四川師范大學數學科學學院(610068) 楊夢圓 邵 利

數學解題教學是數學教學的重要成分,教學生學習如何解數學題也就成為數學教學的重要任務[1].其主要目的必定是為了教會學生思考,而不是為了得出題目答案.而教解題思路就需要教師將自身獨自解題所經歷的思維變化通過言語傳達出來,這時通常采取以問題的形式來一步步引導學生思考.涂榮豹提出數學解題的基本步驟:(1)理解題意;(2)聯系已解決的問題,提出解題的各種設想;(3)實現解題方案,完成解題過程;(4)驗證結論,回顧解法[2].對于不同的題目可以不包含所有步驟,但可以根據這個解題步驟設計出啟發(fā)學生思考的教學問題.

1 試題研究

1.1 試題呈現

(2018年高考數學四川卷理科第19 題) 如圖1,邊長為2 的正方形ABCD所在的平面與半圓弧DC所在平面垂直,M是弧DC上異于C,D的點.

圖1

(Ⅰ)證明:平面AMD⊥平面BMC;

(Ⅱ)當三棱錐M－ABC體積最大時,求面MAB與面MCD所成二面角的正弦值.

1.2 試題分析

立體幾何的題目在考察學生數學抽象、邏輯推理和數學運算等核心素養(yǎng)的生成情況方面居于重要地位[3].這類題目主要考察學生利用綜合法證明點、線、面間位置關系的能力或利用空間直角坐標系的向量運算解決問題的能力.而這類題目常有多種解法,學生應該總結并分清每種解法的異同,區(qū)分清各個解題方法的本質,在解題過程中深化數學思想.

1.2.1 第(Ⅰ)問的分析

第(Ⅰ)問是證明面面垂直的邏輯推理題,那就需要學生找尋能得出面面垂直的條件.如果學生選擇綜合法證明,就可以反映出學生是否清晰線面垂直、面面垂直的判定定理,利用定理尋找符合定理條件的已知與推論,在整理條件是注意邏輯推理的流暢性和嚴密性.此題的解答總體上是比較好的,但學生在解答過程中還是存在以下一些問題:

①易忽略直徑所對圓周角是直角的隱含條件,即DM⊥MC;或者忽略面ABCD是正方形且與半圓面垂直且交于CB,導致無法得出DC⊥CM的線面垂直關系;從而因為條件不齊無法得出結論.

②多數學生都可以找出上述兩個條件,但是卻有少數學生的邏輯描述不準確,失去數學邏輯的嚴密性,導致得分不完全.

③有部分學生直接找出兩平面構成的二面角,通過證明其是直角,來證明兩平面垂直,但是多數學生忽略證明找到的二面角就是面AMD和面BMC的二面角,從而不能的滿分.

如果學生選擇向量法證明,就可體現出學生能否利用空間直角坐標系向量運算的一結論:平面的法向量數量積為0?兩平面垂直來證明面面垂直.④用此方法解題易將一特殊位置的M點坐標代表動點M,這樣是缺乏一般性的.

總的來說,第(Ⅰ)問大部分學生可以完全正確的解答,但是從少部分學生的解答過程中出現的問題①來看,反映了部分學生對立體幾何的基礎知識掌握不牢固,從出現的問題②和問題③可以看出部分學生的邏輯推理能力有待提高,推理論證的嚴密性不高,從出現問題④的學生解答中可以看出這部分學生的對于特殊和一般的數學關系理解不夠透徹,還是體現出學生沒有領悟從特殊到一般數學思想.所以要得全分,需要學生有扎實的知識基礎,還需要在數學學習中鍛煉嚴密的邏輯思維能力,逐漸領悟數學思想在問題解決中的運用.

1.2.2 第(Ⅱ)問的分析

第(Ⅱ)問是對學生計算兩平面所成二面角的正弦值能力的考察,要學生計算滿足三棱錐M－ABC體積最大時的二面角的正弦值.通常情況下這兩個平面僅有一個公共點,這樣的呈現方式對學生的直觀想象能力要求高,大部分學生不易找出兩面的公共邊,進而不易找出二面角的平面角,但是此題的兩個面的公共邊容易畫出的,這就使得學生的解題方法選擇多樣.學生在解答過程中主要存在以下一些問題:

①選擇向量法的同學,易于錯將計算出的二面角的余弦值當作問題要求的正弦值,不注意審題,不夠沉著冷靜.

