邱云蘭

（廣州工商學院基礎教學部，廣東 廣州 510850）

1 問題提出

課堂是尋找問題解決策略的主陣地，教師是問題解決策略的主要承擔者、協(xié)調(diào)者、合作者、引導者.選題掌握“三原則”[1]，變式把握“三個度”[2]，選題是問題教學的起始點.[3]教師是否具有問題提出的能力是學生能否有機會參與問題提出活動的關鍵. 例題習題是實現(xiàn)課程目標、實施數(shù)學教學的重要資源.[4]選擇教材中的有關例題、習題進行變式多解，學生的探索才能深入，數(shù)學課堂的學習氛圍才會濃厚，學生的智慧課堂才能不斷增強.變式要有“梯度”“適度”和“參與度”.變式主要是指對教材中的有關概念、公式、例題、習題進行變通推廣，讓學生能在不同角度、不同層次、不同情形、不同背景下重新認識教材的一種教學模式.數(shù)學命題、公式、定理、性質(zhì)的運算，等等，是關于概念之間的關系判斷，或者對某一事物的概括，挖掘蘊含在概念背后的深刻的數(shù)學思想.概念是一個邏輯真命題，概念、公式是怎樣產(chǎn)生的，內(nèi)涵是什么？有什么作用？概念和公式是數(shù)學家通過研究發(fā)現(xiàn)的數(shù)學結論.變式教學可以通過改變概念的外延或改變一些能混淆概念外延的屬性來獲得對概念的多角度理解，還可以通過數(shù)學活動操作幫助學生理解概念，獲得解決問題的表征和策略.這策略包括意義更廣泛的“研究策略”“解題策略”等等.[5]

高等數(shù)學的基本功能是為培養(yǎng)技能型專業(yè)人才提供必要的數(shù)學知識.這知識大都融合在學科內(nèi)容的例習題之中.有效的選題、解題、變式，[6]有著鞏固和深化新知，補充與延伸新知，綜合運用新知，領悟數(shù)學思想與方法等功能.[7]變式是對某種范式的變化形式，不斷變更有關情境或改變思維的角度，有的在保持事物的本質(zhì)特征不變的情況下，使事物的非本質(zhì)屬性不斷遷移的變化方式.變式既是一種重要的思想方法，又是一種行之有效的教學方式.[8]變式要把握“三個度”：一是“梯度”，要循序漸進，控制在學生水平的“最近發(fā)展區(qū)”；二是“參與度”，學生能積極參與互動，變式要發(fā)揮學生的首創(chuàng)精神，突出“以學定教”“學為主體”“教為主導”，點燃學生思維火花，提高學生參與創(chuàng)新的意識；三是“適度”，適度包括了解學情、了解背景、了解基礎、以生為本，以學定教，把握教綱，對例題習題的數(shù)量、類型、難易程度進行細致的解讀.變式不能太多太難，變式過多過難，不但會造成題海，增加無效的勞動和加重學生的負擔，而且還會使學生產(chǎn)生逆反心理，對變式產(chǎn)生厭煩情緒.[9]但是，如果對教材內(nèi)容處理單一，照本宣科，僅僅局限在教材所提供的一些現(xiàn)成的、孤立的示例或習題上，就題論題，缺乏變通和創(chuàng)新，缺乏一定數(shù)量的訓練，容易讓學生思維模式化、套路化，這樣只能培育機械模仿者，同時，也容易誤導學生以為世界就那么大，題型就這么多，因而，造成束縛學生思維，影響學生發(fā)展.

