南京師范大學附屬中學江寧分校(211102) 姜 紅

1 問題呈現(xiàn)

近日筆者在教學中遇到這樣的一個問題:在正方形ABCD中,邊長AD=6,連接AC、BD,P是正方形邊或?qū)蔷€上一點,若PD=2AP,求AP的長.

分析因為點P的位置可能在邊或者對角線上,畫出圖形后要分三種情況:P在AD上,P在AB上,P在AC上.另外三條線段上不存在滿足條件的的點.

解答:當點P在AD上時(如圖1),因為PD=2AP,所以當P在AB上 時(如 圖2),設(shè)AP2=x,則DP2=2x,在RtΔADP2中,x2+62=(2x)2,解得(負值舍去).當P在AC上時(如圖3),作P3Q⊥AD于點Q,設(shè)AQ=x,則P3Q=x,因為PD=2AP,所以RtΔDP3Q中,又因為AD=6,所以解得所以

綜上所述:

圖1

圖2

圖3

2 問題提煉

以上問題,因問題背景中正方形的特殊性,解題時可利用等腰直角三角形,設(shè)元建立方程求解.但是,到兩定點距離之比為1:2 的點的軌跡到底是什么呢?這個問題在中學數(shù)學中沒有特別研究過.平面幾何中,只研究過:到兩定點A、B距離相等(即距離之比為1:1)的點的軌跡,它是線段的中垂線.至于比值是1:2 的時候到底如何,不妨用工具先實驗一下.

3 實踐操作

幾何畫板繪制圖形后追蹤得——點P的軌跡是圓(如圖4).此圓與直線AB的交點C把線段AB內(nèi)分為1:2,點D把線段AB外分為1:2.

據(jù)此實驗可猜想:此圓圓心的位置在線段BA延長線上點O處,且而OP是定長.(如圖5).以下來證明上面的猜想.

圖4

圖5

4 用平面幾何證圓

證法1 確定圓心與半徑

在BA延長線上取點O使得連接OP(如圖6).以下來證明OP的長為定長不妨設(shè)AP=y,AB=3x,則BP=2y,OA=x,在△PAB中,相當于知道三邊長,求高.作PH ⊥AB于點H,設(shè)AH=m,則BH=3x－m,由PH2=PA2－AH2=PB2－BH2得:y2－m2=(2y)2－(3x－m)2,解得:可得所以

即:點P到定點O的距離為定長2x.故點P的軌跡是以O(shè)為圓心,2x為半徑的圓.

證法2 確定圓的直徑

聯(lián)想三角形角平分線的性質(zhì)——角平分線分對邊所成線段之比等于夾這角兩邊之比,作∠APB的平分線和外角∠APE的平分線.則點C把線段AB內(nèi)分為1:2,點D把線段AB外分為1:2,且PD ⊥PE.因為點C、D均為定點,故CD為定長.故點P的運動軌跡是以CD為直徑的圓.

圖6

圖7

5 用解析幾何求圓

證法3 確定滿足條件的點的軌跡方程

以直線AB為x軸、AB的垂直平分線為y軸建立平面直角坐標系(如圖8).

設(shè)P(x,y),AB=2a,則B(a,0)、A(－a,0).因為PB=2PA,所以

所以

整理得:

可知點P的軌跡是以為圓心,以為半徑的圓.

圖8

6 問題一般化

以上論證可以推廣到到兩定點距離之比為定值1:k(k /=1)的時候:

所以

整理得:

可知點P的軌跡是以為圓心,以為半徑的圓.

此圓是一個以1:k的定比內(nèi)分和外分定線段AB的兩個分點的連線為直徑的圓,這個軌跡最先由古希臘數(shù)學家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn),故稱阿波羅尼斯圓,也叫阿氏圓.用剛才的證法2,一樣可以論證出此點的軌跡是圓.當k=1 時,該點的軌跡是線段AB的中垂線.

7 問題聯(lián)想

到兩條相交直線距離相等的點的軌跡是四個交角平分線所在的直線(如圖9).到兩條平行直線距離相等的點的軌跡是與兩直線平行的一條直線(如圖10).到兩條相交直線距離之比為定值的點的軌跡是什么呢(如圖11)?

圖9

圖10

不妨如此思考,到直線a距離為某定值(如PA)的點的軌跡是兩條平行線l1、l2,到直線b距離為kPA的點的軌跡是另兩條平行線l3、l4,所求的點是這四條直線的交點,共四種情況.

現(xiàn)選取四個交點之一的點P來分析,考慮圖中l(wèi)1//a、l3//b、PA⊥a、PB⊥b,可得△PAC～△PBD,故PC:PD=PA:PB=1:k.(如圖12)

圖11

圖12

事實上,兩條相交直線構(gòu)成平面斜坐標系,交點是原點,兩直線分別是x軸、y軸.這樣,原問題等價于到兩坐標軸距離之比為定值的點的軌跡.即:P(x,y),其中|y|=k|x|.可知這樣的點的軌跡是兩條過原點且斜率絕對值為k的直線y=kx和y=－kx(如圖13).

圖13