溫孝明 徐月琴 劉磊

摘 要：美國數(shù)學(xué)教育家M·克萊因曾經(jīng)說過：歷史上數(shù)學(xué)家所遇到的困難，正是學(xué)生也會(huì)遇到的學(xué)習(xí)障礙，因而數(shù)學(xué)史資源是教學(xué)的指南。由此可見，數(shù)學(xué)史及數(shù)學(xué)文化資源對(duì)于我們中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)有著重要的意義和不可替代的作用，它對(duì)激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，幫助學(xué)生建構(gòu)相關(guān)的數(shù)學(xué)概念，改變教師教學(xué)策略有著積極的作用。在HPM思想指導(dǎo)下，將高中數(shù)學(xué)課標(biāo)中注重?cái)?shù)學(xué)文化的滲透、融入教學(xué)的基本理念落實(shí)在我們的教學(xué)實(shí)踐中，設(shè)計(jì)出有助于學(xué)生建構(gòu)知識(shí)體系的教學(xué)方案，能夠?qū)崿F(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)教育價(jià)值的最優(yōu)化。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)史;融入;中學(xué)

【中圖分類號(hào)】G【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】B【文章編號(hào)】1008-1216（2020）04C-0028-03

這幾年來，隨著我們對(duì)數(shù)學(xué)史的研究，特別是數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教學(xué)之間的關(guān)系（The relations between the History and Pedagogy of Mathematics，簡稱HPM）的研究，教育工作者們對(duì)它的認(rèn)識(shí)已經(jīng)發(fā)生了很大的變化。將數(shù)學(xué)史融入課堂教學(xué)中，對(duì)強(qiáng)化學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解，激發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣，提升數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量，會(huì)有積極的幫助。教材的編委們也做出了很大的努力，但由于教材篇幅所限等諸多原因，對(duì)數(shù)學(xué)史的相關(guān)知識(shí)無法做到全面、系統(tǒng)地編排闡述，還不足以滿足教學(xué)需求，學(xué)生往往看不出這些主題究竟為何產(chǎn)生又如何演進(jìn)，看不到其背后數(shù)學(xué)家的活動(dòng)歷程，感受不到數(shù)學(xué)與人類生活及其他知識(shí)之間的密切聯(lián)系。教師作為教學(xué)的主導(dǎo)者，要通過自己的學(xué)習(xí)研究，不斷地開發(fā)相關(guān)資源，并融入課堂教學(xué)中。如何才能開發(fā)出真正的對(duì)課堂教學(xué)有實(shí)效的資源并融入課堂？通過對(duì)高中數(shù)學(xué)HPM案例開發(fā)與教學(xué)實(shí)驗(yàn)課題的研究，本文就數(shù)學(xué)史融入中學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的路徑與方法等問題產(chǎn)生了一些想法，形成一些簡單認(rèn)識(shí)。

一、充分挖掘數(shù)學(xué)史文化價(jià)值，讓學(xué)術(shù)形態(tài)轉(zhuǎn)化為教育形態(tài)

