頓繼安 陳東峰

(1.北京教育學院 100120；2.北京匯文中學 100061)

1 問題的提出

作為我國高中數(shù)學課程確定的六大數(shù)學學科核心素養(yǎng)之一，數(shù)學建模素養(yǎng)的培養(yǎng)屬于薄弱地帶，張淑梅等(2019)基于大樣本測試發(fā)現(xiàn)，當前我國學生數(shù)學建模素養(yǎng)在六個數(shù)學核心素養(yǎng)中的測試平均分最低[1]，說明教學需要在這方面做出更多的努力.

“數(shù)學建模是應用數(shù)學解決實際問題的基本手段，也是推動數(shù)學發(fā)展的動力”[2]，實際上，“很多重要的數(shù)學思想都是在解決實際問題的過程中被發(fā)明或發(fā)現(xiàn)的”[3]，許多數(shù)學概念、定理等自身就是從解決實際問題的經(jīng)驗中提煉、抽象而得的數(shù)學模型，因此，在教學中需要重視這樣的知識的產(chǎn)生過程對于培養(yǎng)學生的數(shù)學建模素養(yǎng)的價值.

函數(shù)就是這樣的知識.從數(shù)學史上看，一個新函數(shù)被發(fā)明有兩種方式，如彭家勒所說：“從前，當一個新函數(shù)被發(fā)明時，正是為了某種實用的目的；今天，為了指出我們祖先推理的錯誤，才特意發(fā)明新函數(shù)”[4]，這里的“從前”指的是服務于具體的問題解決的函數(shù)研究階段，主要任務是找到作為實際問題的解的函數(shù)；而“今天”則指函數(shù)理論進入嚴格化階段，一些并無現(xiàn)實背景的函數(shù)(如狄利克雷函數(shù))被構造出來用以說明函數(shù)概念的本質、打牢函數(shù)理論大廈的根基.

這兩種途徑可以大致概括為外部問題驅動和內部問題驅動，它們在今日中學數(shù)學課程新函數(shù)的教學中都有體現(xiàn)，不過具體細節(jié)卻與歷史存在很大差異.數(shù)學內部途徑產(chǎn)生的函數(shù)不再只是為了“指出祖先推理的錯誤”，而是設計為數(shù)學知識自然生長的結果，例如對數(shù)函數(shù)從數(shù)學運算的角度自然產(chǎn)生，而三次函數(shù)乃至冪函數(shù)等也都是一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例的自然延展.

“實用的目的”即外部問題驅動仍然是數(shù)學課程中產(chǎn)生新函數(shù)的主要方式，但問題的特點與歷史相比卻有了很大變化.數(shù)學史上很多新函數(shù)來自微分方程的解，這些微分方程則是物理等科學領域問題的數(shù)學模型，而今日的數(shù)學課程顯然難以按照數(shù)學史安排，新函數(shù)的得出主要指向的是某個實際背景中“某兩個變量間具有怎樣的關系”的問題，由于給出的實際問題中的原理或是學生已知、或是題干中先做介紹，因此，通過分析、推理和運算就能得到函數(shù)解析式，再將參數(shù)一般化而得到新函數(shù)的定義，這樣的函數(shù)可以看成是“為表達世界而建模”[5]，一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)、指數(shù)函數(shù)等都遵循的是這一思路，其產(chǎn)生過程可以用下面的流程圖表示：

教科書一般在章引言中介紹一些周期運動的現(xiàn)象，指出這些現(xiàn)象可以用三角函數(shù)刻畫，但任意角的三角函數(shù)概念的產(chǎn)生卻并未圍繞某個具體的周期運動現(xiàn)象的刻畫過程進行，而是直接給出定義，直到產(chǎn)生了三角函數(shù)的圖象、性質后，學生才會面對解決實際問題的任務.

教學實踐中，有教師試圖以實際問題引入，設計了摩天輪問題[6]：

圖1

摩天輪的中心離地面的高度為h0,它的直徑為2r,逆時針方向勻速轉動 , 轉動一周需要 360秒 ,若現(xiàn)在你坐在座艙中 ,從初始位置點A出發(fā) (圖1),求相對于地面的高度h與時間t的函數(shù)關系式 .

問題提出后，教師先引導學生得出t=20,30,70時h的式子，進而形成h=h0+rsint的猜想，但是，接下來教師并未讓學生思考，自己也并未介紹t>90的情況如何建立h與t的關系，而是問：“隨著摩天輪的轉動 ,角度也不知不覺地推廣到了任意角，對任意角α，該如何定義sinα呢 ？”接下來，教師引導學生得出P運動到圓周的不同位置時用P點坐標表達的h的式子，進而給出任意角的正弦函數(shù)定義.