2 高等數(shù)學變式多解的研究

適度的選題、變式、解題要根據(jù)學情，圍繞核心、提煉核心概念，呈現(xiàn)研究目的.目前中國數(shù)學問題的解決僅針對“‘沒有毛病’的數(shù)學問題”，使學生對問題的批判意識削弱.[10]學生思維意識削弱在一定程度上取決于選題、變題、解題. 變式教學是中國數(shù)學教學中的一個傳統(tǒng)，備受一線教師的推崇與青睞.[11]“為什么要變？”“如何變？”“誰是變的主體”等方面的研究雖然存在短板現(xiàn)象，但變式可以培養(yǎng)學生的“應變能力和創(chuàng)造力”，培養(yǎng)一種我要變、主動變、我會變、靈活變的良好氛圍，實現(xiàn)以“為教材的教”向“為學習的教”的轉變. 現(xiàn)以“十二五”普通高等教育本科國家級規(guī)劃教材高等數(shù)學（以下簡稱高數(shù)）（第七版）（上冊）為例，同濟大學數(shù)學系編，對部分例題和習題進行探索研究.

2.1 一題多解

哈爾莫斯說，“學習數(shù)學的最好方法是解題”. 解題的目是強化對概念與原理的理解，提高分析和解決數(shù)學問題以及實際問題的能力.多解不在于重復練習很多題，而在于如何從已知中發(fā)現(xiàn)問題. 一般可以分為三種類型來思考：一是為了解決某種問題，需要具備什么條件（即目標明確，條件未知）？二是在現(xiàn)有的條件下可以解決什么問題（即條件已知，目標不明確）？三是利用已知條件如何解決某個問題（即條件已知，目標明確）[12]？雖然數(shù)學課程將不再強調(diào)向?qū)W生提供系統(tǒng)的數(shù)學知識，[13]但“提倡算法多樣化和必要的優(yōu)化”.即通過“算法多樣化和必要的優(yōu)化”，能讓學生站在系統(tǒng)的高度看問題.[14]從一個簡單的問題出發(fā), 在不斷改變問題的背景或條件的基礎上, 展開討論, 展示成果, 概括經(jīng)驗, 把握規(guī)律, 倡導理念，生成智慧 . 達到讓例啟思, 讓例促思, 以例帶習, 以點帶面，融類旁通, 達到對知識的理解和解題的示范引領: 即新知識應用的示范引領、解題程序與表述的示范引領. 如何解題? 實現(xiàn)示范引領, 教師要起引領作用. 引領選題、解題、變式, 變式是提升學生實踐應變能力的重要因素，例題、習題和變式一題多解是鞏固數(shù)學知識的有效手段. 波利亞說：“一個專心認真?zhèn)湔n的教師能夠拿出一個有意義的但又不重復的題目，去幫助學生挖掘問題的各個方面，把學生引入一個完整的理論領域. 例如,定積分的計算，先引領學生計算教材第247頁例1.

案例1計算

解法3 （用分部積分法），見教材201頁，例21，用積分表376頁，公式67，求得，

解法4 （利用定積分的幾何意義），畫出幾何圖形（圖略），

知識可以看作思維的“載體”[15]，教材的“載體”一般只提供一種解法，而且有的解法學生不一定可以接受. 雖然例題教學不能為講方法而方法，但是要注重必要的優(yōu)化，講好方法，注重用思維方法的分析帶動具體知識內(nèi)容的教學，即解題思路、過程和方法，這方法需要考慮感性與理論、現(xiàn)象與本質(zhì)、數(shù)與形、正反面、理論與實踐、傳統(tǒng)與現(xiàn)代、內(nèi)因與外因相結合.[16]提升解題質(zhì)量取決于教師的教與學生的學.[17]教師的教應該表現(xiàn)出藝術的感染力 . 一題多解和例題習題的變式，是“數(shù)學探究”的重要渠道.[18]

案例2求極限.（高數(shù)上冊 P65, 習題 1-7,5（1））

解法1 （利用等價替換公式），

分析2 根據(jù)學生熟悉的第一個重要極限求解，即

解法2 先變形，然后利用第一個重要極限和極限的運算法則求解

知識是經(jīng)驗的結果，[19]也是思考的結果，知識的融合是教師教學能力的基本保障.[20]從本質(zhì)上說，作為合格的數(shù)學教師，應該是通過數(shù)學教學幫助學生對問題“想得快一點、想得多一點、想得全一點、想得深一點”，培養(yǎng)學生“即興思維”的能力，真正幫助學生學好相關數(shù)學知識.