②平面的法向量計算錯誤,導致此問只能得到建立空間直角坐標系的分.

③M點的位置確定錯誤,第二小問的M點與第一問的M點是不同的,但是很多學生意識不到,或者對體積最大的理解有誤,導致后續(xù)計算都毫無意義.

④選擇綜合法計算的同學仍然有忽略對所找到的兩平面構成的二面角平面角的證明描述,從而得不了全分.

綜上所述,第(Ⅱ)問對學生來說也不是難題,但是總會由于審題不仔細、粗心大意或邏輯不嚴密而丟分.從問題①和問題②可以反映出學生對于考試心態(tài)調整還存在問題,從出現問題③和問題④的這部分學生解答可以發(fā)現學生靈活運用知識的能力有待提高,邏輯推理不嚴密,需要加深引導加強鍛煉.

2 教學問題設計

只有鎖定“患處”,查明原因,才能“對癥下藥”.針對上面對試題解答中出現的問題,設計以下教學問題來引導學生思考解題思路,書寫解題過程,在全過程中感悟每種方法使用時應注意的地方.此處問題設計以涂榮豹提出數學解題的基本步驟來設計教學引導問題,讓學生建立解決問題的流程,培養(yǎng)嚴密的邏輯思維能力.

2.1 理解題意

問題0通過閱讀題目大家能知道些什么?

設計意圖:提示學生在解題前要仔細審題,對于已知條件和問題做到心中有數,直觀感知并在頭腦中構建立體圖形,清楚其構造,再由已知推導出一些隱含條件,為解題做好準備.

2.2 聯系已解決的問題,提出解題的各種設想

問題1證明面面垂直我們可以怎么做?

設計意圖:引導學生思考出“線線垂直?線面垂直?面面垂直”的證明思路,此思路簡單明了,符合我們學習該部分知識時的認知發(fā)展規(guī)律,還能幫助學生捋清思路,提高推理論證的嚴密性;同時也可啟發(fā)學生得出在空間直角坐標系中利用空間向量運算的結論來證明面面垂直,即利用平面的法向量數量積為0?兩平面垂直來證明面面垂直,也就是計算出兩平面的法向量,驗證法向量的數量積是否為零.

問題1-1用向量法解決,我們可以如何建系?

建系可以D、C或DC中點為原點建立空間直角坐標系,如以D為坐標原點,DA為x軸,DC為y軸,以垂直交線DC,垂足為D的直線為z軸;其余的情況同理.

設計意圖:學生們的建系結果應該會覆蓋所有的情況,這里可提前啟發(fā)學生建系時選擇的原點可以不同,但意義是一樣的.

問題1-2M點的位置確定嗎?若建系,它的坐標是什么?

設計意圖:此處提醒學生注意思考M點的坐標,引發(fā)學生的質疑,及時矯正學生將其看作確定點的錯誤做法,同時提示學生利用DM⊥MC關系來表示M點的坐標.

問題2那通常我們如何計算兩平面所成角的正弦值?

設計意圖:弄清第二小題是考查兩個平面所成的角的正弦值計算,解答時學生常用的方法是向量法,因為這種方法更易于計算,對學生直觀想象能力要求不高.但兩平面所成角二面角易找出時可運用綜合法,所以要引導學生嘗試使用這種方法解決問題,以提高直觀想象能力,但此時要向學生提問:“為什么你找的這個角就是所求二面角的平面角呢?”以此告誡學生應該注意邏輯推理的嚴密性,每一步都要言之有理.

問題2-1什么時候目標三棱錐的體積最大?此時M點在何處?

問題2-2如果建系解決,那么M點應怎么表示?

設計意圖:通過思考何時三棱錐M－ABC體積最大來確定M點位置及坐標是解決此小題的關鍵,所以要清楚M點與上一小題的變化之處.