我們看到，教科書和教學實踐中的教師都未給學生展現(xiàn)應用已有知識建立實際問題的數(shù)學模型的過程，而是直接給出任意角的三角函數(shù)定義，這就使得任意角的正弦函數(shù)的定義“像從一頂帽子里抓出一只兔子的戲法一樣令人感到意外.它根本不具有什么啟發(fā)性”[7].

本研究要探討的問題是：應用學生已有知識能否建立摩天輪等實際問題的數(shù)學模型?得到的數(shù)學模型與任意角的三角函數(shù)的定義有何關系？在基于數(shù)學建模的三角函數(shù)概念產(chǎn)生的各項數(shù)學活動任務面前學生如何表現(xiàn)？怎樣的教學策略能夠突破難點？

2 作為數(shù)學模型的三角函數(shù)概念的形成過程

數(shù)學史上通常認為將解三角形意義上的銳角三角函數(shù)拓展為三角函數(shù)的是數(shù)學家歐拉，而導致歐拉完成這一工作的是一系列從物理問題中得到的微分方程的求解問題[8].顯然，按照今日中學數(shù)學課程的體系與目標，這樣的過程難以還原.實際上，“個體知識的發(fā)展必須遵循人類知識的發(fā)展過程”并非指所有歷史細節(jié)，是“假定我們的祖先已經(jīng)知道我們今天有幸知道的東西，將會發(fā)生的歷史”，本文的分析即基于此進行.

以教學中最常用的摩天輪問題為例，如圖2所示的摩天輪在周而復始、勻速轉動的過程中，有多個可以研究的問題，其中某個座艙的高度的變化規(guī)律問題最引人注意.這一實際問題要變?yōu)榭山獾臄?shù)學問題，首先需要做必要的抽象和假設：將座艙抽象為點P，假設在轉動的過程中座艙與摩天輪的轉軸的距離始終不變并設為r，假設座艙到最低點時與站臺的距離為0.對座艙的高度的假設的不同，數(shù)學問題也不同.

圖2

如果按照如圖2(2)所示的方式設h和α，即研究從轉軸所在水平面出發(fā)的座艙P相對于轉軸所在水平面的高度h與OP轉過的角度α的關系，可以根據(jù)平面幾何知識得到h與α的關系式，但是，與其他新函數(shù)通過基本運算就能得到標準的函數(shù)解析式不同的是，由于此時只有銳角三角函數(shù)可以用來表示h與α的關系，因此，當α超出銳角范圍后，需要將之轉化為銳角，這樣得到的h與α的關系將是分段函數(shù)，如(*)式所示.

(*)

更符合實際情況的是按照如圖2(3)所示的方式設h和α，即研究從最低點開始運動的座艙相對于站臺所在平面的高度h與OP轉過的角度α的關系，得到(**)式.

(**)

兩種情況下h關于α的式子都比較復雜，但通過它，可以確定任一點的函數(shù)值，也可以得到這一函數(shù)的圖象、根據(jù)圖像推得函數(shù)的性質等，進一步得到與之有關其他具體問題的解.

如果以解決實際問題為目標，那么(*)或(**)式的得出就基本完成了任務，盡管這個函數(shù)的解析式很“難看”，但據(jù)此畫出的圖象卻平滑優(yōu)美，可以成為認識h(α)的函數(shù)性質的直觀而有效的工具.

但從數(shù)學的角度看，這個式子并不令人滿意.科朗說：“數(shù)學，作為人類思維的一種形式，體現(xiàn)了人們積極進取的意志、縝密周祥推理和對完美境界的追求”[9]，這種追求既是人的本能，也是數(shù)學教育的目標.憑借直覺和本能，人們希望對這樣一個繁復、與其圖象的平滑優(yōu)美極不匹配的解析式進行化簡.以往遇到一個形式不好的解析式的做法是通過運算性質將之變形、整理、簡化，但這樣的方法不適宜于這個式子，這里解析式的特點是自變量不同的部分形式不同，要想將之簡化，需要的是找到這些表面不同的式子背后的共同點.