案例3求極限.（高數(shù)上冊 P65, 例 8,）

分析1 利用復合函數(shù)的連續(xù)性定理和極限的運算法則求解

構建主義認為，學習不是知識從外到內(nèi)的傳遞，而是人積極主動構建的過程.由教的過程轉化為學的過程和變的過程，讓學生多解多練及時講解、及時反饋比反復強調(diào)抽象的概念和公式更能取得好的教學效果.

1.原分類所得稅制下，納稅人不同來源渠道的所得分別適用其費用扣除標準計算納稅。多渠道取得所得的納稅人可多次享受費用扣除，以降低其稅負水平。在綜合所得合并征稅的制度下，對納稅人取得的收入需要匯總納稅。此時，不論納稅人的所得是單一渠道取得或是多渠道取得，都只能適用一次費用扣除，納稅人的稅負水平不會因所得來源渠道數(shù)量不同而產(chǎn)生差異。

2.2 變式多解

“最好的方法是變化方法”[21].一道典型例題或習題，可以演變出多種變化：條件變化、結論變化，等等.變式多解以培養(yǎng)數(shù)學思維品質(zhì)為目的.變式可分為命題變式，問題變式，變式教學是中國傳動數(shù)學教學經(jīng)驗.20世紀80年代以來引起了數(shù)學界的關注.變式多解要善于引發(fā)學生的認知沖突，是課堂閃亮觀點的交鋒，智慧的碰撞.變式多解要善于創(chuàng)設學習情境，給出懸念，給學生提供主動探究的空間，激發(fā)學生多向思維，使學生產(chǎn)生強烈的創(chuàng)新意識.[22]如，把案例1的積分上限和被積函數(shù)變形，變形為：

案例4

如果將案例2的分子、分母同時變形，即變形為：

案例5求極限

所以可以根據(jù)替換公式和單角公式求解，

解法2 （利用第一個重要極限和替換公式），

數(shù)學問題解決中的遷移，很大程度上是依賴于問題之間的抽象關系，變題之后的一大舉措是要引導學生認清不同數(shù)學問題之間的關系，[23]把相關數(shù)學問題從知識、條件、結論、命題變化、思想方法等方面進行鏈接，讓學生留心鏈接中的細節(jié)，課堂才會閃亮智慧火花. 如，高數(shù)上冊P208，習題4-2中，2（20），被積函數(shù)中的分子不變，把分母改為1，即變形為：

案例6求

高數(shù)課堂教學中的變題、解題不但需要習得扎實的專業(yè)基礎知識和豐富的教學經(jīng)驗，而且要持之以恒地在數(shù)學課堂教學中滲透，在反思總結中概括，在運用練習訓練中鞏固，在互動解題中發(fā)展.[24]互動是一種“默契”，一種超越物質(zhì)層面的“情感交流”，從而找到自信和不足.[25]切實把握研究的重點和目的, 幫助學生準確地解題，真正能讓參與者以研究的心態(tài), 務實的作風, 實實在在地去探究問題，掌握知識技能，對其思維方法、情感態(tài)度與價值觀的養(yǎng)成，不是只求形式, 而不求實效.