將數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)（我們常常稱之為HPM視角下的數(shù)學(xué)教學(xué)），其目的是實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)教育價(jià)值的最優(yōu)化。HPM研究主要是將“為教育的數(shù)學(xué)史”的教學(xué)引向更高層次。這就是說，要借助數(shù)學(xué)史料重現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)產(chǎn)生背景，再現(xiàn)其發(fā)展過程，展示知識(shí)本源，揭示知識(shí)內(nèi)涵，了解人類認(rèn)知?dú)v程和學(xué)習(xí)的困難、障礙，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)文化氛圍的營造，使之有利于學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)和理解。因此，在教學(xué)實(shí)踐中，我們要將基于歷史或數(shù)學(xué)目的的數(shù)學(xué)史研究資源轉(zhuǎn)化為基于教育為目的的形態(tài)。如在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的概念——函數(shù)，它是整個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)體系中最核心的基本概念之一，幾乎貫穿于整個(gè)中學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)。它的完善經(jīng)歷了漫長的歷史，從笛卡爾最早注意到一個(gè)變量對(duì)另一個(gè)變量的依賴關(guān)系，到萊布尼茲1673年最早引入這一概念，再到19世紀(jì)中期由狄利克雷和黎曼給出的被公認(rèn)為函數(shù)的現(xiàn)代定義為止，經(jīng)歷了近兩個(gè)世紀(jì)的發(fā)展演變過程。我們無論如何不可能在短時(shí)間內(nèi)把這個(gè)發(fā)展演變的過程完整地搬過來展示給學(xué)生，要把它形成、發(fā)展的演變過程等史料資源做一個(gè)比較細(xì)致的分析和梳理，將函數(shù)概念研究的學(xué)術(shù)形態(tài)轉(zhuǎn)化為教育形態(tài)，才能更好地在教學(xué)中使用并發(fā)揮其作用。不難發(fā)現(xiàn)，在各位數(shù)學(xué)家不斷賦予其新內(nèi)涵的過程中，函數(shù)的概念包括集合觀念下的函數(shù)、代數(shù)觀念下的函數(shù)、對(duì)應(yīng)觀念下的函數(shù)、集合論下的函數(shù)。其概念的演變經(jīng)歷了x的函數(shù)是指x的冪;含x的代數(shù)式;含x的任意解析式;依賴于x或由x所確定的任意變量;與x相對(duì)應(yīng)的變量等。而且整個(gè)演變過程是在相互交融與碰撞中以非線性的狀態(tài)逐步完善的，這個(gè)演變過程同時(shí)也推動(dòng)著整個(gè)數(shù)學(xué)的發(fā)展。從分類上來講，函數(shù)的概念可劃分為 “變量說”“對(duì)應(yīng)說”“關(guān)系說”?！白兞空f”是函數(shù)概念的開始;“對(duì)應(yīng)說”進(jìn)一步揭示了函數(shù)的實(shí)質(zhì);“關(guān)系說”則解決了函數(shù)只允許數(shù)與數(shù)對(duì)應(yīng)的局限性，也是目前函數(shù)的最一般形式化和最嚴(yán)格的定義。通過這樣的分析梳理，教師在實(shí)際教學(xué)中不難理解，初高中數(shù)學(xué)教材中為什么函數(shù)的概念不同，高中數(shù)學(xué)為什么要用對(duì)應(yīng)的關(guān)系來定義函數(shù)，從而更好地把握高中數(shù)學(xué)中函數(shù)概念教學(xué)的出發(fā)點(diǎn)、關(guān)鍵點(diǎn)、重難點(diǎn)、突破點(diǎn)，更好地預(yù)見學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中的困惑、障礙，設(shè)計(jì)出適合學(xué)生學(xué)情的教學(xué)方案。讓函數(shù)發(fā)展史的相關(guān)資源真正成為課堂教學(xué)中可利用的資源。

二、 合理利用數(shù)學(xué)史資源，拓展教師的教學(xué)視野

數(shù)學(xué)史的研究能夠清晰地還原數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生過程，能為師生重現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的產(chǎn)生背景、數(shù)學(xué)方法的形成途徑，數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的間接感知，數(shù)學(xué)思想的提煉過程，進(jìn)而揭示數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)體系的科學(xué)建構(gòu)，深刻理解數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)涵。同時(shí)還可以營造數(shù)學(xué)文化氛圍，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)力和興趣。因此，教師要在認(rèn)真分析、梳理的基礎(chǔ)上，積極主動(dòng)、科學(xué)合理地利用數(shù)學(xué)史資源，拓展視野，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

（一）在創(chuàng)設(shè)情境中融入數(shù)學(xué)史資源，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣

