廣東省云浮市云浮中學(xué)(527300) 成永深

上海市行知中學(xué)(201999) 范廣哲

本文將從一道武漢大學(xué)自招題的另解出發(fā),探究代換法的作用技巧,以及代換法的種類,給出消元、代數(shù)對稱代換、三角形恒等式代換、三角對稱代換等四類代換思想,希望給學(xué)生們帶來幫忙.

1 消元

例1(2018年武漢大學(xué)自招不等式證明題)

已知a,b,c≥0 且ab+bc+ca=1,求證:

此題有不少讀者給出相應(yīng)的解法,筆者給出消元調(diào)整法,希望對讀者有所幫忙.

證明不妨設(shè)c=max(a,b,c),根據(jù)條件,有于是

即(a+b)2ab≤2(1－ab)，因為所以于是

例2已知a,b,c＞0 且a+3b+c=9,求a+b2+c3的最小值.

解根據(jù)題意,有a=9－3b－c,則

所以欲使原式取得最小值,則需要c2＜1,而此時

故

評注以上2 例以“消元”思想達(dá)到解題效果.

2 代數(shù)對稱換元

例3設(shè)實數(shù)a,b＞0 且a+b=k,求使

解設(shè)其中則題中不等式即

整理得

例4已知a,b≥0 且a+b=1,求的取值范圍.

解設(shè)則

當(dāng)u=0,a=b=pmax=2

評注設(shè)實數(shù)a,b＞0 且a+b=k,其中k為定值,均可代換

3 三角形恒等式代換

例5已知a,b,c＞0 且a2+b2+c2+2abc=1,求證:

證明由ΔABC三內(nèi)角A,B,C滿足恒等式

而題中0＜a,b,c＜1,因此可以考慮設(shè)

則

則不等式等價于

而

由三角形恒等式ΔABC三內(nèi)角A,B,C滿足恒等式

可以聯(lián)想問題:已知在ΔABC中,sinC=2 cosAcosB,求cos2A+cos2B的最大值.

解由于ΔABC三內(nèi)角A,B,C滿足恒等式

得,

因為C ∈(0,π),所以當(dāng)且僅當(dāng)時取等號,故cos2A+cos2B的最大值為

例6(中等數(shù)學(xué)2019年第三期613 問題)設(shè)a,b,c＞0且a2+b2+c2+abc=4,求證:a2b2+b2c2+c2a2+abc≤4.

證明由ΔABC三內(nèi)角A,B,C滿足恒等式

及a2+b2+c2+abc=4,可設(shè)a=2 cosA,b=2 cosB,c=2 cosC.等價于設(shè)由不等式(x+y)2≥4xy,得即

從而

整理得a2b2+b2c2+c2a2+abc≤4 證畢.

類似問題[1]:已知a,b,c＞0 且a2+b2+c2+abc=4,求證:2＜a+b+c≤3.

證明由ΔABC三內(nèi)角A,B,C滿足恒等式

及a2+b2+c2+abc=4,可設(shè)a=2 cosA,b=2 cosB,c=2 cosC,一方面,

可知

即

則

故a+b+c＞2.

另一方面,

綜上可知,2＜a+b+c≤3.

進(jìn)一步證明安振平新浪博客4945 問題設(shè)a,b,c≥0 且a2+b2+c2+abc=4,求證:a3+b3+c3+2abc≥5.

證明依題意知,a,b,c不同時為零,若a,b,c中任意兩個為零時,不等式a3+b3+c3+2abc≥5 恒成立,若a,b,c中任意一個為零時,由ΔABC三內(nèi)角A,B,C滿足恒等式

設(shè)a=2 cosA,b=2 cosB,c=2 cosC,

即

因為

這一結(jié)論上面已證明,也比較容易的.

由(1),(2),(3)得

綜上可知a3+b3+c3+2abc≥5 證畢.

評注若條件a,b,c＞0 且k2(k ∈R+),可設(shè)a=kcosA,b=kcosB,c=kcosC.轉(zhuǎn)化為ΔABC三內(nèi)角A,B,C滿足恒等式cos2A+cos2B+cos2C+2 cosAcosBcosC=1,等價于設(shè)其中a,b,c并非ΔABC對應(yīng)的三邊長.

4 三角對稱代換

例7(2014年高考遼寧卷第16 題)對于c＞0,當(dāng)非零實數(shù)a,b滿足4a2－2ab+4b2－c=0,且使|2a+b|最大時,求的最小值.

此題的解法在各大雜志上刊登過,方法頗多,筆者給出另解.

解由4a2－2ab+4b2=c,可設(shè)

其中

則

令a=2x,b=3x,可得c=40x2,從而

評注若對于c＞0,當(dāng)非零實數(shù)a,b滿足k1a2+k2ab+k1b2－c=0,其中k1,c ∈R+,k2∈R且2k1＞k2,k1,k2,c為常量,且使|λa+b|最大時,求的最小值,其中λ1,λ2,λ3∈R+且λ1,λ2,λ3為常量.這類問題可運用三角對稱代換求解,可設(shè)

其中

θ的取值范圍視情況而定,可解決頗多不等式問題.