2.3 從“錯誤”到“感悟”，進行改錯相教

“錯題”能使學生在解題中提高審題能力，增加他們的評判性意識.[26]教師對錯題不但要有“容錯”的胸懷，更要有“融錯”防錯的藝術，“融錯”是教育者的教學情懷，“融錯”從寬容、反思過程中改錯相教，藝術化的處理，[27]從而讓學生感悟錯有所得. 由案例3變形為：

案例7求極限

解法1 （錯解），根據(jù)等價替換公式和同角三角函數(shù)的關系式求解

解法2 （錯解），根據(jù)等價替換公式、重要極限和同角三角函數(shù)的關系式求解

解法3 （正解），根據(jù)等價替換公式、左右極限（或重要極限）和同角三角函數(shù)的關系式求解

當學生解決完一個問題后，要對學生進行激勵，激勵包括尊重與贊賞學生的努力、評價與反饋學習情況.要對問題進行反饋和回味，顯示出對已經(jīng)解決的數(shù)學問題的一種“依依不舍”的心態(tài)，這心態(tài)不但可以引領學生對問題解決過程進行反思，而且可以揣摩命題者的意圖，為命題者的精妙構思“拍案叫絕”.對于解法1和解法2既要看解的過程，又要看解的結果，有的學生對這解的過程和結果感到“既有趣又有疑”.有趣、有疑課堂才有生成性、挑戰(zhàn)性和生動性 . 學生深感對數(shù)學問題情感淡薄“恨之入骨”，體會命題者的“苦口良心”.真情對待學生，但不是與學生是“哥們”，而是給他們學習的信任和共同的探索.“真情”可以成為成長道路上的“一字之師”“啟迪之源”.一句鼓勵、一句支持、一處點拔，影響課堂、影響一生.錯誤、錯解對教師而言是融入還是包容？對學生而言,“錯誤是試驗田, 在試驗田中精心播種, 將能獲得良種的感悟.”錯誤雖然是一種主觀行為, 但卻客觀存在錯解.錯答、錯說、錯題都意味著錯誤.對錯誤“給一個巴掌”或許能達到“認錯”的目的, “給一個微笑”“給幾許關注和包容” 卻能達到知錯、容錯、 析錯、改錯的效果.通過“容錯”雖然可以提升教師的專業(yè)素養(yǎng), 展示教師的教學情懷, 但通過“改錯”可以提升學生的學習效率和防錯能力.從 “錯誤”到 “感悟”.深感數(shù)學是一門注重培養(yǎng)學生嚴謹?shù)倪壿嬎季S的科學.高數(shù)中的概念、性質(zhì)、法則、公式、定義、定理以及這些內(nèi)容的掌握和鞏固主要通過解題和變題多解.一方面可以引發(fā) “觀念沖突”, 另一方面可以加深學習者對樣例的思考. 解法1和解法2答案雖然相同，但解題過程錯誤. 解題不但只看答案，更要看解題思路和解題過程中應用的有關公式或概念是否正確.由于應用之錯誤，造成解法1和解法2錯誤.

3 結論

通過高數(shù)課堂教學中的選題、變題、解題研究，使學生深刻體會到數(shù)學知識的學習，要刻苦要艱心辛付出，經(jīng)受高維難度的挑戰(zhàn)和鍛煉，刻苦和艱辛不是用“名次”來刺激，挑戰(zhàn)和錘煉也不是絕對的煎熬.變式多解教學是高數(shù)教學的軟肋和短板，解題是主體.解題是數(shù)學思想方法的生長點，是珍斷反思能力的重要標志.例題、習題是實現(xiàn)課程目標、實施數(shù)學教學的重要資源. 變式多解不但可以加強各知識的縱橫聯(lián)系，而且能促進解題策略的進一步優(yōu)化.但變式多解有一定的局限性，不應該成為束縛學生思維的桎梏，變式教學要充分考慮基礎性和層次性.變式掌握“三個度”，選題把握 “三原則”，解題策劃好思路，不僅有利于解題結論和基礎知識的回味、有利于模式化解題的總結和提升. 還能有效激發(fā)學生的學習興趣,使學生對所學內(nèi)容進一步 “學活”“學懂”“學深”.遵循“選”的規(guī)律、變的根本、解的路徑，挖掘“多變”的方式和“多解”的方法，選題、變式、多解的根本意義在于促進學生的學，[28]在于提升學生在高數(shù)課堂教學中的“生氣”“靈氣”和“勇氣”.[29]