郭淑妹 郭 杰 李新娜

(戰(zhàn)略支援部隊(duì)信息工程大學(xué)基礎(chǔ)部 河南·鄭州 450001)

0 引言

突如其來(lái)的疫情使開(kāi)學(xué)延期，但是停學(xué)不停課，線上授課如火如荼開(kāi)始了。本來(lái)數(shù)學(xué)類課程注重推導(dǎo)的嚴(yán)謹(jǐn)性，平常用板書(shū)較多，但是現(xiàn)在情況所逼，在科技發(fā)展的助力下，各類課程按期在網(wǎng)上開(kāi)展。

本校根據(jù)學(xué)生專業(yè)情況，學(xué)生學(xué)習(xí)的高等代數(shù)課程，是線性代數(shù)內(nèi)容和多項(xiàng)式，使用的教材是本校自編教材。課程內(nèi)容抽象性強(qiáng)，邏輯推論嚴(yán)謹(jǐn)，方法多變。學(xué)生在學(xué)習(xí)的過(guò)程中常常感覺(jué)不得要領(lǐng)，在對(duì)課程內(nèi)容的理解以及方法的領(lǐng)會(huì)和運(yùn)用上只是停留在表面，抓不住課程內(nèi)容和方法的關(guān)鍵和實(shí)質(zhì)，不能做到知識(shí)的融會(huì)貫通與綜合運(yùn)用，這不符合我們教學(xué)的本質(zhì)。在線上教學(xué)過(guò)程中,學(xué)生與老師不能面對(duì)面交流，老師不能隨時(shí)掌握學(xué)生的學(xué)習(xí)效果和觀察學(xué)生的接受能力，進(jìn)而督促學(xué)生學(xué)習(xí)。學(xué)生在家學(xué)習(xí)，學(xué)生的聽(tīng)課情況、學(xué)生效果與學(xué)生自主學(xué)習(xí)能力直接相關(guān)，所以需要教師在課程內(nèi)容的更新和教學(xué)設(shè)計(jì)等方面下功夫，提高學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力，使學(xué)生主動(dòng)積極學(xué)習(xí)，保證教學(xué)效果。

1 課前制定學(xué)習(xí)導(dǎo)引，學(xué)生帶著問(wèn)題去學(xué)習(xí)

由于線性代數(shù)是大學(xué)公共基礎(chǔ)課程，網(wǎng)上有很多優(yōu)質(zhì)資源。在開(kāi)展教學(xué)之初，教師充分利用網(wǎng)上優(yōu)質(zhì)資源，引導(dǎo)學(xué)員去中國(guó)慕課上觀看線性代數(shù)慕課課程第一章的內(nèi)容。在學(xué)生觀看慕課之前，把具體到每一小節(jié)知識(shí)的重難點(diǎn)發(fā)給學(xué)生，再針對(duì)重難點(diǎn)提出相對(duì)應(yīng)的引導(dǎo)性問(wèn)題，讓學(xué)生先按照布置的重難點(diǎn)和學(xué)習(xí)導(dǎo)引進(jìn)行預(yù)習(xí)，在預(yù)習(xí)的時(shí)候標(biāo)記自己不理解的地方，聽(tīng)課的時(shí)候去關(guān)注這些問(wèn)題，聽(tīng)課之后能回答學(xué)習(xí)導(dǎo)引提出的問(wèn)題。學(xué)習(xí)導(dǎo)引可以加強(qiáng)學(xué)生對(duì)知識(shí)點(diǎn)的理解，學(xué)生帶著問(wèn)題去學(xué)習(xí)時(shí)，對(duì)知識(shí)點(diǎn)已經(jīng)做了思考，聽(tīng)課時(shí)就可以進(jìn)一步加深理解，這樣就比直接依靠課堂獲得知識(shí)的效果好。

2 課堂中提出問(wèn)題，及時(shí)歸納總結(jié)

