視了學(xué)生自覺、主動(dòng)、真實(shí)、深層次地參與認(rèn)知的過程.

(3)教師提問單調(diào)增函數(shù)概念后要求學(xué)生閱讀教材在回答問題,這種提問不過是要求學(xué)生將基本內(nèi)容進(jìn)行一遍復(fù)述,沒有思維的深度參與,甚至學(xué)生的思維受到了提問的綁架.綜上所述,案例中的提問似乎缺少了一些“自然”的東西!

數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中,提問是數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)的重要組成部分,也是啟發(fā)式教學(xué)的重要手段.數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的自然提問并不是師生之間一般意義下的簡(jiǎn)單對(duì)話,它有著深刻地內(nèi)涵.從學(xué)生角度看,提問必須具有可接受性、障礙性和探究性;從教師角度看,提問必須有可控性、針對(duì)性和目的性;從教學(xué)知識(shí)角度看,提問必須有可再生性、開放性和啟發(fā)性.

帶著對(duì)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)自然提問的一些的思考,我在實(shí)際教學(xué)中進(jìn)行了實(shí)踐探究.

2 實(shí)踐1:從學(xué)生熟悉的思維情境出發(fā)設(shè)問

在“平面與平面垂直的判定”中,通過自然的課堂提問,幫助學(xué)生架起思維的“梯子”,促使思維不斷上“臺(tái)階”,逐步向未知領(lǐng)域探索,激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,激活學(xué)生的思維.下面是其中的一個(gè)片段:

師:請(qǐng)同學(xué)們觀察教室墻面與地面所在的兩個(gè)平面,看看它們有什么關(guān)系?

生:我感覺是垂直關(guān)系.

師:你的感覺沒有錯(cuò),能說出為什么是垂直嗎?以前見過類似的問題嗎?

生:直線和平面垂直的判定問題.

師:當(dāng)時(shí)是怎么處理的?

生:尋找直線與平面垂直的條件.

師:平面與平面垂直的條件是什么呢?你能否從分析直線與平面垂直的判定定理的條件和結(jié)論入手,獲得關(guān)于判定平面與平面垂直的有益啟示呢?

生:直線與平面垂直是通過直線與直線垂直判定的,由此可知,平面與平面垂直的條件應(yīng)該是直線與平面垂直.

師:直線與平面垂直的含義是什么呢?上述思維過程中蘊(yùn)含著怎么樣的數(shù)學(xué)思想?

生:定義是“一條直線垂直于平面內(nèi)所有直線”;判定是“一條直線垂直于平面內(nèi)兩條相交直線”.從定義到判定體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)化思想.

點(diǎn)評(píng)該案例找中課堂提問的設(shè)置首先讓學(xué)生“動(dòng)”起來,這也是師生進(jìn)行良性互動(dòng)的前提.這里的設(shè)問,從學(xué)生熟悉的思維情境引領(lǐng)學(xué)生思維逐步向未知的領(lǐng)域探索,激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,可以說這樣的提問是很自然的.

3 實(shí)踐2:從學(xué)生熟悉的思維情境出發(fā)設(shè)問

二次函數(shù)中最大、最小值,尤其是含參數(shù)的二次函數(shù)最值的求解,學(xué)生普遍感到困難,為此我設(shè)計(jì)了如下的“問題串”:

問題1:求出下列函數(shù)在x ∈[0,3]時(shí)的最值:

(1)y=(x－1)2+1;

(2)y=(x+1)2+1;

(3)y=(x－4)2+1.

問題2:求函數(shù)y=x2－2ax+a2+2,x ∈[0,3]的最小值.

問題3:求函數(shù)y=x2－2x+2,x ∈[t,t+1]的最小值.

問題4:求函數(shù)y=sin2x－2 sinx+2 的最值.

問題5:求函數(shù)y=sin2x－2asinx+2 的最值.

點(diǎn)評(píng)上述設(shè)計(jì)層層遞進(jìn),每解決一個(gè)問題就適時(shí)指出解決這類問題的要點(diǎn),并引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)入更高層次的問題的探究過程.這種“問題串”式設(shè)問,不但通過問題引路使學(xué)生掌握了相關(guān)問題的解決方法,而且可以通過對(duì)比認(rèn)知從結(jié)構(gòu)上認(rèn)識(shí)了各個(gè)問題的區(qū)別和相互聯(lián)系,大大調(diào)動(dòng)了學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性和高效性,提高了學(xué)生的問題意識(shí)和思維靈活度.

4 實(shí)踐3:解題教學(xué)中的自然提問

解題教學(xué)過程就是一個(gè)不斷地提問和解決問題的過程.當(dāng)學(xué)生對(duì)問題出現(xiàn)無法回答、答錯(cuò)或“跑題”時(shí),教師應(yīng)再次提問,即追問.實(shí)時(shí)、自然而有效的追問,可以促使學(xué)生進(jìn)一步深入思考,“問”出問題的根源和探索的過程方法,乃至問題的數(shù)學(xué)本質(zhì),從而提升解題教學(xué)的效能.

題目已知函數(shù)x ∈[0,1],函數(shù)g(x)=x3－3k2x+5k,x∈[0,1].若對(duì)任意x1∈[0,1],總存在x2∈[0,1],使得f(x1)=g(x2)成立,求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

師:“任意”和“存在”是數(shù)學(xué)上很重要的兩個(gè)概念,你是如何理解的?

生:“任意”是全稱量詞,表示所有、一切;“存在”是存在量詞,表示有一個(gè)或者一些.

師:很好!如果本題改為“若對(duì)任意x1∈[0,1],總存在唯一的x2∈[0,1],使得f(x1)=g(x2)成立”怎么理解呢?