2.3 實現解題方案,完成解題過程

問題3現在同學們試著利用剛剛捋出來的思路找找解題需要的條件并寫出自己的解法?盡可能的寫出多種不同的解法.

設計意圖:讓學生自主找條件寫解法,可以鍛煉學生獨立自主解題的能力,提高邏輯推理能力,盡管得不到所有解法,但通過后期的小組討論和教師的提示,可以讓學生有豁然開朗的感覺,使之得到的影響和收獲更多.

問題3-1大家先完成第(Ⅰ)問的解答,寫完之后小組討論,給出最終解法總結,并給出各解法的異同.

學生的討論出四種方法,其中有一種方法是:過M作MN//BC,MN=BC連接AN,BN做輔助線,最后直接證明面面之間的二面角是直角;有兩種都是經歷線線垂直?線面垂直?面面垂直的證明流程;還有一種是借助空間直角坐標系,應用充要條件“兩向量的數量積為零.兩個向量相互垂直”證明此題.

問題3-2大家觀察一下第(Ⅰ)問的解法一、二、三有什么異同?

設計意圖:試圖讓學生發(fā)現解法三和一、二都是綜合法,但是存在顯著差異.因為方法三是從根源上解決目標問題,直接通過證明兩面的二面角是直角來達到目的.該方法容易出錯,主要由于畫不出MN這條輔助線,而缺少證明某角是二面角平面角的關鍵步驟.從側面也反映出學生在面對做輔助線解題是的正確率是無法保證的.

問題3-3第(Ⅰ)問在采用綜合法和向量法時應分別注意什么?就此題而言你更偏向哪一種?

設計意圖:垂直和平行是高考立體幾何的必考知識點.學生能明白只要把握好線、面關系證明的方法、空間垂直關系以及空間平行關系相互轉化便可以求證,而此題證明若用向量法M點坐標的確定是難點,向量法就顯得不那么適用,綜合法是首選.

問題4現在完成第(Ⅱ)問的解答,寫完之后小組討論,給出最終解法總結,并給出各解法的異同.

此處學生討論出了兩種方法,其中一種是向量法,另一種是綜合法(輔助線與第(Ⅰ)問一樣).

問題4-1第(Ⅱ)問在采用綜合法和向量法時應分別注意什么?就此題而言你更喜歡哪一種?

設計意圖:幫助學生辨識在求解二面角時,綜合法的難點是無法找到二面角或者添加輔助線作出二面角,當然此題的二面角是容易作出的,但是需要證明其就是二面角,這又是大部分學生的困擾.可向量法完美的避開了這些難點,直接將問題轉化成求法向量的夾角問題,但是計算出的角的大小是二面角的平面角還是其補角,都需要判斷,這也是容易出錯的一點.

2.4 驗證結論,回顧解法

問題5通過解這道題,大家對于立體幾何題目有沒有什么解題心得?

設計意圖:通過交流,讓同學們感受出實際的解題中,大部分人只偏重綜合法與向量法其中一種.但是經過對具體題目的求解與分析,發(fā)現它們是同等重要的,出現一邊倒的情況容易掉進出題者設計好的圈套中.所以需要告誡學生在平常的練習中綜合法與向量法都要兼顧.這樣才能在不同的題目類型中自如的選擇恰當的方法.同時還要提醒重視對基礎知識的理解和掌握,要在日常學習中加深對數學思想的領悟,提高推理論證是的嚴密性.

3 小結

筆者以2018年高考數學四川卷理科立體幾何題為例,分析了學生在此題的解答過程中出現的問題,由此設計了教學問題以引導學生學習解決問題的基本步驟和幫助學生克服不同方法易錯點,培養(yǎng)學生解題后的反思能力,同時在小組討論和教師提示后,還可以提升學生發(fā)現問題、分析問題和解決問題的能力.希望通過多次的這樣的教學活動提高學生的邏輯推理能力和靈活思考的一題多解的能力,讓學生不僅會做題,更會思考.2018年高考雖以時過境遷,但高考題確是值得教師深入挖掘其對學生數學學習效能的重要依據和工具.