高等代數(shù)課程概念繁多，公式性質(zhì)較多，并且概念是比較離散的，缺乏連續(xù)性，學(xué)生不容易記憶，并且學(xué)習(xí)時(shí)容易混淆概念，比如行列式和矩陣分不清楚，運(yùn)算時(shí)張冠李戴，行列式運(yùn)算時(shí)是等號(hào)，在學(xué)習(xí)矩陣初等變換時(shí)就會(huì)有學(xué)生也出現(xiàn)等號(hào)的情況。如果這些概念在學(xué)習(xí)之初就搞不清楚，那后面的概念和性質(zhì)更多就會(huì)出現(xiàn)更多的問(wèn)題，更不要說(shuō)對(duì)知識(shí)的綜合運(yùn)用，融會(huì)貫通。

在第二章學(xué)習(xí)矩陣的概念之后，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)行列式和矩陣的特點(diǎn)進(jìn)行比較和歸納，加深對(duì)矩陣的理解和行列式的記憶。行列式計(jì)算的題目比較多，計(jì)算量也比較大，并且題目題型都比較多，學(xué)員碰到行列式的計(jì)算，常常覺(jué)得無(wú)從下手。引導(dǎo)學(xué)員對(duì)行列式的計(jì)算方法進(jìn)行總結(jié)，每種計(jì)算方法再舉一個(gè)例題，總結(jié)過(guò)這些計(jì)算方法之后，學(xué)生對(duì)行列式的計(jì)算就有了清晰的認(rèn)識(shí)，碰到各種各樣的高階行列式就不會(huì)再手足無(wú)措，無(wú)從著手。

第二章學(xué)完矩陣之后，讓學(xué)生總結(jié)矩陣可逆的充要條件有哪些，矩陣可逆的充要條件就有：（1） ；（2）為方陣，為單位陣；（3）為單位陣；（4）為初等矩陣；（5）為非奇異矩陣；（6）為滿秩矩陣。這幾條矩陣可逆的充要條件，從行列式、矩陣的乘法、初等變換、矩陣的秩等角度刻畫(huà)了矩陣可逆的性質(zhì)，一定程度上能加深學(xué)生對(duì)逆矩陣、初等變換和矩陣的秩的理解，并且能系統(tǒng)地理解知識(shí)點(diǎn)。

3 更新教學(xué)設(shè)計(jì)，加深學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解

高等代數(shù)教學(xué)抽象性強(qiáng)，學(xué)生對(duì)于很多定理和和概念并不能很好理解，并且線上教學(xué)也不方便對(duì)所有定理和性質(zhì)進(jìn)行推導(dǎo)，所以根據(jù)線上教學(xué)的特點(diǎn)，在高等代數(shù)教學(xué)中引入幾何圖形，對(duì)代數(shù)與幾何做到有效整合，使抽象思維與形象思維結(jié)合起來(lái)。借助幾何圖形可以將高等代數(shù)中抽象的概念、定理、性

在行列式的教學(xué)中，一上來(lái)就引入了二、三階行列式，學(xué)生不易理解，這時(shí)從幾何的角度對(duì)其進(jìn)行解釋，即二階行列式可表示為平行四邊形的面積，三階行列式表示可表示為平行六面體的體積。在學(xué)生學(xué)習(xí)行列式的性質(zhì)時(shí)就可以利用平行四邊形的面積來(lái)形象表示。最常用到的行列式性質(zhì)：某一行（列）乘以一個(gè)非零的數(shù)加到另外一行（列），行列式的值不變。利用圖形表示這一性質(zhì)就是：向量確定的平行四邊形面積等于和確定的平行四邊形面積，兩個(gè)平行四邊形的面積很容易看出相等，行列式的這條性質(zhì)就不需要再進(jìn)行證明。

