苗雨陽，劉成剛

（蘇州科技大學(xué)環(huán)境科學(xué)與工程學(xué)院，江蘇 蘇州 215009）

1 引言

隨著現(xiàn)代工業(yè)自動化水平的提高，空調(diào)系統(tǒng)的規(guī)模和復(fù)雜性也在逐步上升，一旦發(fā)生故障就會造成大量的能源浪費與經(jīng)濟損失。因此為保障空調(diào)系統(tǒng)安全經(jīng)濟的運行，對其運行過程的監(jiān)測與故障診斷技術(shù)的研究越來越被人們所關(guān)注。

對空調(diào)系統(tǒng)過程的監(jiān)測主要通過各類傳感器來實現(xiàn)，目前傳感器的故障檢測方法主要有三類：基于解析模型的方法、基于知識的方法和基于數(shù)據(jù)驅(qū)動的方法[1]。由于信息化水平的提高，空調(diào)系統(tǒng)中大量的過程實時運行數(shù)據(jù)能夠儲存，因此只需分析數(shù)據(jù)本身的特征變化進行故障診斷的基于數(shù)據(jù)驅(qū)動方法有著較大的優(yōu)勢，基于數(shù)據(jù)的主元分析法（Principal Component Analysis，PCA）和偏最小二乘法（Partial Least Squares，PLS）等方法也得到了廣泛的應(yīng)用。主元分析法的故障診斷是由系統(tǒng)正常運行時的歷史數(shù)據(jù)建立模型，并用統(tǒng)計量來分離和診斷故障源，有著無需機理模型、算法簡便和降低維數(shù)等優(yōu)點。然而PCA 法因其假定過程數(shù)據(jù)是線性的，即為一種線性投影，所以PCA 法并不適用于原始數(shù)據(jù)中存在著非線性屬性的情況。為處理非線性問題，文獻[2]提供了一種非線性的方法：核主元分析法（Kernel Principal Component Analysis，KPCA）。雖然該方法通過將數(shù)據(jù)映射到高維空間來去除了過程的非線性，但卻只是一種靜態(tài)模型，且難以對故障變量進行識別。在實際空調(diào)系統(tǒng)中，由于變量較多且大部分過程是動態(tài)的，為了保證系統(tǒng)的持續(xù)運行，因此需考慮時間序列問題來建立動態(tài)模型從而更好的實現(xiàn)故障診斷。

吸收了文獻[3]中的思想，結(jié)合KPCA 法建立動態(tài)核主元模型進行故障診斷，并引入貢獻圖法進行故障分離，形成完整的故障檢測系統(tǒng)。最后將該方法應(yīng)用于地源熱泵系統(tǒng)進行試驗，表明該方法不僅具有動態(tài)特性還能取得更好的診斷效果。

2 PCA 與KPCA 基本原理

2.1 PCA 的基本原理

PCA 模型是將過程數(shù)據(jù)投影到兩個正交的子空間上并建立相應(yīng)的統(tǒng)計量，通過假設(shè)檢驗的方法來判斷過程的運行狀況。首先根據(jù)系統(tǒng)在正常運行條件下所采集到的變量x的n次測量樣本建立數(shù)據(jù)矩陣x∈Rn×m，為了消除量綱的影響，常采取變量標準化進行數(shù)據(jù)預(yù)處理：

式中：Xi—第i列向量；μi=E（Xi）—第i列向量的均值；σii=Var（Xi）—第i列向量的方差。

這時標準化矩陣X*=［X1，X2，…，Xm］。然后對X*進行主元分析，先求其協(xié)方差矩陣Σ：

然后對Σ 進行特征分解，求出m個特征值λ1≥λ2≥…≥λm及特征值所對應(yīng)的單位特征向量矩陣P，接著確定主元數(shù)目l，若選擇前l(fā)個主成分，則有：