興趣是最好的老師。在我們進(jìn)行的高中階段數(shù)學(xué)史知識(shí)及文化融入課堂教學(xué)現(xiàn)狀調(diào)研中發(fā)現(xiàn)，有70%的學(xué)生和95%的教師認(rèn)為把數(shù)學(xué)史知識(shí)融入課堂中，對(duì)激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣、幫助學(xué)生深入理解教學(xué)內(nèi)容，甚至對(duì)其他學(xué)科的學(xué)習(xí)都具有積極的作用。因此，在課堂教學(xué)中，融入數(shù)學(xué)史資源，創(chuàng)設(shè)學(xué)習(xí)情境，對(duì)引發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)探究的意向與調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，具有不可替代的作用。比如，在等比數(shù)列前 項(xiàng)和的教學(xué)中，用古印度國王獎(jiǎng)賞國際象棋發(fā)明者的數(shù)學(xué)故事來創(chuàng)設(shè)情境，可以激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的好奇心，還可以借助于求和結(jié)果的科學(xué)處理，使學(xué)生體會(huì)等比級(jí)數(shù)的“爆炸式”增長，感受數(shù)學(xué)的神奇魅力，最終實(shí)現(xiàn)激發(fā)學(xué)生興趣的目的。

（二）在學(xué)習(xí)新方法、新思想過程中融入數(shù)學(xué)史資源，拓展師生視野

在數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史過程中，新方法、新思想的形成往往是“自然”的，按照歷史相似性原理，它是符合人類認(rèn)知規(guī)律的。因此，數(shù)學(xué)史的研究，可以幫助我們更好地理解新方法、新思想的形成過程。比如，在等比數(shù)列求和公式的教學(xué)中，要闡明其產(chǎn)生背景和發(fā)展的歷史過程是怎樣的，教材中的推導(dǎo)方法是如何得來的，還有哪些推導(dǎo)方法等，都可以通過對(duì)數(shù)學(xué)史料的研究梳理得到合理的答案。事實(shí)上，在古埃及紙草書中關(guān)于“有七座房屋，每座有七只貓，每只貓一天吃七只老鼠，每只老鼠一天吃七顆麥穗，每顆麥穗含麥子七個(gè)容積單位，問房屋、貓、老鼠、麥穗、麥子容積總數(shù)為多少？”這一問題的解決，就是很好的資源，其解決方法是利用古埃及的整數(shù)乘法法則得到了等比數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn與前n-1項(xiàng)和Sn-1 之間的遞推關(guān)系：

故：當(dāng)q≠1時(shí)，有 。另外，在古希臘歐幾里得的《幾何原本》第9卷中給出的方法是：設(shè)等比數(shù)列a1，a2，L，an+1，公比為q≠1，則由

，又由等比定理得，進(jìn)而化簡求得公式。還有我們都熟悉的，也是現(xiàn)在教材中使用的，由歐拉給出的錯(cuò)位相減法推導(dǎo)等比數(shù)列求和公式的方法以及其他數(shù)學(xué)先哲們提供的幾何法等。這些數(shù)學(xué)史料的研究都可以幫助教師掌握推導(dǎo)公式的出發(fā)點(diǎn)、關(guān)鍵點(diǎn)、突破點(diǎn)，拓寬教師推導(dǎo)公式的思路方法。利用這些數(shù)學(xué)史資源可以幫助教師更好地設(shè)計(jì)出既有探究寬度，又有思維深度的教學(xué)方案，更好地培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

