張滿(mǎn)君

【摘要】本文結(jié)合教學(xué)實(shí)踐中常見(jiàn)的線(xiàn)性規(guī)劃類(lèi)型，探討解答相關(guān)類(lèi)型題目的注意事項(xiàng)及解答技巧，希望可以給教師在線(xiàn)性規(guī)劃的講解上帶來(lái)一些幫助。

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué);線(xiàn)性規(guī)劃;求解策略

中圖分類(lèi)號(hào)：G633.65 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：0493-2099（2020）19-0117-02

一、線(xiàn)性目標(biāo)函數(shù)最值問(wèn)題及其解答策略分析

求解線(xiàn)性目標(biāo)函數(shù)的最值問(wèn)題屬于考試的基礎(chǔ)題型，多出現(xiàn)于選擇題和填空題，因?yàn)槠潆y度不大，學(xué)生較為容易掌握。遇到這類(lèi)問(wèn)題時(shí)，學(xué)生需要根據(jù)題目要求，采用圖解法一步步求解，這類(lèi)題型的關(guān)鍵點(diǎn)就是需要學(xué)生認(rèn)真審題，在全面清楚地了解題目要求后再動(dòng)筆解答，切忌粗心大意。最大值。

題目分析：學(xué)生具體解答時(shí)應(yīng)該根據(jù)題設(shè)條件畫(huà)出數(shù)值的可行域，而后將目標(biāo)函數(shù)平移，結(jié)合可行域具體分析得出題目要求的最大值。具體可行域如右圖1所示：

由圖一我們可以非常明了地得出函數(shù)z=3x+2y圖像在可行域的移動(dòng)范圍，越往右上角移動(dòng)其數(shù)值越大，聯(lián)立方程組進(jìn)行求解，可以得出A點(diǎn)的具體坐標(biāo)為（10，20），代入方程組z=3x+2y可以得出其最大值為70。

點(diǎn)評(píng)：該類(lèi)型題目基本沒(méi)有難度，教師應(yīng)該讓學(xué)生明確解題的具體步驟，保證看清題目以免因?yàn)榇中拇笠馐Х?。具體解題過(guò)程，首先應(yīng)該正確地畫(huà)出可行域的范圍，準(zhǔn)確地計(jì)算出直線(xiàn)方程的交點(diǎn)坐標(biāo)。其次，應(yīng)該看清題目給出的問(wèn)題，是求最大值還是最小值，而后根據(jù)得出的可行域和極點(diǎn)坐標(biāo)，保證目標(biāo)函數(shù)圖像移動(dòng)方向的正確性。最后綜合分析得出正確答案。

二、非線(xiàn)性目標(biāo)函數(shù)極值問(wèn)題及其解答策略分析

線(xiàn)性規(guī)劃中還存在一類(lèi)求極值題型，其目標(biāo)函數(shù)不是線(xiàn)性函數(shù)，難度相比線(xiàn)性目標(biāo)函數(shù)有所增加，采用平移圖像的方法無(wú)法直接得出結(jié)論。但是在解題中仍然需要畫(huà)出正確的可行域范圍，而后學(xué)生需要認(rèn)真觀(guān)察非線(xiàn)性目標(biāo)函數(shù)，查看其是否是特殊的圖像函數(shù)，具體如圓、橢圓、拋物線(xiàn)等，而后借助其具體性質(zhì)進(jìn)行求解。10x+25的最小值。

題目分析：在實(shí)際教學(xué)中學(xué)生對(duì)于求解這類(lèi)型非線(xiàn)性規(guī)劃題目存在一定的恐懼心理，因?yàn)椴幌窬€(xiàn)性函數(shù)那樣直觀(guān)明了，教師首先應(yīng)該根據(jù)學(xué)生心理將大問(wèn)題細(xì)分，將困難點(diǎn)逐個(gè)擊破，給學(xué)生建立起解題的自信心，只有這樣才能在答題時(shí)擁有更加清晰的思路。

結(jié)合題目我們首先需要根據(jù)已知條件畫(huà)出方程的可行域如圖2，但是該方程并不是線(xiàn)性函數(shù)，因此需要對(duì)目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行簡(jiǎn)化精減，即，z=x²+y²一10x+25=x²+（y-5）²，由此我們可以看出可行域中的點(diǎn)到點(diǎn)M（0，5）距離平方的最小值，也就是距離最近的點(diǎn)。

接下來(lái)，根據(jù)題目設(shè)定的條件我們畫(huà)出圖2，表示出可行域范圍，解答時(shí)過(guò)點(diǎn)M做AC線(xiàn)段的垂直線(xiàn)，MN長(zhǎng)度的平方即為所求的結(jié)果，利用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式，我們可以直接求解出MN的長(zhǎng)度的平方值為9/2。所以z=x²+y²-10x+25在方程組中的最小值為9/2。