站在今天我們已經(jīng)擁有的數(shù)學知識的角度看，通過將定義域為銳角的三角函數(shù)的定義域拓展為任意角就可以將式子化簡.拓展的基本思路就是將原定義域范圍內的定義方法用到更大的范圍中.以正弦函數(shù)為例，當α為銳角時sinα的定義方法是：將α放在平面直角坐標系中，頂點與原點重合、始邊與x軸的非負半軸重合，其終邊與單位圓的交點P(x，y)，則sinα=y；在對α為非銳角時的情況進行分析，發(fā)現(xiàn)如果按照這樣的方法定義sinα，就可以將h(α)在不同范圍內的表達式統(tǒng)一用sinα表示，從而達到目的.相同的思路用于定義域拓展余弦函數(shù)的定義，則可以將(**)式簡化.

梳理這一過程，我們看到，作為摩天輪情境下的一個問題的數(shù)學模型的正弦(余弦)函數(shù)的產(chǎn)生過程與其它新函數(shù)的產(chǎn)生過程存在著差異，真正的挑戰(zhàn)不是具體實際問題的函數(shù)解析式中參數(shù)的一般化，而是要以新思路、新方法對模型進行優(yōu)化，如下框圖所示：

3 基于學情開展教學

按照“基于學生已有經(jīng)驗建立實際問題的數(shù)學模型、通過優(yōu)化模型得到三角函數(shù)定義”的思路進行教學，在知識形成過程中勢必會花費更多的時間，學生將遇到遠比直接給出定義的教學方式更多的困難，但是，因為“學生會遇到困難”、“花費時間多”就不去展示過程的做法并不妥當，許多數(shù)學家和心理學家都論述過挑戰(zhàn)和難題的多重教育價值，例如M.克萊因說：“課本中的字斟句酌的敘述，未能表現(xiàn)出創(chuàng)造過程的斗爭、挫折，以及在建立一個可觀的結構之前，數(shù)學家所經(jīng)歷的艱苦漫長的道路.學生一旦認識到這一點，他將不僅獲得知識，還將獲得頑強的追究他所攻問題的勇氣，并且不會因為他自己的工作并非完美而感到頹喪”[10].

教學中切記模糊和籠統(tǒng)得做出“這樣太難了”的判斷，而是需要沿著數(shù)學建模完整過程中的各個關鍵環(huán)節(jié)了解學情，分析學生面對問題的可能表現(xiàn)以及表現(xiàn)背后的思維基礎和思維發(fā)展空間，以此為基礎采取合適的教學對策.

基于這樣的思考，我們開展了“正弦函數(shù)的定義”的教學實踐研究，教學主要部分的基本思路如圖3所示：

圖3 正弦函數(shù)定義的教學過程流程圖

在這樣的教學過程中，有三個任務富有挑戰(zhàn)性 ：用圖象表示h隨著α的增大而變化情況的猜想；利用已有銳角三角函數(shù)的知識表達h與α的關系建立分段函數(shù)模型；優(yōu)化分段函數(shù)模型得將銳角三角函數(shù)定義域拓展得到任意角的正弦函數(shù)定義.下面呈現(xiàn)這三個任務的策略選擇與實施情況.

3.1 關于圖象的猜想：樹立函數(shù)研究與識別“三位一體”意識

設計學生直觀想象函數(shù)圖象的活動，旨在培養(yǎng)學生在函數(shù)的研究與識別中建立“三位一體”的意識，即一個函數(shù)的解析式、圖象和數(shù)據(jù)各自表現(xiàn)出的特征之間的對應性和可轉化性，新形式的解析式、新的圖象、有新特點的數(shù)據(jù)都會帶來新函數(shù)的產(chǎn)生.盡管在課本中的函數(shù)學習和應用經(jīng)常是先有解析式，根據(jù)解析式得到數(shù)對、圖象，但真實的數(shù)學應用中，實際問題的規(guī)律通常并不為研究者所知，因此建立實際問題的數(shù)學模型并不能從分析、推理和運算開始，而是先要獲得數(shù)據(jù)，通過數(shù)據(jù)描點作圖，觀察圖象與已知函數(shù)的圖象符合，再用擬合的方法確定函數(shù)解析式，例如，新冠肺炎病毒的傳播模型的建立遵循的就是這一流程.

值得關注的是，學生都能根據(jù)意義說明h是α的函數(shù)(注：本節(jié)課在“發(fā)現(xiàn)問題、提出問題”的抽象與假設活動中，已經(jīng)將摩天輪的半徑設為1)，即α值確定則h值就唯一確定，并且都能直觀想象出h隨著α的變化而增減的大致狀況，但對于具體的增減的情況有不同的想象.圖4是呈現(xiàn)的是一個班的學生畫出的函數(shù)在一個周期內的圖象，圖5則是另一個班課堂教學中學生展示的作品，兩個班的學生基礎存在一定差異，但是表現(xiàn)出的想法卻有很多的共性.