矩陣的秩是重要的概念，矩陣的秩在判定線性方程組解的情況、判定向量的線性表示、判定向量組線性相關(guān)性等都有應(yīng)用。在解線性方程組中系數(shù)矩陣的秩表示有效方程的個(gè)數(shù)，學(xué)生比較容易理解，而在線性變換中矩陣的秩理解為經(jīng)過(guò)線性變換后不丟失有效信息的最小計(jì)量，這里就比較抽象，學(xué)生接觸的也不多，并且這個(gè)內(nèi)容如果理解清楚，對(duì)于后面線性空間的學(xué)習(xí)也比較有幫助。利用線性變換的圖像表示可以幫助學(xué)生更好理解矩陣的秩。當(dāng)方陣為滿秩，比如對(duì)當(dāng)前空間的坐標(biāo)進(jìn)行旋轉(zhuǎn)變換，不會(huì)進(jìn)行維度的升高和降低。當(dāng)方陣是降秩矩陣，是把向量進(jìn)行維度的壓縮，三階方陣秩為二，就從三維壓縮到一個(gè)平面，如果秩是一的話就是擠壓成一條線比如投影變換。

4 突出高等代數(shù)的應(yīng)用特色、提高學(xué)生綜合素質(zhì)能力

在高等代數(shù)的教學(xué)中最常提出的是以解線性方程組為主線，學(xué)生聽(tīng)到方程組會(huì)直觀覺(jué)得比較繁瑣，抽象。在高等代數(shù)課程中，矩陣的思想方法貫穿于整個(gè)課程，所以在這次線上授課中突出矩陣的中心地位，強(qiáng)化矩陣思想在課程內(nèi)容與方法上的主導(dǎo)作用，培養(yǎng)和提高應(yīng)用矩陣思想方法解決問(wèn)題的能力。

矩陣在大數(shù)據(jù)時(shí)代是最基礎(chǔ)的語(yǔ)言，矩陣的運(yùn)用處處可見(jiàn)，如圖像識(shí)別，機(jī)器學(xué)習(xí)等。在教學(xué)中，介紹矩陣應(yīng)用的實(shí)例，通過(guò)教學(xué)過(guò)程潛移默化地培養(yǎng)學(xué)生成為創(chuàng)新性應(yīng)用型人才，提高學(xué)生的整體綜合素質(zhì)。

矩陣常見(jiàn)的一個(gè)作用是在密碼學(xué)中的應(yīng)用，給學(xué)生介紹密碼學(xué)中幾種常見(jiàn)密碼：棋盤(pán)密碼、愷撒密碼、維吉尼亞密碼、普萊費(fèi)爾密碼、希爾密碼，通過(guò)介紹這幾種密碼可以發(fā)現(xiàn)密碼初期的發(fā)展其實(shí)就是矩陣運(yùn)算的發(fā)展過(guò)程。引導(dǎo)學(xué)生利用矩陣的運(yùn)算自己設(shè)計(jì)一種密碼，使學(xué)生熟悉矩陣運(yùn)算并且加強(qiáng)對(duì)專業(yè)學(xué)習(xí)的興趣。

計(jì)算機(jī)在對(duì)某一個(gè)圖像進(jìn)行處理的方法和技術(shù)上，矩陣具有重要的應(yīng)用。首先要對(duì)彩色圖像進(jìn)行描述，黑色（0,0,0）白色（255,255,255）紅色（255,0,0）藍(lán)色（0,0,255）綠色（0,255,0）其他任意顏色都可用立方體中的三基色組成表示出來(lái)。顏色空間的變換其實(shí)就是由紅、綠、藍(lán)三種基本色，向另一種顏色空間的映射，用數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述這種轉(zhuǎn)換其實(shí)就是矩陣乘法。公式如下：質(zhì)形象化，幫助學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解。

除了矩陣在實(shí)際中的應(yīng)用，在理論上中也處處凸顯矩陣的應(yīng)用，在矩陣的初等變換與初等矩陣這一節(jié)，首先給出一個(gè)線性方程組的引例，利用學(xué)生中學(xué)已知的消元法求解方程組的解，然后對(duì)學(xué)生提出問(wèn)題：怎樣利用我們所學(xué)的矩陣知識(shí)把消元過(guò)程描述出來(lái)？如果可逆的話，，消元法我們也能得到方程組的解，這兩種解法之間具有怎樣的聯(lián)系呢，通過(guò)矩陣怎樣進(jìn)行描述呢？這樣就把矩陣的演算描述成邏輯的推理，抽象的問(wèn)題具體化，學(xué)生對(duì)矩陣的運(yùn)算有更深層次的理解。

