薛衛(wèi)明

3.

某個公園有個池塘，其形狀為直角△ABC，∠C=90°，AB=2百米，BC=1百米.

（1） 現(xiàn)在準備養(yǎng)一批供游客觀賞的魚，分別在AB、BC、CA上取點D，E，F(xiàn)，如圖（1），使得EF∥AB，EF⊥ED，在△DEF喂食，求△DEF 面積S△DEF的最大值；

（2） 現(xiàn)在準備新建造一個荷塘，分別在AB，BC，CA上取點D，E，F(xiàn)，如圖（2），建造△DEF連廊（不考慮寬度）供游客休憩，且使△DEF為正三角形，設求△DEF邊長的最小值.

（1） 若對[1，+∞）內(nèi)的一切實數(shù)x，不等式f（x）≥g（x）恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；

（2） 當a=1時，求最大的正整數(shù)k，使得對[e，3]（e=2.718 28…是自然對數(shù)的底數(shù)）內(nèi)的任意k個實數(shù)x1，x2，…，xk都有f（x1）+f（x2）+…+f（xk-1）≤16g（xk）成立.

5. 已知中心在原點，焦點在坐標軸上的橢圓Ω的方程為x2a2+y2b2=1（a>b>0），它的離心率為12，一個焦點是（-1，0），過直線x=4上一點引橢圓Ω的兩條切線，切點分別是A、B.

（1） 求橢圓Ω的方程；

（2） 若在橢圓Ωx2a2+y2b2=1（a>b>0）上的點（x0，y0）處的切線方程是x0xa2+y0yb2=1.求證：直線AB恒過定點C，并求出定點C的坐標；

（3） 是否存在實數(shù)λ使得|AC|+|BC|=λ|AC|·|BC|恒成立？（點C為直線AB恒過的定點）若存在，求出λ的值；若不存在，請說明理由.

6. 已知Sn是數(shù)列{an}的前n項和，且a1=1，nan+1=2Sn（n∈N*）.

（1） 求a2，a3，a4的值；

（2） 求數(shù)列{an}的通項an；

（3） 設數(shù)列{bn}滿足b1=12，bn+1=1akb2n+bn，求證：當n≤k時，有bn<1.