因為P為單位正交矩陣，所以可知：

因此對于每組觀測數(shù)據(jù)x，都可以表示為：

對于主元數(shù)目l的選擇，通常采用的是主元累積貢獻率法（Cumulative percent variance，CPV）[4]，其計算方法為：

式中：Contr（yk）—第k個主成分的貢獻率；CL—人為設(shè)定的控制限，一般可取85%。

按照以上步驟即可建立主元模型：X*被投影到主元子空間和殘差子空間之中。當變量之間存在著一定的線性相關(guān)時，主元子空間可利用較少維數(shù)的變量來描述系統(tǒng)的變化過程，殘差空間則主要包含著測量噪聲。

對于主元模型可以建立平方預(yù)測誤差（Squared Prediction Error，SPE）統(tǒng)計量，即通常所說的Q統(tǒng)計量，作為故障檢測的標準[5]。SPE 統(tǒng)計量表示的是該時刻測量值x對主元模型的偏離程度，即樣本x在殘差子空間的投影，它的定義如下：

接著通過下式確定SPE 的置信限δα[6]：

式中：Cα—標準正態(tài)分布在檢驗水平α 的臨界值；θ 和h0是和λ相關(guān)的計算參數(shù)，其具體計算方法為：

當Q≤δα?xí)r，系統(tǒng)運行正常，當時Q＞δα則表示系統(tǒng)運行出現(xiàn)故障。

2.2 KPCA 的基本原理

假設(shè)有一非線性映射φ，能將輸入空間中的樣本映射到高維特征空間F，對映射空間的樣本進行標準化后得φ（x），其協(xié)方差矩陣C可按下式計算：

對此協(xié)方差矩陣進行向量分析：

式中：“（·）”—點積，由式（11）可知所有λ≠0 的解v必可表示為

φ（x1），φ（x2），…，φ（xn），則兩邊左乘φ（xk），可得：

然而，上述算法都是假設(shè)對樣本進行標準化處理的基礎(chǔ)上推導(dǎo)而得，所以需要對實際的矢量樣本集和測試樣本集進行標準化處理，可以利用K求取K?，以此來取代K的方法[7]。

其中，E∈Rn×n，且每項元素均為1/n。式中的特征向量也需歸一化處理，使得

當有新樣本xk時，可以通過投影到各載荷向量vi，i=1，2，…，p，p為主元個數(shù)，得到特征空間中的主元得分tk=［tk，1…tk，i…tk，p］T，其中，tk，i表示φ（xk）在vi方向上的投影：

在以上推導(dǎo)中，需用核函數(shù)K，選擇高斯核函數(shù)：

式中：σ—函數(shù)的寬度參數(shù)。高斯核函數(shù)具有參數(shù)較少，滿足Mercer 條件等優(yōu)點，在各領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用。

接下來根據(jù)特征空間中的SPE 定義：

式中：g，h—和SPE 的均值和方差相關(guān)的常數(shù)。

3 動態(tài)核主元分析法故障診斷

3.1 動態(tài)核主元分析模型的建立

指數(shù)加權(quán)主元分析的概念最先由Wold 提出[8]，但具有一定的局限性。文獻[3-9]在前人的基礎(chǔ)上提出了指數(shù)加權(quán)潛影結(jié)構(gòu)投影遞歸算法。而后經(jīng)人改進后，提出了一種新的遞歸算法，具體算法如下：

式中：（XTX）t—t時刻加權(quán)后的協(xié)方差矩陣；t—采樣的時刻；β—加權(quán)因子，其值介于0 和1 之間；（XTX）t-1—t-1 時刻未加權(quán)的模型協(xié)方差矩陣；Xt—t時刻采集的變量。

將上述指數(shù)加權(quán)的思想加入到核主元分析法中，通過不斷重構(gòu)數(shù)據(jù)矩陣X與核矩陣K，就能得到具有動態(tài)特性的指數(shù)加權(quán)動態(tài)核主元分析法（ExponentiallyWeightedDynamicKPCA，EWDKPCA）。這種思想主要體現(xiàn)在核矩陣的計算中，利用指數(shù)加權(quán)的方法可得核矩陣K的遞歸公式如下：

