趙九峰

游樂設(shè)施壓桿穩(wěn)定性計算原理解析

趙九峰

（河南省特種設(shè)備安全檢測研究院，河南 鄭州 450000）

構(gòu)件穩(wěn)定性是指構(gòu)件在外力作用下，保持原有平衡形式的能力，即不會產(chǎn)生失穩(wěn)現(xiàn)象。游樂設(shè)施鋼結(jié)構(gòu)作為主要承重結(jié)構(gòu)，存在失穩(wěn)破壞的可能性。本文對壓桿穩(wěn)定性計算公式進(jìn)行詳細(xì)推導(dǎo)，得出歐拉臨界力公式，利用公式對游樂設(shè)施軌道立柱進(jìn)行穩(wěn)定性分析，并得出立柱失穩(wěn)的臨界載荷和穩(wěn)定系數(shù)，并用有限元方法對軌道立柱進(jìn)行屈曲穩(wěn)定分析，結(jié)果表明穩(wěn)定性分析理論可以合理解釋有限元分析結(jié)果，其計算方法為游樂設(shè)施穩(wěn)定性計算分析提供了參考。

穩(wěn)定性分析；慣性矩；彎矩；曲率半徑；臨界載荷

游樂設(shè)施結(jié)構(gòu)件的破壞，有材料破壞和失穩(wěn)破壞兩個類型。對于軸心受壓的桿件，如果桿件很短，壓力過大會使桿件斷裂，此時的破壞稱之為材料破壞，桿件應(yīng)力基本等于材料的強(qiáng)度極限。如果桿件比較長，壓力過大會使桿件在材料破壞前突然彎曲，導(dǎo)致結(jié)構(gòu)件坍塌而出現(xiàn)材料破壞。在坍塌前，桿件承受的應(yīng)力還比材料強(qiáng)度小很多，這時候，細(xì)長桿件就是發(fā)生了失穩(wěn)破壞[1]。

對游樂設(shè)施鋼結(jié)構(gòu)件，這兩種破壞形式都是存在的。為防止結(jié)構(gòu)失穩(wěn)，對細(xì)長、薄壁結(jié)構(gòu)件需要進(jìn)行整體和局部穩(wěn)定性計算[2]。穩(wěn)定性分析主要用于研究結(jié)構(gòu)在特定載荷下的穩(wěn)定性以及確定結(jié)構(gòu)失穩(wěn)的臨界載荷及安全系數(shù)。游樂設(shè)施鋼結(jié)構(gòu)作為主要承重結(jié)構(gòu)，由許多構(gòu)件連接而成，常見構(gòu)件有軸心受力構(gòu)件、受彎構(gòu)件及偏心受壓構(gòu)件。承載能力計算包括強(qiáng)度、剛度和穩(wěn)定性計算，連續(xù)反復(fù)載荷作用下，還需要計算疲勞強(qiáng)度[3]。

對于游樂設(shè)施中的細(xì)長桿件，需要進(jìn)行穩(wěn)定屈曲分析，驗算其結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性。本文對給出了細(xì)長壓桿穩(wěn)定性計算的詳細(xì)推導(dǎo)公式，并對游樂設(shè)施軌道立柱進(jìn)行穩(wěn)定性分析和有限元計算，得出立柱失穩(wěn)的臨界載荷和穩(wěn)定系數(shù)，為游樂設(shè)施穩(wěn)定性計算分析提供了參考。

1 壓桿失穩(wěn)原理解析

桿件端部受到軸向壓力載荷時，若在任意微小外界擾動下，將偏離其平衡位置；當(dāng)外界擾動去除后，如果仍能恢復(fù)到原來位置，則原來的平衡是穩(wěn)定的；如果外界擾動去除后不能恢復(fù)到原來位置，則原來的狀態(tài)是不穩(wěn)定的。從穩(wěn)定平衡狀態(tài)過渡到不穩(wěn)定的平衡狀態(tài)為臨界狀態(tài)[4]。細(xì)長桿穩(wěn)定性屈曲分析的本質(zhì)是對理想細(xì)長壓桿在兩端較支約束下，受軸向壓力作用時，其由穩(wěn)定的直線狀態(tài)變?yōu)椴环€(wěn)定的微彎狀態(tài)的過程，這個狀態(tài)稱為壓桿失穩(wěn)[5]。

1.1 慣性矩和彎矩

截面慣性矩，是衡量截面抗彎能力的一個幾何參數(shù)，是指截面各微元面積與各微元至截面上某一指定軸線距離二次方乘積的積分。梁截面慣性矩是梁本身對彎曲方向中性面的慣性矩。

如圖1所示，梁截面上的微元面積為d，微元對軸的距離為，應(yīng)用積分方法得：

式中：為梁截面慣性矩，mm4；為梁截面面積，mm2。

梁向下彎曲時，下半部分受拉，上半部分受壓，在受拉區(qū)和受壓區(qū)的交界處，既不伸長，也不縮短的那一層，稱為中性面，中性面與梁截面的交線稱為中性軸[6]。截面存在拉壓的正應(yīng)力，應(yīng)用積分方法得梁截面彎矩為：

式中：M為梁截面彎矩，N·mm；σ為拉壓的正應(yīng)力，MPa。

1.2 曲率半徑

純彎曲梁發(fā)生彎曲變形后，梁截面仍然保持平面，用相鄰的兩個橫截面從梁上截取長度為d的一微段，變形后繞各自的中性軸相對轉(zhuǎn)動的角度為d。如圖2所示。

圖2 彎曲時微段梁變形

在圖2所示的坐標(biāo)系中，長度為d的微段上到中性面距離為處的長度改變量為：

式中：負(fù)號表示坐標(biāo)為正的線段產(chǎn)生壓縮變形；坐標(biāo)為負(fù)的線段產(chǎn)生伸長變形，mm。

將線段的長度該變量除以原長d，即為線段的正應(yīng)變：

根據(jù)彈性范圍內(nèi)的應(yīng)力－應(yīng)變關(guān)系即胡克定律，得：

式中：為材料的彈性模量，MPa。

聯(lián)立式（1）、式（2）、式（5），可得：

式中：為梁的彎曲剛度，N·mm2。

由式（6）得梁的軸線彎曲后的曲率數(shù)學(xué)表達(dá)式為：

這一結(jié)果表明，梁的軸線彎曲后的曲率與彎矩成正比，與彎曲剛度成反比。

1.3 最小臨界載荷

對于承受壓力載荷的細(xì)長桿，其失效主要形式是不穩(wěn)定失效，失穩(wěn)的臨界載荷為F，即小于F時壓桿穩(wěn)定，大于F時壓桿不穩(wěn)定[7]。在直線平衡狀態(tài)附近無窮小的鄰域內(nèi)，存在微彎的屈曲平衡狀態(tài)，根據(jù)這一平衡狀態(tài)，由平衡條件和小撓度微分方程，可確定臨界載荷[8]。軸向壓力載荷作用在兩端較支的直桿上端，桿長度為，產(chǎn)生側(cè)向微撓度，受壓桿微彎屈曲狀態(tài)如圖3所示。

根據(jù)平衡條件，微彎屈曲狀態(tài)的彎矩為：

曲率表明曲線偏離直線的程度，曲率越大，表示曲線的彎曲程度越大，曲率的倒數(shù)就是曲率半徑[9]。曲率為數(shù)學(xué)上表明曲線在某一點的彎曲程度的數(shù)值，通過微分來定義：

聯(lián)立式（8）、式（9），可得：

變?yōu)椋?/p>

式（11）即為純彎曲梁的撓度和轉(zhuǎn)角的微分方程，稱為小撓度微分方程。由式（8）、式（11）可得：

式（12）為壓桿在微彎屈曲狀態(tài)下的平衡微分方程，它是確定壓桿臨界載荷的主要依據(jù)，令2＝/，則：

微分方程的通解為：

式中：、為待定常數(shù)，由約束條件確定。

式（15）中，、不全為零的條件是系數(shù)行列式等于零，即：

由此解得：

由式（17）可得：＝π（＝1,2,...）。

將＝π/代入2＝/，即可得到所求臨界載荷的一般表達(dá)式為：

當(dāng)＝1時，所得的就是最小的臨界載荷：

不同剛性支承條件下的壓桿，由靜力學(xué)平衡方法得到的平衡微分方程和端部的約束條件都可能各不相同，確定臨界載荷的表達(dá)式亦不同，但基本分析的方法和分析過程是相同的。對于長細(xì)桿，可以使用通用的歐拉公式[10]：

式中：為不同壓桿屈曲后撓曲線上正弦半波的長度，稱為有效長度；為反映不同支承影響的系數(shù)，稱為長度系數(shù)。具體數(shù)值可參考文獻(xiàn)[10]。

綜上，壓桿的穩(wěn)定條件即許用安全系數(shù)為：

根據(jù)參考文獻(xiàn)[8]可知，對于鋼材，許用工作安全系數(shù)[]為1.8～3.0，游樂設(shè)施領(lǐng)域保守計算，取最大值[]＝3.0。

2 軌道立柱穩(wěn)定性計算

2.1 理論計算

在軌道類游樂設(shè)施的設(shè)計中[9]，軌道立柱的穩(wěn)定性問題非常重要。軌道類設(shè)備簡圖如圖4所示。

圖4 軌道類設(shè)備簡圖

以38座單軌列車為計算對象，列車的總質(zhì)量＝1.2×104kg（含乘客），共有4根立柱，中間兩根立柱承軸向載荷最大，為總重的三分之一，忽略振動系數(shù)和沖擊系數(shù)的影響，即單根立柱的軸向壓力載荷＝＝39.2 kN（4根等間隔立柱，中間兩根立柱承受總載荷的三分之一）。立柱為細(xì)長桿，無縫鋼管219×5，圓環(huán)截面慣性矩＝1.92×107mm4[8]，材料為20鋼，鋼材彈性模量＝2×105MPa，為4 m。列車立柱由于底部固定，頂部側(cè)向可近似為自由，由參考文獻(xiàn)[10]可知＝2[10]。

2.2 有限元計算

穩(wěn)定性屈曲分析是一種用于確定結(jié)構(gòu)開始變得不穩(wěn)定時的臨界載荷和屈曲模態(tài)形狀的技術(shù)，一般是先進(jìn)行靜力分析，然后進(jìn)行耦合屈曲分析。用ANSYS進(jìn)行特征值（線性）屈曲分析的步驟為：

（1）建立模型：與其他分析類似，但要注意必須定義材料的彈性模量和某種形式的剛度；

（2）獲得靜力學(xué)解：需要為結(jié)構(gòu)施加一個單位載荷，該過程與一般的靜力學(xué)分析一致；

（3）耦合特征值屈曲分析：必須打開預(yù)應(yīng)力效果選項，因為該分析需要計算應(yīng)力剛度矩陣，屈曲分析計算出的特征值即為屈曲載荷（臨界載荷）。

采用2節(jié)點的梁單元（BEAM188）構(gòu)建立柱有限元模型，并進(jìn)行網(wǎng)格劃分，底部施加固定全約束（Fixed），頂部施加39.2 kN的壓力。載荷與約束如圖5所示。

由圖6仿真結(jié)果可知，立柱軌道的穩(wěn)定性安全系數(shù)為15.0，略低于理論公式得到的計算結(jié)果15.1。說明有限元分析方法和結(jié)果是可靠和正確的[11]。

由計算結(jié)果可知，軌道立柱的屈曲載荷因子為15.0。如圖6所示。

圖5 軌道立柱載荷與約束

圖6 軌道立柱穩(wěn)定性分析結(jié)果

3 結(jié)論

游樂設(shè)施鋼結(jié)構(gòu)作為主要承重結(jié)構(gòu)，存在失穩(wěn)破壞的可能性，對于游樂設(shè)施中屬于細(xì)長桿的壓桿構(gòu)件，其失穩(wěn)而造成設(shè)備損壞的可能性大于其壓縮變形造成的部件損壞。本文通過對壓桿穩(wěn)定性原理進(jìn)行分析，并對壓桿穩(wěn)定性臨界載荷和安全系數(shù)的計算公式進(jìn)行詳細(xì)推導(dǎo)，給出了壓桿穩(wěn)定性計算的確定方法，并結(jié)合實例進(jìn)行計算，最終得出游樂設(shè)施軌道立柱的穩(wěn)定性安全系數(shù)，并對立柱穩(wěn)定性安全系數(shù)進(jìn)行仿真分析，得到仿真結(jié)果與理論計算結(jié)果比較，表明計算結(jié)果的可靠性和正確性。其計算方法和結(jié)果可為游樂設(shè)施穩(wěn)定性計算分析提供了參考，對于提高設(shè)計能力具有現(xiàn)實意義。

[1]郭彥林，郭宇，飛竇超. 鋼管桁架拱平面內(nèi)失穩(wěn)與破壞機(jī)理的數(shù)值研究[J]. 工程力學(xué)，2010（11）：46-55.

[2]GB 8408－2018大型游樂設(shè)施安全規(guī)范[S]. 北京：中國標(biāo)準(zhǔn)出版社，2018.

[3]朱召泉. 鋼結(jié)構(gòu)構(gòu)件穩(wěn)定性問題淺析[J]. 鋼結(jié)構(gòu)，2011（3）：1-5.

[4]張曉霞，鐘文生，姚遠(yuǎn). 初始撓度及中間彈性支撐對壓桿穩(wěn)定的影響分析[J]. 機(jī)械，2011（6）：1-4.

[5]甘泉，韓偉，沈佳銘，等. 基于ANSYS Workbench的細(xì)長壓桿屈曲分析研究 [J]. 石化技術(shù)，2017（1）：46-47.

[6]陳政清. 梁桿結(jié)構(gòu)幾何非線性有限元的數(shù)值實現(xiàn)方法[J]. 工程力學(xué)，2014（6）：42-52.

[7]魚勝利，張珍，何英. 壓桿的穩(wěn)定性可靠性研究[J]. 機(jī)械，2003（S1）：38-39+42.

[8]范欽珊. 工程力學(xué)[M]. 北京：高等教育出版社，2009.

[9]趙九峰，史皓天，慕香嶺，等. 基于ANSYS Workbench環(huán)園列車剎車距離的計算[J]. 機(jī)械工程與自動化，2019（3）：87-91.

[10]成大先，等. 機(jī)械設(shè)計手冊[M]. 北京：化學(xué)工業(yè)出版社，2016.

[11]趙九峰. 基于ANSYS Workbench自控飛機(jī)回轉(zhuǎn)機(jī)構(gòu)驅(qū)動功率的計算及電機(jī)選型[J]. 機(jī)械，2019（4）：30-33.

Theoretical Analysis of Stability Calculation of Pressure Bar in Amusement Facilities

ZHAO Jiufeng

( Special Equipment Safety Inspection and Research Institute of Henan Province, Zhengzhou 450000, China )

Stability is defined as the ability of a component to maintain its original equilibrium under external force so as to avoid instability. There exists the possibility of instability regarding the steel structure of amusement facilities as the main bearing structure.. In this paper, the Euler's critical force formula is obtained by deducing the stability formula of the pressure bar in detail. The formula is used to analyze the stability of the column of the circular train track, and the critical load and stability coefficient of the column's instability are obtained. The buckling stability of the column is analyzed by finite element method. The results show that the stability analysis theory can reasonably explain the results of the finite element analysis. The method provides a reference for calculation and analysis of the stability of amusement facilities.

stability analysis；moment of inertia；bending moment；curvature radius；critical load

TH311.4

A

10.3969/j.issn.1006-0316.2020.06.005

1006－0316 (2020) 06－0032－05

2019－12－24

趙九峰（1981－），男，河南平頂山人，碩士研究生，工程師、檢驗師，主要從事游樂設(shè)備設(shè)計計算、結(jié)構(gòu)仿真與載荷響應(yīng)研究工作，E-mail：zjf_2002@163.com。