南京師范大學(xué)附屬中學(xué)江寧分校(211102) 姜 紅

1 問(wèn)題呈現(xiàn)

近日筆者在教學(xué)中遇到這樣的一個(gè)問(wèn)題:在正方形ABCD中,邊長(zhǎng)AD=6,連接AC、BD,P是正方形邊或?qū)蔷€(xiàn)上一點(diǎn),若PD=2AP,求AP的長(zhǎng).

分析因?yàn)辄c(diǎn)P的位置可能在邊或者對(duì)角線(xiàn)上,畫(huà)出圖形后要分三種情況:P在AD上,P在AB上,P在AC上.另外三條線(xiàn)段上不存在滿(mǎn)足條件的的點(diǎn).

解答:當(dāng)點(diǎn)P在AD上時(shí)(如圖1),因?yàn)镻D=2AP,所以當(dāng)P在AB上 時(shí)(如 圖2),設(shè)AP2=x,則DP2=2x,在RtΔADP2中,x2+62=(2x)2,解得(負(fù)值舍去).當(dāng)P在AC上時(shí)(如圖3),作P3Q⊥AD于點(diǎn)Q,設(shè)AQ=x,則P3Q=x,因?yàn)镻D=2AP,所以RtΔDP3Q中,又因?yàn)锳D=6,所以解得所以

綜上所述:

圖1

圖2

圖3

2 問(wèn)題提煉

以上問(wèn)題,因問(wèn)題背景中正方形的特殊性,解題時(shí)可利用等腰直角三角形,設(shè)元建立方程求解.但是,到兩定點(diǎn)距離之比為1:2 的點(diǎn)的軌跡到底是什么呢?這個(gè)問(wèn)題在中學(xué)數(shù)學(xué)中沒(méi)有特別研究過(guò).平面幾何中,只研究過(guò):到兩定點(diǎn)A、B距離相等(即距離之比為1:1)的點(diǎn)的軌跡,它是線(xiàn)段的中垂線(xiàn).至于比值是1:2 的時(shí)候到底如何,不妨用工具先實(shí)驗(yàn)一下.

3 實(shí)踐操作

幾何畫(huà)板繪制圖形后追蹤得——點(diǎn)P的軌跡是圓(如圖4).此圓與直線(xiàn)AB的交點(diǎn)C把線(xiàn)段AB內(nèi)分為1:2,點(diǎn)D把線(xiàn)段AB外分為1:2.

據(jù)此實(shí)驗(yàn)可猜想:此圓圓心的位置在線(xiàn)段BA延長(zhǎng)線(xiàn)上點(diǎn)O處,且而OP是定長(zhǎng).(如圖5).以下來(lái)證明上面的猜想.

圖4

圖5

4 用平面幾何證圓

證法1 確定圓心與半徑

在BA延長(zhǎng)線(xiàn)上取點(diǎn)O使得連接OP(如圖6).以下來(lái)證明OP的長(zhǎng)為定長(zhǎng)不妨設(shè)AP=y,AB=3x,則BP=2y,OA=x,在△PAB中,相當(dāng)于知道三邊長(zhǎng),求高.作PH ⊥AB于點(diǎn)H,設(shè)AH=m,則BH=3x－m,由PH2=PA2－AH2=PB2－BH2得:y2－m2=(2y)2－(3x－m)2,解得:可得所以

即:點(diǎn)P到定點(diǎn)O的距離為定長(zhǎng)2x.故點(diǎn)P的軌跡是以O(shè)為圓心,2x為半徑的圓.

證法2 確定圓的直徑

聯(lián)想三角形角平分線(xiàn)的性質(zhì)——角平分線(xiàn)分對(duì)邊所成線(xiàn)段之比等于夾這角兩邊之比,作∠APB的平分線(xiàn)和外角∠APE的平分線(xiàn).則點(diǎn)C把線(xiàn)段AB內(nèi)分為1:2,點(diǎn)D把線(xiàn)段AB外分為1:2,且PD ⊥PE.因?yàn)辄c(diǎn)C、D均為定點(diǎn),故CD為定長(zhǎng).故點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡是以CD為直徑的圓.

圖6

圖7

5 用解析幾何求圓

證法3 確定滿(mǎn)足條件的點(diǎn)的軌跡方程

以直線(xiàn)AB為x軸、AB的垂直平分線(xiàn)為y軸建立平面直角坐標(biāo)系(如圖8).

設(shè)P(x,y),AB=2a,則B(a,0)、A(－a,0).因?yàn)镻B=2PA,所以

所以

整理得:

可知點(diǎn)P的軌跡是以為圓心,以為半徑的圓.

圖8

6 問(wèn)題一般化

以上論證可以推廣到到兩定點(diǎn)距離之比為定值1:k(k /=1)的時(shí)候:

所以

整理得:

可知點(diǎn)P的軌跡是以為圓心,以為半徑的圓.

此圓是一個(gè)以1:k的定比內(nèi)分和外分定線(xiàn)段AB的兩個(gè)分點(diǎn)的連線(xiàn)為直徑的圓,這個(gè)軌跡最先由古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn),故稱(chēng)阿波羅尼斯圓,也叫阿氏圓.用剛才的證法2,一樣可以論證出此點(diǎn)的軌跡是圓.當(dāng)k=1 時(shí),該點(diǎn)的軌跡是線(xiàn)段AB的中垂線(xiàn).

7 問(wèn)題聯(lián)想

到兩條相交直線(xiàn)距離相等的點(diǎn)的軌跡是四個(gè)交角平分線(xiàn)所在的直線(xiàn)(如圖9).到兩條平行直線(xiàn)距離相等的點(diǎn)的軌跡是與兩直線(xiàn)平行的一條直線(xiàn)(如圖10).到兩條相交直線(xiàn)距離之比為定值的點(diǎn)的軌跡是什么呢(如圖11)?

圖9

圖10

不妨如此思考,到直線(xiàn)a距離為某定值(如PA)的點(diǎn)的軌跡是兩條平行線(xiàn)l1、l2,到直線(xiàn)b距離為kPA的點(diǎn)的軌跡是另兩條平行線(xiàn)l3、l4,所求的點(diǎn)是這四條直線(xiàn)的交點(diǎn),共四種情況.

現(xiàn)選取四個(gè)交點(diǎn)之一的點(diǎn)P來(lái)分析,考慮圖中l(wèi)1//a、l3//b、PA⊥a、PB⊥b,可得△PAC～△PBD,故PC:PD=PA:PB=1:k.(如圖12)

圖11

圖12

事實(shí)上,兩條相交直線(xiàn)構(gòu)成平面斜坐標(biāo)系,交點(diǎn)是原點(diǎn),兩直線(xiàn)分別是x軸、y軸.這樣,原問(wèn)題等價(jià)于到兩坐標(biāo)軸距離之比為定值的點(diǎn)的軌跡.即:P(x,y),其中|y|=k|x|.可知這樣的點(diǎn)的軌跡是兩條過(guò)原點(diǎn)且斜率絕對(duì)值為k的直線(xiàn)y=kx和y=－kx(如圖13).

圖13