這種通過引入加權(quán)因子β 和加權(quán)因子1-β 的方式，能夠賦予模型自回歸移動平均（Auto-Regressive and Moving Average，ARMA）的特性，使其能夠進行更好的實時監(jiān)控。

3.2 基于貢獻圖法的故障分離

由于KPCA 很難找到原始變量與觀測變量之間的對應(yīng)關(guān)系，基于PCA 的故障識別方法無法直接用于KPCA 的故障識別中。文獻[10]通過分析KPCA 法非線性變化的過程，提出了一種可以應(yīng)用于靜態(tài)KPCA 故障識別的貢獻量算法。將該方法引入動態(tài)KPCA 模型中，改進后得到如下算法：

式中：CONTj—j個測量變量對統(tǒng)計量T2的貢獻值；τ—采樣時刻；t—投影矩陣；λ—特征值；x—測量變量；l—主元個數(shù)；n—采樣數(shù)量。通過上式計算完畢后，貢獻量最大的變量即為可能引起故障的變量。

3.3 基于動態(tài)核主元分析法的故障檢測系統(tǒng)

動態(tài)核主元分析法的傳感器故障檢測的具體步驟為：

（1）選取空調(diào)系統(tǒng)正常運行狀態(tài)下的歷史數(shù)據(jù)，對其進行小波濾波，剔除數(shù)據(jù)中的離群點和瞬時值；

（2）對歷史數(shù)據(jù)進行標準化處理，構(gòu)建訓(xùn)練矩陣X*；

（3）利用高斯核函數(shù)計算核矩陣K，對核矩陣K進行中心化處理得

（5）計算特征向量v在特征空間中的投影tk；

（6）計算SPE 值和其置信限δα；

（7）引入新的空調(diào)運行數(shù)據(jù)，進行標準化處理；

（8）計算新樣本投影到各載荷向量v方向所得到的特征空間中的主元得分tk；

（9）計算新樣本的SPE 值；

（10）判斷SPE 值是否超限；

（11）若超限則通過貢獻圖法進行故障診斷，發(fā)現(xiàn)故障；若未超限，則更新訓(xùn)練矩陣X*，按照式（21）重新計算核矩陣K和K?，重復(fù)步驟（3）～（6）獲得新的置信限δα；

（12）繼續(xù)載入新的運行數(shù)據(jù)。

4 應(yīng)用與分析

以蘇州某高校實驗樓的地源熱泵空調(diào)系統(tǒng)為試驗對象，利用提出的故障診斷系統(tǒng)對其傳感器故障進行檢測。結(jié)合本試驗的實際情況與條件，選取了9 個可以反應(yīng)空調(diào)系統(tǒng)運行狀態(tài)的變量進行監(jiān)測，變量如下：（1）冷凍水供水溫度，（2）冷凍水回水溫度（旁通下），（3）冷卻水供水溫度，（4）冷凍水流量（5）冷卻水流量，（6）冷凍水回水溫度（旁通上），（7）冷卻水回水溫度，（8）空調(diào)側(cè)水泵功率，（9）地源側(cè)水泵功率。數(shù)據(jù)的采集時間為2017 年1 月1日到2017 年1 月3 日，共采集600 組數(shù)據(jù)。從采集的數(shù)據(jù)選取前300 組作為正常運行時的數(shù)據(jù)，作為訓(xùn)練矩陣分別建立主元模型與動態(tài)核主元模型。

為了比較不同類型故障的檢測效果，以變量6 為例進行仿真分析。選取后300 組數(shù)據(jù)作為測試數(shù)據(jù)，從第451 組數(shù)據(jù)開始分別載入三種故障信號：①5%的偏差故障：取前300 組正常數(shù)據(jù)均值的5%作為偏差值進行疊加；②1‰的漂移故障：從第451 個數(shù)據(jù)開始，變量6 以前300 個數(shù)據(jù)均值1‰的幅度遞增；③5%的精度降低故障：從第451 個數(shù)據(jù)開始疊加一個服從期望為0，方差為前300 組均值5%正態(tài)分布的隨機白噪聲。同時為說明該方法的先進性，將用PCA 法和KPCA 對上述三種故障進行檢測，對其結(jié)果進行比較。故障檢測的結(jié)果，如圖1～圖3 所示。