生:“唯一存在”和“存在”不一樣.我們知道f(x)=的值域是[－1,0],如果設(shè)函數(shù)y=g(x)在[0,1]上的值域?yàn)锳,那么不僅[－1,0]?A,且y=g(x)在[0,1]上還要單調(diào).

師:增加了“唯一”后解法是有區(qū)別的,但區(qū)別還不是很大.如果改為“若對(duì)任意x1∈[0,1],總存在x2∈[0,1],使得f(x1)≤g(x2)成立”會(huì)怎么樣?

生:由題意可知函數(shù)y=g(x),x ∈[0,1]只要存在函數(shù)值不小于函數(shù)y=f(x),x ∈[0,1]的任意值即可,可轉(zhuǎn)化為y=g(x),x ∈[0,1]的最大值大于或等于y=f(x),x ∈[0,1]的最大值.

師:再來想想“若對(duì)任意x1∈[0,1],任意x2∈[0,1],都有f(x1)≤g(x2)成立”又有什么不同呢?

生:這就變成“恒成立問題”了,可轉(zhuǎn)化為y=g(x),x ∈[0,1]的最小值大于或等于y=f(x),x ∈[0,1]的最大值.

5 課堂自然提問策略

5.1 創(chuàng)設(shè)課堂教學(xué)情境自然提問

創(chuàng)設(shè)適當(dāng)?shù)膯栴}情境可以調(diào)度學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性和主動(dòng)性,促使學(xué)生的認(rèn)識(shí)從感性階段進(jìn)入理性階段,思維的靈活性和廣闊性會(huì)得到較好的發(fā)展.常用的創(chuàng)設(shè)課堂教學(xué)情境的提問策略有:

(1)通過教學(xué)與生活相結(jié)合創(chuàng)設(shè)問題情境.例如,“函數(shù)的概念”教學(xué)可從實(shí)際生活中的具體實(shí)例設(shè)置系列問題,以促成對(duì)函數(shù)概念的準(zhǔn)確理解.

(2)利用趣味性、啟發(fā)性的故事創(chuàng)設(shè)問題情境.如“求等差數(shù)列前項(xiàng)和”時(shí),教學(xué)可引入“高斯巧算1+2+···+100的故事”提問,很自然就得到了等差數(shù)列前項(xiàng)和的一般求法,很容易喚起學(xué)生情感上的共鳴.

(3)利用多媒體創(chuàng)設(shè)問題情境.如“雙曲線的離心率對(duì)開口有什么影響?”通過動(dòng)靜結(jié)合的教學(xué)圖象,給學(xué)生帶來一種全新的認(rèn)知方式.

(4)創(chuàng)設(shè)實(shí)驗(yàn)問題情境.如“如何判斷直線與平面垂直?”引導(dǎo)學(xué)生在折紙實(shí)驗(yàn)中獲得體會(huì)和結(jié)論,從而逐步形成自主探究式得學(xué)習(xí)方式.

5.2 深入問題本質(zhì)特征自然提問

在課堂提問中,所提問題要有針對(duì)性、啟發(fā)性和探索性.問題應(yīng)當(dāng)圍繞教學(xué)目標(biāo)精心設(shè)計(jì),設(shè)計(jì)的提問能反映知識(shí)的發(fā)生和發(fā)展過程,要促使學(xué)生深入理解教學(xué)內(nèi)容的數(shù)學(xué)本質(zhì),切忌“是不是”、“行不行”、“對(duì)不對(duì)”之類的機(jī)械問答.同樣的數(shù)學(xué)內(nèi)容,同一層次的問題,提問的側(cè)重常常也會(huì)有所不同,因此提問要多方位、多途徑,也可以由多種解答、多種變式.

5.3 根據(jù)學(xué)生認(rèn)知水平自然提問

使每位學(xué)生都能得到發(fā)展是現(xiàn)代教育所追求的一個(gè)目標(biāo),因此教師提問要照顧到全體學(xué)生.問題的設(shè)計(jì)應(yīng)具有層次性,過于容易的問題,不能激起學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,浪費(fèi)有限的課堂時(shí)間;過于難的問題則會(huì)使學(xué)生喪失信心,無法保持持久的探索熱情,使得提問失去價(jià)值.教師在突破難點(diǎn)時(shí)所設(shè)計(jì)的問題應(yīng)由易到難、由簡(jiǎn)到繁、由表及里,層層遞進(jìn),步步深入.通過不同層次的問題,調(diào)動(dòng)起全體學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,使每個(gè)學(xué)生都能得到提高.

5.4 尋覓提問合適時(shí)機(jī)自然提問

課堂提問問什么和什么時(shí)候問,是課堂教學(xué)自然提問的基本要素.如果教師準(zhǔn)備不足,想到什么就問什么,會(huì)使課堂教學(xué)顯得松散,起不到提問的作用.課堂提問的題目一定要斟酌,要“提”在需要處,“問”在點(diǎn)子上,對(duì)重點(diǎn)、難點(diǎn)問題提問時(shí)更應(yīng)慎重,要緊緊圍繞著重點(diǎn)、難點(diǎn)提問.對(duì)于學(xué)生的回答,教師應(yīng)做出及時(shí)、明確的反應(yīng),使學(xué)生發(fā)現(xiàn)自己的不足,有時(shí)還應(yīng)留些許時(shí)間讓學(xué)生對(duì)其回答深入思考,讓學(xué)生糾正錯(cuò)誤思路.當(dāng)學(xué)生解決了一個(gè)特殊形式的問題時(shí),可以通過變式追問的方式,引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行方法上的一般化探究,從而發(fā)現(xiàn)問題的關(guān)鍵所在,得到新的結(jié)論.這樣可以有助于學(xué)生深入探討問題思考方向,促進(jìn)學(xué)生養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣.