廣東省肇慶市高要區(qū)第一中學(526100) 程華生

在高中數(shù)學《必修4》課本的第54頁,有個例2,原題如下:

如圖是某簡諧運動的圖象,試根據(jù)圖象回答下列問題:

(1)這個簡諧運動的振幅、周期與頻率各是多少?

(2)從O點算起,到曲線上的哪一點,表示完成了一次往復運動?如從A點算起呢?

(3)寫出這個簡諧運動的函數(shù)表達式.

解:(1)從圖象上可以看到,這個簡諧運動的振幅為2cm;周期為0.8s;頻率為

(2)如果從O點算起,到曲線上的D點,表示完成了一次往復運動;如從A點算起,則到曲線上的E點,表示完成了一次往復運動.

(3)設這個簡諧運動的函數(shù)表達式為y=Asin(ωx+φ),x∈[0,+∞),那么,A=2;由得由圖象知初相φ=0.于是所求函數(shù)表達式是

對于這個例題,答案中說“由圖象知初相φ=0”,過于簡單.

在《必修4》教材里面,給出正弦型函數(shù)y=f(x)=Asin(ωx+φ)的部分圖象——一段波浪線,要求求出函數(shù)解析式是一個重要專題,而在此類題目里,求φ是難點,經(jīng)過多年的研究,我總結出求φ的兩大方法——最值法和關鍵點法.

先談談最值法吧!所謂的最值法就是將波浪線的最高點或最低點的坐標代入解析式從而求出φ,課本上的例2,就可以用最值法求出φ的值.

對于《必修4》課本第54頁的例2 的第(3)小題,我建議將答案修改完善一下,給出的答案如下:

（方法一）解:設這個簡諧運動的函數(shù)解析式為y=f(x)=Asin(ωx+φ),x∈[0,+∞).明顯可見:振幅A=2;T=0.8=解得:則波浪線的解析式為

下面的唯一任務就是求φ的值,此波浪線的一個最高點的坐標為(0.2,2),即x=0.2 時,y=2,代入解析式得:則φ=2kπ(k ∈Z).

當然,這樣的φ有無窮多個,大小相差2π的整數(shù)倍,我們可任取一個,一般取絕對值最小的那個,對于此題,當k=0 時,φ=0,此時φ的絕對值最小,取φ=0 最好.

一旦知道φ的值為0 后,則所求的函數(shù)解析式為

（方法二）解:設這個簡諧運動的函數(shù)解析式為y=f(x)=Asin(ωx+φ),x∈[0,+∞).明顯可見波浪線的解析式為

接下來就是求φ的值,此波浪線的一個最低點的坐標為(0.6,－2),即x=0.6 時,y=－2,代入解析式,得則φ=2kπ(k ∈Z).（下同方法一）

但是,用最值法求φ也有局限性,如果不知道且不能求出波浪線的最高點或最低點的坐標,最值法就無能為力了.

下面有一道類似題目：y=f(x)=Asin(ωx+φ),(A＞0,ω＞0,|φ|＜) 的一段圖像過點(0,1),如下圖,A點橫坐標為,B點橫坐標為,C點橫坐標為,D點橫坐標為,E點橫坐標為,求f(x)的解析式.

關鍵點法解題的策略.

下面利用“五點法”畫出此函數(shù)的圖象.

(一)取值(表1).

表1

(二)描點.

(三)將描出的五個點用光滑的曲線連起來.

這就是我們熟知的用“五點法”畫正弦型函數(shù)y=f(x)=Asin(ωx+φ)的圖象的過程.

在此,將上面的表格兩端進行拓展,得到如下表2:

表2

表格被拓展后,曲線兩端也會被延伸,得到如下圖象:

在此,將A點、E點、J點命名為第一關鍵點;將B點、F點、K點命名為第二關鍵點;將C點、G點、K點命名為第三關鍵點;將D點、H點、P點命名為第四關鍵點;將E點、J點、Q點命名為第五關鍵點,值得注意的是,第五關鍵點“身兼二職”,具有雙重身份,它們同時還是第一關鍵點.

容易發(fā)現(xiàn):第一關鍵點是波浪線上升過程中與平衡位置所在直線的交點;第二關鍵點是波浪線的最高點;第三關鍵點是波浪線下降過程中與平衡位置所在直線的交點;第四關鍵點是波浪線的最低點;第五關鍵點是波浪線上升過程中與平衡位置所在直線的交點,第五關鍵點“身兼二職”,具有雙重身份,它們同時還是第一關鍵點.

在此,有如下很有意思的規(guī)律:

(1)第一關鍵點的橫坐標能使角M的終邊與x軸的正半軸重合.例如:

(2)第二關鍵點的橫坐標能使角M的終邊與y軸的正半軸重合.例如:

(3)第三關鍵點的橫坐標能使角M的終邊與x軸的負半軸重合.例如:

(4)第四關鍵點的橫坐標能使角M的終邊與y軸的負半軸重合.例如:

(5)第五關鍵點的橫坐標能使角M的終邊與x軸的正半軸重合.例如:

這樣就對上面的例題進行了比較完善的解答并適當拓展.