圖1 5%偏差故障三種方法診斷結(jié)果Fig.1 Fault Detection Results of 3 Methods with Sensor 5% Bias

圖3 5%精度降低故障三種方法診斷結(jié)果Fig.3 Fault Detection Results of 3 Methods with Sensor 5% Precision Degradation

Fi

當統(tǒng)計量超過閾值時，代表著檢測到故障發(fā)生。從圖3 可以看出在5%偏差故障發(fā)生時，第151 組SPE 值突然增大超出閾值，但傳統(tǒng)PCA 法仍有大量故障數(shù)據(jù)的SPE 值未超出閾值；動態(tài)KPCA 法的SPE 值則幾乎全部超出設(shè)定閾值。而在圖4，即漂移故障發(fā)生時，傳統(tǒng)PCA法要在第220 組之后SPE 值才能全部超出閾值；而動態(tài)KPCA 法則在200 組左右完成，表示著動態(tài)KPCA 法相比傳統(tǒng)PCA 方法有著更好的靈敏度，能夠更快的檢測出漂移故障。這兩種故障中，雖然KPCA 法與動態(tài)KPCA 法診斷故障的效果相當，但動態(tài)KPCA 法有著更小的誤診率，即比KPCA 法有著更好的精度。因此在圖5 精度降低故障發(fā)生時效果更為明顯，傳統(tǒng)PCA 方法和KPCA 法在精度降低故障發(fā)生時分別只檢測到了57 組和80 組故障，而動態(tài)KPCA 法檢測的故障數(shù)最多，達到了88 組。將對三種故障通過三種不同方法檢測的結(jié)果用正確率、誤診率和漏診率等指標表示出來，如表1 所示。

表1 3 種方法故障檢測指標Tab.1 Fault Detection Index of the Three Methods

通過表1 的結(jié)果我們可以看出，動態(tài)KPCA 方法的置信限在隨著新數(shù)據(jù)的載入不斷浮動，其檢測效果明顯優(yōu)于傳統(tǒng)PCA 方法，差距最高可達27.7%，并且由于具有動態(tài)特性，也減少了傳統(tǒng)KPCA 法誤檢率稍大的問題。尤其在精度降低故障問題上，動態(tài)模型能夠根據(jù)新采樣數(shù)據(jù)做出調(diào)整從而使檢測正確率和漏檢率都明顯由于其他兩種方法，表明該方法與傳統(tǒng)方法相比具有著一定的優(yōu)勢。最后通過提出的方法進行貢獻量計算，通過貢獻圖，如圖4～圖6 所示。從圖中可以明顯看出，變量6 的貢獻量最大，即對應(yīng)的旁通管上端冷凍水回水溫度傳感器出現(xiàn)故障，表明了該方法能夠正確的分離故障變量。

圖5 1‰漂移故障貢獻圖Fig.5 Contribution Plot of Sensor 1% Drifting

圖6 5%精度降低故障貢獻圖Fig.6 Contribution Plot of Sensor 5% Precision Degradation

5 結(jié)論

通過上述研究，得到如下結(jié)論：（1）動態(tài)核主元分析法能夠?qū)崿F(xiàn)根據(jù)實時數(shù)據(jù)更新主元模型，調(diào)整自身的置信限，達到動態(tài)監(jiān)測的目的。（2）動態(tài)核主元分析法與傳統(tǒng)PCA 方法、KPCA 方法相比，獲得了良好的診斷結(jié)果，證明了該方法即能夠應(yīng)用于非線性過程又能夠用于動態(tài)過程，有著一定的優(yōu)勢。（3）提出的貢獻圖法可以計算出各變量對故障的貢獻量大小，成功分離故障變量。與動態(tài)核主元分析法相結(jié)合，實現(xiàn)了完整的故障檢測與診斷流程，因此具有一定的實用價值。