（三）在知識(shí)體系的建構(gòu)過程中融入數(shù)學(xué)史資源，實(shí)現(xiàn)正本清源

數(shù)學(xué)知識(shí)的產(chǎn)生，大多是基于現(xiàn)實(shí)生活中解決問題的實(shí)際需求，合理利用數(shù)學(xué)史資源，可以幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)，有利于建構(gòu)新的知識(shí)體系。比如，在高中數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)概念的教學(xué)中，我們可以通過展現(xiàn)牛頓、萊布尼茲研究導(dǎo)數(shù)的背景及過程方法，讓學(xué)生深切體驗(yàn)導(dǎo)數(shù)概念的形成，是基于解決物體運(yùn)動(dòng)過程中的瞬時(shí)速度和曲線在某一點(diǎn)處的切線問題而產(chǎn)生。讓學(xué)生在真實(shí)的情境中找到知識(shí)的來源及演變過程，體會(huì)其學(xué)習(xí)的必要性。更重要的是這些數(shù)學(xué)史資源的融入，可以正本清源，挖掘其本質(zhì)，幫助學(xué)生更加清晰地理解導(dǎo)數(shù)的物理意義和幾何意義，掌握其研究的思想方法，體驗(yàn)極限的思想，科學(xué)地建構(gòu)導(dǎo)數(shù)的概念。

三、 科學(xué)引用數(shù)學(xué)史資源，培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)

我國當(dāng)前的教育特別關(guān)注培養(yǎng)中學(xué)生發(fā)展核心素養(yǎng)，科學(xué)地融入數(shù)學(xué)史資源，對(duì)于發(fā)展學(xué)生的文化基礎(chǔ)、自主發(fā)展素養(yǎng)自不必細(xì)說。單說在學(xué)生發(fā)展核心素養(yǎng)中明確提出了國家認(rèn)同、國際理解的基本要點(diǎn)。對(duì)這些概念的理解，要與時(shí)俱進(jìn)，在新時(shí)代背景下，國家認(rèn)同、國際理解已經(jīng)賦予新的內(nèi)涵。國家認(rèn)同不是閉關(guān)自守，關(guān)起門來給學(xué)生講授我國數(shù)學(xué)歷史上的祖沖之計(jì)算的圓周率值比歐洲早近1000年，法國數(shù)學(xué)家帕斯卡發(fā)現(xiàn)二項(xiàng)式系數(shù)要比楊輝晚近400年等。而是要利用數(shù)學(xué)史資源，真實(shí)地展示世界各國數(shù)學(xué)家們?cè)跀?shù)學(xué)學(xué)科發(fā)展進(jìn)程中作出的巨大貢獻(xiàn)，了解中華民族的先哲們?cè)跀?shù)學(xué)學(xué)科發(fā)展進(jìn)程中取得的巨大成就，感受這些先哲們的數(shù)學(xué)智慧和不懈努力的奮斗精神，培養(yǎng)學(xué)生的民族自豪感和愛國熱情。在培養(yǎng)學(xué)生的國家認(rèn)同感的同時(shí)樹立全球意識(shí)，用開放的心態(tài)、世界的眼光正確理解世界各國文化，在尊重世界多元文化并存的同時(shí)，積極參與跨文化的交流互鑒。

近年來，越來越多的大、中、小學(xué)教師與象牙塔里的職前教師們對(duì)HPM產(chǎn)生了濃厚的興趣。本文只是講述了作為一線教師在教學(xué)實(shí)踐中，為了提高自己的教學(xué)水平，真正落實(shí)學(xué)科核心素養(yǎng)而應(yīng)該做的一些與教學(xué)息息相關(guān)的工作和所遵循基本路徑。但是，要想在該領(lǐng)域探索出成功的道路，也并非易事。它橫跨數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育兩個(gè)學(xué)科，既需要有坐冷板凳的功夫，也需要有較強(qiáng)的社會(huì)實(shí)踐能力;既需要有文獻(xiàn)駕馭和理解的能力，更要有較強(qiáng)的寫作能力。HPM學(xué)術(shù)研究與實(shí)踐探索是艱辛的歷程，但HPM的實(shí)踐成效卻讓我們感到驚奇和快樂，讓我們攜手步入這片新天地，品味成敗得失，展望數(shù)學(xué)教育美好的未來。

基金項(xiàng)目：自治區(qū)“十三五”規(guī)劃課題，課題批準(zhǔn)號(hào)：2018JGH285。

參考文獻(xiàn)：

汪曉勤，楊一麗.HPM視角下的等比數(shù)列教學(xué)[J].中學(xué)教研（數(shù)學(xué)），2003，（7）.