姜 東，徐 宇，曹 鑫，胡嘉苗

（南京林業(yè)大學(xué)機械電子工程學(xué)院，江蘇 南京 210037）

1 引言

針對行星輪系建模和分析，國內(nèi)外學(xué)者開展了系統(tǒng)的研究工作。文獻[1]以具有3 個行星輪的單級行星輪系為研究對象，針對不同邊界條件的情況進行模態(tài)分析來計算系統(tǒng)固有頻率。文獻[2]建立雙螺旋行星輪系的集中參數(shù)模型來研究其三維運動系統(tǒng)的振動模態(tài)特性，通過分析模態(tài)振型，總結(jié)了三種振動模式：行星模式、旋轉(zhuǎn)軸模式和平面平移模式，體現(xiàn)了不同振動模式的特點。文獻[3]針對小齒數(shù)差減速器的行星輪系進行動態(tài)特性分析。根據(jù)建立的動態(tài)分析有限元模型，計算了行星輪系的固有頻率和模態(tài)振型，并綜合考慮了內(nèi)外激勵和研究了其結(jié)構(gòu)動態(tài)響應(yīng)和加速度噪聲。文獻[4]提出建立考慮旋轉(zhuǎn)和平移位移的兩級閉式行星齒輪組的平移-旋轉(zhuǎn)動力學(xué)模型，以研究動態(tài)響應(yīng)和避免共振。通過分析行星輪數(shù)量和耦合剛度對結(jié)構(gòu)模態(tài)的影響，將集總參數(shù)模型與有限元模型進行比較，總結(jié)出了五種模態(tài)振型。文獻[5]針對行星輪系，分別建立其有限元模型和集中參數(shù)模型，采用試驗的固有頻率、模態(tài)振型和動態(tài)響應(yīng)驗證了集中參數(shù)模型和有限元模型仿真的準(zhǔn)確性。文獻[6]考慮行星輪系各齒輪副間的嚙合剛度、齒側(cè)間隙以及綜合傳遞誤差等因素，建立了行星輪系扭轉(zhuǎn)振動模型。文獻[7]提出了一種將有限元法和彈性接觸理論相結(jié)合的齒輪嚙合剛度計算方法，通過求解變形協(xié)調(diào)方程得到齒輪時變嚙合剛度和齒面載荷分布。文獻[8]采用集中參數(shù)法建立平移-扭轉(zhuǎn)耦合動力學(xué)模型，分析裂紋擴展對時變嚙合剛度的影響，研究時變嚙合剛度及裂紋對系統(tǒng)固有頻率的影響。文獻[9]建立一種考慮摩擦力、時變嚙合剛度及阻尼、綜合嚙合誤差及內(nèi)齒圈柔性的節(jié)點外嚙合行星齒輪平移-扭轉(zhuǎn)動力學(xué)模型。文獻[10]研究NGW 型行星輪系中單級及兩級行星輪系耦合模型的模態(tài)特性，總結(jié)出行星輪扭轉(zhuǎn)振動模式、全振動模式等典型振型。文獻[11]針對斜齒行星齒輪傳動系統(tǒng)，建立了隨動坐標(biāo)系，推導(dǎo)了含陀螺效應(yīng)的動力學(xué)方程，求解了系統(tǒng)的固有特性。文獻[12]針對單級斜齒輪傳動裝置，建立了集中質(zhì)量模型和動力學(xué)模型。文獻[13]開展了子結(jié)構(gòu)方法在某大型四機并聯(lián)液體火箭發(fā)動機中的應(yīng)用研究。研究表明，相比整體有限元分析方法及傳統(tǒng)（單級）子結(jié)構(gòu)法，其建模效率得到大幅度提高，驗證了多級動態(tài)子結(jié)構(gòu)法的有效性。文獻[14]建立了齒輪箱傳動系統(tǒng)和機匣結(jié)構(gòu)子結(jié)構(gòu)模型；根據(jù)傳動子結(jié)構(gòu)和箱體子結(jié)構(gòu)系統(tǒng)變形協(xié)調(diào)條件，建立大功率風(fēng)電齒輪箱系統(tǒng)耦合動力學(xué)模型，對系統(tǒng)振動響應(yīng)進行計算分析。通過綜述發(fā)現(xiàn)，行星輪系動態(tài)分析主要有理論方法、數(shù)值方法，理論方法往往需要進行較多的理想化假設(shè)來得到定性分析結(jié)果；數(shù)值方法可針對復(fù)雜的行星齒輪系統(tǒng)開展定量研究，但是計算量是面臨的關(guān)鍵問題。