5 注重教學(xué)課堂的延伸、提高學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力

在對(duì)知識(shí)理解程度不夠的情況下，學(xué)生就會(huì)抓不住問(wèn)題的本質(zhì)，而是停留在問(wèn)題的表面，不利于形成全面的數(shù)學(xué)思維，這里通過(guò)教學(xué)設(shè)計(jì)引導(dǎo)學(xué)生從多個(gè)角度去思考問(wèn)題，拋出問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生去深入剖析問(wèn)題。

在數(shù)學(xué)課程的教學(xué)中，注重一題多解可以培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維，激發(fā)學(xué)生的潛能，開(kāi)發(fā)學(xué)生的腦力，也是數(shù)學(xué)教育者非常重視的一種思維形式?！按鷶?shù)基本定理”和“二次互反律”高斯分別發(fā)現(xiàn)八種證明，高斯曾經(jīng)說(shuō)：“假如別人和我一樣深刻和持久地思考數(shù)學(xué)真理，他也會(huì)做出同樣的發(fā)現(xiàn)。”

高等代數(shù)一題多解的題目很多，比如求行列式、求逆矩陣、判定線性方程組的解、線性相關(guān)性的證明等，在教學(xué)中適量布置一些題目一題多解，讓學(xué)生從多個(gè)角度去解決問(wèn)題，可以增強(qiáng)學(xué)生思維的開(kāi)拓性、靈活性，形成對(duì)知識(shí)點(diǎn)深入全面的認(rèn)識(shí)。比如題目：設(shè)階單位陣，是非零 維列向量，的轉(zhuǎn)置。證明：（1充要條件是時(shí)是不可逆矩陣。這個(gè)題目中（1）可以從矩陣和向量的運(yùn)算規(guī)則進(jìn)行計(jì)算即可，（2）的證法很多，有反證法、方程組有非零解的充要條件、矩陣的秩和跡、矩陣的特征值等五種方法證明。學(xué)生用多種不同方法解答同一道題,對(duì)鞏固知識(shí),增強(qiáng)解題能力,提高學(xué)習(xí)成績(jī)和培養(yǎng)創(chuàng)造性思維很有益處。

在高等代數(shù)教學(xué)中，適當(dāng)舉反例可以使學(xué)生深刻掌握概念和定理,讓學(xué)生從多層面、多角度觀察思考問(wèn)題,促進(jìn)學(xué)生思考能力的培養(yǎng)。在線上教學(xué)中，繁瑣的定理證明講解，會(huì)降低學(xué)生的學(xué)習(xí)效率，但是抽象的概念和定理學(xué)生并不容易理解，實(shí)踐證明在定理和概念教學(xué)中運(yùn)用反例進(jìn)行證明比較直觀，易于接受。在矩陣運(yùn)算中，矩陣的乘法運(yùn)算滿足結(jié)合律、分配律，但是不滿足交換律、消元律，并且存在非零的零因子；這是與以往數(shù)的運(yùn)算律不一樣的地方，也是矩陣運(yùn)算很重要的性質(zhì)，并且學(xué)生由于思維慣性，經(jīng)常出現(xiàn)運(yùn)算錯(cuò)誤，通過(guò)反例加深學(xué)生的印象，提升學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解，預(yù)防和糾正學(xué)生會(huì)犯的錯(cuò)誤，具有十分重要的作用。

線上教學(xué)任重道遠(yuǎn)，學(xué)生自主學(xué)習(xí)能力的提高也是我們一直追求的目標(biāo)，但是并不是一件容易實(shí)現(xiàn)的事情，這需要教師不斷實(shí)踐、不斷探索。當(dāng)前正在開(kāi)展的線上教學(xué)，為學(xué)生提供了一個(gè)提高自主學(xué)習(xí)能力的階梯，教師也需要改變以往教學(xué)理念與教學(xué)手段，引導(dǎo)學(xué)生利用線上教學(xué)的優(yōu)勢(shì)，提高學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力，逐步培養(yǎng)學(xué)生成為適應(yīng)時(shí)代發(fā)展的終身學(xué)習(xí)者。