后續(xù)點(diǎn)評(píng)：解答目標(biāo)函數(shù)如果為非線(xiàn)性函數(shù)題型時(shí)，除了需要正確精準(zhǔn)地畫(huà)出題目要求的可行域范圍外，最為關(guān)鍵的還是需要對(duì)目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行巧妙的等式轉(zhuǎn)換，將非線(xiàn)性函數(shù)變?yōu)橐阎暮瘮?shù)模型，借助集合意義進(jìn)行最終求解。

例如目標(biāo)函數(shù)為z=（x-a）²+（y-b）²的形式，可以看作是可行域中點(diǎn)到點(diǎn)（A，B）的距離，目標(biāo)函數(shù)如果可以轉(zhuǎn)換成為圓方程，應(yīng)該通過(guò)圓心的坐標(biāo)進(jìn)行目標(biāo)轉(zhuǎn)換，進(jìn)而快速得到答案?？傊?，學(xué)生在面對(duì)這類(lèi)型題目時(shí)需要擁有平常心，仔細(xì)分析目標(biāo)函數(shù)的形式，盡量地簡(jiǎn)化成為已知的函數(shù)形式，這需要學(xué)生在課下自行鍛煉和總結(jié)。

三、目標(biāo)函數(shù)參數(shù)的解答策略分析

線(xiàn)性規(guī)劃中，目標(biāo)函數(shù)參數(shù)問(wèn)題屬于線(xiàn)性規(guī)劃中逆向思維的題目類(lèi)型，不同于上面講到的線(xiàn)性函數(shù)和非線(xiàn)性函數(shù)，題目靈活性極強(qiáng)，解析難度較大。大部分學(xué)生因?yàn)闆](méi)有系統(tǒng)性地理解線(xiàn)性規(guī)劃題目的核心，面對(duì)這類(lèi)題目時(shí)經(jīng)常不知道如何下手，實(shí)際上只要明確目標(biāo)函數(shù)最值一般在可行域邊界交點(diǎn)處，而后借助數(shù)形結(jié)合思想也就不難進(jìn)行解答。

例4平面直角坐標(biāo)系中，不等式組積為2，那么a的值是（ ）。

A.-5 B.1 C.2 D.3

題目分析：解答這類(lèi)型題目的時(shí)候，應(yīng)該認(rèn)真分析題目的前置條件，首先將不等式中兩個(gè)已知的直線(xiàn)方程在坐標(biāo)中表達(dá)出來(lái)，而分析ax-y+1≥0恒過(guò)點(diǎn)（0，1），即可以看作是圍繞點(diǎn)（0，1）進(jìn)行旋轉(zhuǎn)的直線(xiàn)，所以，可以根據(jù)這些因素做出如圖3所示的圖形：

接下來(lái)進(jìn)一步觀(guān)察題目給出的四個(gè)選項(xiàng)，逐個(gè)進(jìn)行分析。當(dāng)a=-5時(shí)，可行域不是封閉的圖形，不符合題目條件所以舍去;當(dāng)a=1時(shí)可以很容易地得出可行域面積為1，保留繼續(xù)分析;當(dāng)a=2時(shí)，可行域的面積為3/2;而當(dāng)a=3時(shí)，可行域面積為2。綜合分析可以很容易得出只有D選項(xiàng)是最為符合題目要求的，所以正確答案應(yīng)該是D選項(xiàng)。

題目點(diǎn)評(píng)：線(xiàn)性規(guī)劃中目標(biāo)函數(shù)求解的題目特點(diǎn)是參數(shù)難度大，圖形復(fù)雜，學(xué)生如果沒(méi)能掌握一定的技巧很難進(jìn)行分析。就上面例題具體分析來(lái)看，很多學(xué)生不能把握住題目的關(guān)鍵點(diǎn)，也就是ax-y+1≥0恒過(guò)點(diǎn)（0，1）這個(gè)隱含條件，錯(cuò)失分?jǐn)?shù)。因此解答這類(lèi)型題目時(shí)，學(xué)生應(yīng)該認(rèn)真分析所有已知條件，先將已知的直線(xiàn)圖像表示在平面直角坐標(biāo)系中，接下來(lái)分析具體的直線(xiàn)方程，找出其中隱藏的條件，教師應(yīng)該針對(duì)性地加強(qiáng)這類(lèi)題目的訓(xùn)練，只有讓學(xué)生見(jiàn)到更多題目，才能更好地掌握這種題型的解題技巧。

四、結(jié)語(yǔ)

綜上所述，線(xiàn)性規(guī)劃是高中數(shù)學(xué)中較為重要的內(nèi)容，在考試中因?yàn)轭}型靈活多變，教師需要針對(duì)性地總結(jié)出其中各類(lèi)型題目的解題方法，并加強(qiáng)這類(lèi)題型的練習(xí)，將習(xí)題量和方法技巧有機(jī)結(jié)合起來(lái)，確保學(xué)生真正掌握這一基礎(chǔ)知識(shí)，以達(dá)到快速提升學(xué)生線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題的解題效率的最終目的。

（責(zé)任編輯 范娛艷）