超單元是求解大型復(fù)雜問題的有效手段，通過把整體結(jié)構(gòu)劃分成較小的超單元來進行分析，將結(jié)構(gòu)的特征矩陣，如質(zhì)量、剛度、阻尼等在所選取的自由度上進行縮聚，然后再綜合得到總體結(jié)構(gòu)的動態(tài)特性。超單元不僅可單獨運算，而且可與整體模型混合使用，能夠在保留結(jié)構(gòu)的動態(tài)特性信息上，顯著提高分析效率。以行星輪系為研究對象，針對具有相同結(jié)構(gòu)特點的行星輪，采用超單元方法研究簡化建模方法，提高建模效率。

2 理論基礎(chǔ)

2.1 模態(tài)綜合法

從整體結(jié)構(gòu)中選取一部分作為子結(jié)構(gòu)，子結(jié)構(gòu)的運動方程為：

式中：M和K—剛度矩陣和質(zhì)量矩陣；x—位移向量；f—外力向量。

按照結(jié)合面自由度j和非結(jié)合面自由度i，將運動方程進行

矩陣分塊：

我總認(rèn)為自己一個人漂慣了，心腸挺硬，但是，當(dāng)時我真的是眼淚在眼眶里打轉(zhuǎn)，心里就一個聲音——“這個世界上再沒有任何一個人比媽媽好！”

式中：下標(biāo)ii—子結(jié)構(gòu)內(nèi)部自由度的分塊形式；下標(biāo)jj—結(jié)合面自由度分塊形式；下標(biāo)ij和ji—結(jié)合面和子結(jié)構(gòu)內(nèi)部耦合自由度分塊形式。對于求解特征值問題，在超單元子結(jié)構(gòu)上除了在結(jié)合面作用約束力fj，其它部位不受力，即fi=0。假設(shè)子結(jié)構(gòu)受簡諧激振力fj=f0jeiωt，有位移響應(yīng)x=Xeiωt；X—位移響應(yīng)的幅值。式可改寫為：

式中：ω—結(jié)構(gòu)固有頻率；f0—外力向量的幅值。

當(dāng)結(jié)合面受固定約束時有Xj=0，代入式的第一個方程，給出約束界面特征值方程為：求解式廣義特征值方程，將相應(yīng)的子結(jié)構(gòu)特征模態(tài)表示為則約束界面主模態(tài)為：

可將主模態(tài)分為保留主模態(tài)φbL和非保留主模態(tài)φbH，保留主模態(tài)的階次遠小于結(jié)構(gòu)自由度。由約束界面保留主模態(tài)和全部界面自由度的約束模態(tài)Φc0組成假設(shè)模態(tài)集T0。

式中：Tˉ0—超單元進行第一次坐標(biāo)變化的矩陣。

基于固定界面模態(tài)綜合法，假設(shè)結(jié)合面為固定約束，由式忽略慣性力項可得：

解式的第一個方程，得：

其中，

靜力位移X可寫為：

式中：Φc0—超單元界面約束模態(tài)矩陣；I—單位矩陣。

因此，假設(shè)模態(tài)集T0可寫為：

則子結(jié)構(gòu)位移Xd0可表示為：

2.2 重復(fù)超單元方法

考慮到某些整體結(jié)構(gòu)中具有部分相同幾何結(jié)構(gòu)，所以提出利用重復(fù)超單元來避免重復(fù)建模和計算規(guī)模過大的問題。多重超單元劃分，如圖1 所示。多重子結(jié)構(gòu)法是考慮到某些結(jié)構(gòu)存在部分相同幾何結(jié)構(gòu)，步驟可分為：（1）將整體結(jié)構(gòu)劃分為原始子結(jié)構(gòu)A、重復(fù)子結(jié)構(gòu)B、子結(jié)構(gòu)C和殘余結(jié)構(gòu)；（2）采用固定界面綜合法，對原始子結(jié)構(gòu)A、重復(fù)子結(jié)構(gòu)B和重復(fù)子結(jié)構(gòu)C進行動力縮聚，重復(fù)子結(jié)構(gòu)B、C與原始子結(jié)構(gòu)A使用相同的物理矩陣進行動力縮聚，得到縮聚邊界的物理矩陣（質(zhì)量矩陣和剛度矩陣）；（3）將縮聚邊界的物理矩陣裝配到殘余結(jié)構(gòu)，得到系統(tǒng)的物理矩陣，進行系統(tǒng)動態(tài)特性分析。對原始子結(jié)構(gòu)A進行坐標(biāo)變換，可得：

圖1 重復(fù)超單元子結(jié)構(gòu)劃分Fig.1 Substructure Division of Repetitive Super-Element

其中，

由于子結(jié)構(gòu)B、C在結(jié)構(gòu)形式以及材料參數(shù)等與子結(jié)構(gòu)A一致，子結(jié)構(gòu)B和C的物理矩陣與子結(jié)構(gòu)A相同。將子結(jié)構(gòu)B、子結(jié)構(gòu)C與殘余結(jié)構(gòu)進行裝配時，僅需要考慮子結(jié)構(gòu)和殘余結(jié)構(gòu)界面位移協(xié)調(diào)條件的坐標(biāo)變換，而不需要重新建立子結(jié)構(gòu)。

裝配后系統(tǒng)的自由振動方程為：

其中，

基于重復(fù)子結(jié)構(gòu)的質(zhì)量矩陣和剛度矩陣可表示為：

式中：n′—子結(jié)構(gòu)B和子結(jié)構(gòu)C；βn′—重復(fù)子結(jié)構(gòu)的轉(zhuǎn)換矩陣重復(fù)子結(jié)構(gòu)n′的質(zhì)量矩陣經(jīng)過坐標(biāo)變換后的質(zhì)量矩陣—重復(fù)子結(jié)構(gòu)n′的剛度矩陣經(jīng)過坐標(biāo)變換后的剛度矩陣。

3 行星輪系的動態(tài)特性分析

3.1 行星輪系建模

本算例研究對象為某行星輪系，由一個太陽輪、四個行星輪和一個內(nèi)齒圈組成，行星輪系幾何參數(shù)，如表1 所示。行星輪系的幾何模型與有限元模型，如圖2 所示。其整體結(jié)構(gòu)為鋼材料，彈性模量E=19000MPa，泊松比μ=0.3，密度ρ=7750kg/m3。采用商用有限元軟件Hypermesh，采用四面體單元和六面體單元進行混合建模，共建立40248 個節(jié)點和28650 個單元，其中太陽輪有11496個節(jié)點和8555 個單元，行星輪有25472 個節(jié)點和20160 個單元，內(nèi)齒圈有9648 個節(jié)點和5695 個單元。定義全模型為包含所有計算自由度的有限元模型。在行星輪系有限元模型的基礎(chǔ)上，將行星輪系各齒輪的輪盤部分作為超單元，一共建立六個超單元，而行星輪系的齒輪通過彈簧單元連接，作為殘余結(jié)構(gòu)，完成傳統(tǒng)超單元模型劃分。

表1 行星輪系幾何參數(shù)Tab.1 Geometrical Parameters of the Planetary Gear System

圖2 行星輪系幾何模型與有限元模型Fig.2 Geometrical Model and Finite Element Model of Planetary Gear System

3.2 傳統(tǒng)超單元建模

對行星輪系進行傳統(tǒng)超單元劃分，按照實際結(jié)構(gòu)幾何形狀等超單元劃分原則進行超單元劃分，將太陽輪輪盤、行星輪輪盤和內(nèi)齒圈的輪盤劃分為超單元，同時將所有齒輪的齒劃分為殘余結(jié)構(gòu)，行星輪系傳統(tǒng)超單元劃分，如圖3 所示。

圖3 行星輪系傳統(tǒng)超單元劃分Fig.3 Traditional Super-Element Division of Planetary Gear System

傳統(tǒng)超單元法考慮的是將每個齒輪的輪盤作為一個超單元，然后分別對各個超單元進行分析，最后裝配到殘余結(jié)構(gòu)上。重復(fù)超單元分析將每個行星輪都定義為超單元，但只劃分一個行星輪的網(wǎng)格作為原始超單元，其余行星輪作為重復(fù)超單元，只定義外部節(jié)點，不需要劃分網(wǎng)格，與原始超單元使用相同的剛度和剛度矩陣，避免了由網(wǎng)格重復(fù)劃分與載荷多次施加造成的對工作量的增加與系統(tǒng)資源的浪費。利用重復(fù)超單元對行星輪系進行分析時，要求重復(fù)超單元與原始超單元間保證幾何上的一致性。

3.3 重復(fù)超單元建模

在傳統(tǒng)超單元建模的基礎(chǔ)上，將齒圈和太陽輪的輪盤作為超單元，分別為超單元1 和超單元2。結(jié)合行星輪在行星輪系中的排布規(guī)律和位置關(guān)系，選擇任一個行星輪輪盤作為原始超單元，其余三個行星輪輪盤作為重復(fù)超單元，如圖4 所示。全模型殘余結(jié)構(gòu)模態(tài)振型，第1 階到第5 階模態(tài)振型，如表2 所示。對全模型、傳統(tǒng)超單元模型和重復(fù)超單元模型進行自由模態(tài)分析，選取第1 階到第5 階的模態(tài)振型和固有頻率進行比較，如表3 所示。分析表3 的頻率誤差可知，采用重復(fù)超單元計算依然具有較高的精度。計算時長統(tǒng)計，全模型平均一次固有特性分析耗時為186.18s，而采用傳統(tǒng)超單元模型和重復(fù)超單元模型的計算耗時分別為167.85s 和154.90s，與全模型相比，計算效率分別節(jié)省了18.33s和31.28s，如表4 所示。

圖4 行星輪系重復(fù)超單元劃分Fig.4 Repetitive Super-Element Division of Planetary Gear System

表2 全模型殘余結(jié)構(gòu)模態(tài)振型Tab.2 Mode Shapes of the Residual Model of the Full Model

表3 全模型、傳統(tǒng)超單元模型和重復(fù)超單元模型固有頻率誤差分析Tab.3 Comparison of Modal Frequencies of the Full Model and the Super-Element Model

表4 全模型、傳統(tǒng)超單元模型和重復(fù)超單元分析耗時比較Tab.4 Comparison of Time Consuming of Three Kind of Models

在重復(fù)超單元模型的基礎(chǔ)上，分別均勻選取75%、50%和25%的外部節(jié)點，對全模型和選取不同數(shù)量外部節(jié)點的多重超單元模型進行自由模態(tài)分析，選取第七階到第十一階模態(tài)振型和其對應(yīng)的固有頻率，如表5、表6 所示。全模型與重復(fù)超單元模型MAC 值比較，如圖5 所示。從表5 中看出，隨著多重超單元模型外部節(jié)點選取的減少，多重超單元模型的模態(tài)振型與全模型的模態(tài)振型不再一致。從表6 可以看出，隨著多重超單元模型外部節(jié)點選取的減少，固有頻率誤差逐漸變大。

表5 全模型與不同數(shù)量外部節(jié)點的重復(fù)超單元模型固有頻率誤差分析Tab.5 Error Analysis of the Repetitive Super-Element Model with Different External Nodes

表6 全模型與不同數(shù)量外部的超單元模型分析耗時比較Tab.6 Comparison of Time Consuming Between Full Model and the Super-Element with Different External Node

4 結(jié)論

針對行星輪系高效率建模，提出一種行星輪系動力學(xué)建模的重復(fù)超單元方法?？紤]到各行星輪具有相同的幾何特征，將其中一個行星輪的有限元模型作為原始超單元，其余行星輪作為重復(fù)超單元不需要劃分有限元網(wǎng)格，通過定義縮聚界面的外部節(jié)點可高效建立動力學(xué)模型。研究結(jié)果表明，重復(fù)超單元在保證精度的情況下分析效率更高。