圖4

圖5

3.2 分段函數(shù)模型的得出：用舊知識解決新問題

利用已有銳角三角函數(shù)表達h與α的關系式的數(shù)學思維是分類與轉化.分類的意義在于將并不具有統(tǒng)一規(guī)律的復雜情形分解為若干簡單情形，轉化的作用在于“用舊知識解決新問題”，這被李尚志教授稱作“重要的核心素養(yǎng)”[10]，在學生既往的數(shù)學問題解決活動中經(jīng)常使用，勢必會在新的數(shù)學問題的解決中發(fā)揮作用，并獲得進一步發(fā)展.

我們的實踐支持了這種判斷.面對最為關鍵的OP旋轉一周的情況，學生基本都能借助銳角三角函數(shù)正確寫出α的終邊在每個象限的情況h與α的關系式，不足的是，鮮有學生能夠完整寫出α在[0，2π )范圍內表達式，OP在坐標軸上的情況容易被漏掉，圖6是學生的代表性作品：

圖6

學生獨立工作的表現(xiàn)與正確的方法和答案之間的差距是其最近發(fā)展區(qū)，代表了他們需要幫助的地帶.幫助學生的方式很多，而關鍵在于引導學生對自己的思維過程進行分析.教學中，當這些作品展示出來后，教師提出“我們共同分析一下這一式子是否表達了OP繞O點運動時h與α的關系？”，學生將自己的答案和轉動過程比較，就認識到了被遺漏的情況，α終邊在坐標軸上的情形隨之得以補充.

3.3 模型優(yōu)化的方法：講清解決問題思路的形成

面對h(α)以分段函數(shù)表達的復雜的形式，學生都表現(xiàn)出對這個式子“不喜歡”“不滿意”和將其簡化的愿望，考慮到此前學生缺乏通過將函數(shù)定義域拓展而將之化簡的經(jīng)驗，教學中我們采用了以講授為主的方法，以有利于學生完整、連貫得認識到問題解決的過程和其中新的數(shù)學思想，為了實現(xiàn)這一目標，教師的講解突出了如下四層含義：

第一，分析h(α)的表達式如此繁雜的原因，在于用α表示h的工具只有銳角三角函數(shù)，因此對于非銳角情形必須將其轉化為銳角，對于循環(huán)往復的轉動來說就需要分為無數(shù)種情況，從而使得h(α)的解析式無窮無盡.

第二，針對問題產(chǎn)生的原因確定了解決的思路，就是突破將h用α表示的只有銳角三角函數(shù)這一工具的限制，拓展三角函數(shù)作用的角的范圍，即是定義任意角α的三角函數(shù).

第三，介紹定義任意角的正弦函數(shù)sinα需要遵循的原則.由于當α為銳角時sinα已經(jīng)有了定義，因此，新的定義必須與原定義相容、是原定義的自然拓展，而不要另起爐灶.

第四，分析由于α為銳角時sinα=y，自然的想法就是也這樣定義任意角α的正弦函數(shù)為sinα=y，這里的y指的是α終邊與單位圓的交點的縱坐標，而通過對α為非銳角情況的檢驗，發(fā)現(xiàn)這種定義方式確實能夠讓h(α)的形式變得簡化：h(α)=sinα，這樣就得到了任意角的正弦函數(shù)的定義.

以上四層含義中的內容既包括“是什么”和“怎么做”，還包括“為什么”和“怎樣想到的”，講清了這些，學生的有意義學習就發(fā)生了——這節(jié)課下課時，一位有課前學習經(jīng)驗的學生特意跟老師表達了自己的感受：“終于明白為什么這樣定義三角函數(shù)了”，從一個側面證明了這一點.實際上，講授法被稱為“基本功之基本”，并非由于這種方法對于教師的演講技巧有多高，而是需要教師講清“為什么”和“怎樣想到的”等問題，這是數(shù)學教師與數(shù)學家相比需要具備的獨特的專業(yè)知識.

4 結論與啟示

4.1 結論

作為實際問題的數(shù)學模型的三角函數(shù)定義的產(chǎn)生過程，與中學數(shù)學中的其他新函數(shù)相比有明顯不同：應用學生已有知識建立的實際問題的數(shù)學模型更為復雜、更具挑戰(zhàn)；從實際問題的數(shù)學模型到三角函數(shù)的定義不再是參數(shù)一般化，而是將原有函數(shù)的定義域拓展并在拓展范圍內給出新定義.

