田永輝 肖恢芙 趙婷

摘 ? 要：微積分是科學史上最偉大的發(fā)明之一，在許多科學與工程中，尤其是物理學科中有著廣泛的應用。利用微積分思想建立物理模型，不但方便解決相關問題，而且對理解其中相關的物理內涵有很大的幫助。文章以靜電場問題為例，從最基本的庫侖定律出發(fā)，求解點電荷周圍產生的電場，然后利用微積分思想解決體電荷分布的靜電場求解問題，著重強調微積分思想對物理模型的建立及物理圖像理解的重要性，從而把較為抽象、復雜的物理問題簡單化、直觀化，培養(yǎng)學生分析問題、解決問題的能力，實現物理核心素養(yǎng)教學的目的。

關鍵詞：物理模型;微積分;靜電場;庫侖定律

中圖分類號：G633.7 文獻標識碼：A ? ?文章編號：1003-6148（2020）6-0078-3

微積分是十七世紀最偉大的發(fā)明之一，微積分的出現也極大地推動了科學技術的發(fā)展，尤其是在物理學領域應用非常廣泛，例如求解變加速問題，任意電荷分布的靜電場問題，流體流速問題?？梢哉f，在物理學領域微積分思想無處不在。利用微積分思想建立物理模型不但可使問題求解變得簡單，而且可以把較為抽象的、復雜的物理問題簡單化、直觀化，更方便學生理解、接受。本文以靜電場為例，說明微積分思想在物理模型建立過程中的作用。

當然，這只是我們?yōu)榱搜芯糠奖?，根據庫侖定律建立了一個理想的點電荷模型，從而很方便地求解點電荷周圍的電場分布情況。物理教學可以讓學生認識自然界中的物理現象，并掌握其中的物理內涵，從而實現在工程中的應用。而實際上，真正理想的點電荷是不存在。例如，一個半徑為r的均勻帶電球體在其周圍產生的電場情況是怎么樣的呢？當然，這里如果半徑r遠遠小于所考慮的空間尺寸，此時r可以認為是一個無窮小量，也就是該均勻帶電球體可以看成一個點電荷，這也就是微積分的思想。當然，如果r相對于所考慮的空間尺寸不可忽略，這時我們就要考慮球體尺寸對所求解問題的影響，因為這種情況偏離了庫侖定律成立的條件，無法直接利用庫侖定律建立的點電荷模型求解電場問題。

這里可以引導學生深入思考這種偏離庫侖定律成立條件問題的靜電場求解問題。給學生提出問題，讓學生深入思考可能的解決辦法，讓學生帶著疑問繼續(xù)下面的課堂學習。如提出問題：

（1）如果帶電小球的體積不能忽略，如何求解帶電小球周圍的電場情況？

（2）對于任意幾何形狀的體電荷分布的靜電場問題如何求解？

顯然，以上的問題無法直接應用庫侖定律解決，但是庫侖定律又是解決靜電場問題之根本。因此，可以利用庫侖定律并借助數學——微積分建立合適的物理模型，從而把所要求解的問題簡單化、直觀化，使問題得到解答。

2 ? ?真空中多個點電荷系統(tǒng)的靜電場求解

回答以上問題實際上就是體電荷分布的靜電場求解問題。在討論該問題之前，我們首先討論多個點電荷系統(tǒng)的靜電場求解問題。

例如，如果真空中有兩個點電荷Q1、Q2（如圖2所示），如何求解空間中某一點P處的電場？

因為電場的疊加原理學生是清楚的，這里可以直接利用場的線性疊加原理求解點P處的電場。也就是說，點P處的電場是點電荷Q1在點P處產生的電場E1（r）與點電荷Q2在點P處產生的電場E2（r）的矢量和E1（r）+E2（r）。

庫侖定律是一個實驗定律，利用庫侖定律可以方便、直觀地解釋日常生活中經常遇到的一些靜電現象。因此，對學生而言從庫侖定律出發(fā)求解點電荷系統(tǒng)在其周圍產生的電場情況相對較為容易接受，但是如何從點電荷系統(tǒng)過渡到體電荷系統(tǒng)是一個棘手的問題。因為對于體電荷分布系統(tǒng)，產生電場的源（場源）的幾何尺寸不能忽略，但是在考慮場源幾何尺寸效應的情況下，又無法直接利用庫侖定律求解其周圍的靜電場問題。因此，這里可以首先利用微積分思想把連續(xù)的體電荷分布離散化，然后過渡到點電荷系統(tǒng)，而點電荷系統(tǒng)的靜電場求解問題相對就較為容易了[4-6]。

3 ? ?真空中體電荷分布的靜電場求解

如圖3所示，一個任意的帶電體，其體電荷密度為ρv，求其周圍的電場分布情況。顯然，這個問題不能直接利用庫侖定律求解。我們可以利用微積分思想建立點電荷模型，然后再利用庫侖定律求解。首先，把這個體電荷離散為無數多個小的體電荷，每個體電荷的體積為dvi，根據體電荷的密度可知，該小體電荷所包含的電量為ρvdvi，這里dvi認為是一個體微分元，即其體積趨向于零，但永遠不等于零，那么這個小體電荷微分元就退化為了一個點電荷（只有電量，沒有幾何尺寸）。根據單個點電荷在空間任意位置P處產生的電場可知：這個體電荷微分元在任意位置P處產生的電場為Ei（r），因為我們把這個體電荷離散為無窮多個體電荷微分元，這個體電荷周圍的電場是由這無窮多個體電荷微分元共同作用的結果，而每個體電荷微分元又可以看成一個點電荷（電量為ρvdvi），因此該問題就轉化為真空中無窮多個點電荷系統(tǒng)求解其周圍靜電場問題。

4 ? ?總 ?結

本文著重強調微積分思想在物理理論模型的建立、物理圖像的認知及物理本質的理解等方面的重要性。為了說明這個問題，本文從標準的點電荷模型出發(fā)，利用庫侖定律求解其周圍的靜電場分布問題，然后利用微積分思想把體電荷分布離散化為無窮多個點電荷分布，從而建立了由無窮多個點電荷組成的體電荷模型，使得原本不滿足庫侖定律條件的靜電場問題得到解答。

《普通高中物理課程標準（2017年版）》中提出的物理學科核心素養(yǎng)之一便是科學思維，建立物理模型是科學思維和科學探究的重要組成部分。本文通過微積分思想在物理理論模型建立過程中應用的討論，力圖讓職前教師對數學方法在物理建模中的作用有更深入的理解，從而提升職前教師的建模能力，提升物理教師的教學素養(yǎng)。

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（欄目編輯 ? ?李富強）