但這樣的教學思路有意義且可行.盡管應用已有知識建立實際問題的數(shù)學模型具有一定的挑戰(zhàn)性，然而其基本思想方法為常用的分類與轉化，因此，可以為學生提供自主探究的機會，教師適當指導即可；通過定義任意角的三角函數(shù)而將分段函數(shù)模型的各部分的式子統(tǒng)一的方法是學生首次遇到，通過教師的講授，可以更為完整得展示新的數(shù)學思想.

4.2 啟示

反思這一教學研究過程，有兩點富有啟示意義.

第一，知識的形成過程的意義與認識方法

基于數(shù)學建模過程開展的三角函數(shù)概念的教學，實質是盡可能展示完整的知識形成過程，包括問題的發(fā)現(xiàn)與提出、分析與解決、對結果的整理與優(yōu)化過程，在教學中可能會由于學生基礎、時間等具體情況，其中的富有挑戰(zhàn)性的重要活動并不以學生自主探究的方式進行，但教師必須理解知識的形成過程，才能設計并實施邏輯通暢的活動，讓有意義的學習發(fā)生，學生在獲得具體知識的同時學會思維.

到數(shù)學史中探尋數(shù)學知識的產(chǎn)生和發(fā)展的過程是基本方法.然而，一方面，并非所有的具體知識的形成過程都有記錄，另一方許多知識的發(fā)展史難以成為今日有著多重目標的數(shù)學課程形態(tài)，三角函數(shù)知識的形成過程就是一個案例.因此，要特別注意數(shù)學史為數(shù)學教學提供的除了直接可用的一些具體知識形成過程的史實外，更多情況是知識發(fā)生發(fā)展過程的原理，以獲取的原理為基礎，考慮今日學生的已有知識、掌握的思考工具、所處的創(chuàng)造環(huán)境等因素，通過思維實驗獲得“再創(chuàng)造”意義下的知識形成過程.

第二，以對教學內容的整體把握為基礎開展單元教學

前文著重介紹的是正弦函數(shù)的概念的研究和教學過程，顯然，這遠比常規(guī)教學直接給出正弦函數(shù)的定義花費更多的時間，隨之而來的問題就是：如果每個知識都這樣教，時間從哪里來？對此，筆者給出的回答是：要以對教學內容的整體把握為基礎進行單元教學設計.

首先,要整體把握三種三角函數(shù)的教學.解三角形意義下的三種銳角三角函數(shù)在初中就像“三胞胎”一樣同時產(chǎn)生，相應的銳角三角函數(shù)中拓展的過程也類似，因此，教學不必采用千篇一律的方式，更不必在類似的內容上平均著力，我們的實踐中，就請學生類比正弦函數(shù)的定義方法，自主給出任意角的余弦函數(shù)和正切函數(shù)的定義，通過閱讀教科書檢驗自己的定義是否正確、完善.

5 結束語

本研究基于實踐也指向了實踐的改進，但卻并非一個完美的教學過程.

比如，也許還可以給學生更多的空間.比如，關于三種三角函數(shù)的產(chǎn)生次序我們遵循了“正弦函數(shù)—余弦函數(shù)—正切函數(shù)”的常規(guī)安排，但這未必是唯一的選擇，如果為學會提供自主空間，這也并非更契合學生實際的選擇.前文的分析表明，我們在摩天輪情境下會產(chǎn)生不同的問題、驅動產(chǎn)生不同的三角函數(shù)，單就座艙高度與旋轉角度的關系問題而言，關于h的假設不同，具體的數(shù)學問題也不同，教學中聚焦到圖2(2)的情況是教師主動引導的結果，與實際更貼合的方式是圖2(3)所示的情形，而按照這種方式產(chǎn)生的(**)式比(*)式更為復雜，產(chǎn)生的則是余弦函數(shù).我們也未嘗試讓學生自主探索優(yōu)化分段函數(shù)模型、得到三角函數(shù)定義，也因此未能了解學生面對這一此前缺乏經(jīng)驗的任務的表現(xiàn).

教學經(jīng)常會充滿遺憾，遺憾中孕育著值得研究的問題，正是新的問題的不斷發(fā)現(xiàn)與提出，我們對數(shù)學教育的規(guī)律的認識才會變得更豐富.