王碧浩，熊夫睿，黃茜，張文正

管道系統(tǒng)動(dòng)力吸振器布置多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)

王碧浩，熊夫睿，黃茜，張文正

（中國(guó)核動(dòng)力研究設(shè)計(jì)院 核反應(yīng)堆系統(tǒng)設(shè)計(jì)技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，四川 成都 610213）

工業(yè)設(shè)備中管道系統(tǒng)的振動(dòng)具有明顯地線譜特征，動(dòng)力吸振器可以有效抑制管道在特定頻率下的振動(dòng)。引入一類(lèi)含平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)自由度的動(dòng)力吸振器，針對(duì)某管道系統(tǒng)開(kāi)展簡(jiǎn)諧激勵(lì)下的振動(dòng)控制研究。首先，分別采用梁?jiǎn)卧椈桑|(zhì)量單元模擬管道和動(dòng)力吸振器，并將動(dòng)力吸振器與管道的運(yùn)動(dòng)方程耦合。采用拉丁超立方體抽樣方法對(duì)動(dòng)力吸振器的參數(shù)進(jìn)行采樣，建立動(dòng)力吸振器參數(shù)到管道支承位置振動(dòng)響應(yīng)的輸入輸出關(guān)系。采用Kriging插值法建立輸入輸出關(guān)系的代理模型，基于代理模型進(jìn)行參數(shù)相關(guān)性分析。應(yīng)用全局高效響應(yīng)面算法，對(duì)管道上動(dòng)力吸振器的布置進(jìn)行多目標(biāo)優(yōu)化，實(shí)現(xiàn)管道系統(tǒng)的振動(dòng)控制，優(yōu)化變量包括吸動(dòng)力吸振器的安裝位置和剛度參數(shù)。并針對(duì)得到的最優(yōu)設(shè)計(jì)方案進(jìn)行穩(wěn)健性評(píng)估，考查各設(shè)計(jì)參數(shù)在設(shè)計(jì)方案名義值附近擾動(dòng)時(shí)，對(duì)各輸出變量的影響。

多目標(biāo)優(yōu)化；動(dòng)力吸振器；代理模型；減振降噪；相關(guān)性分析

管道系統(tǒng)廣泛應(yīng)用于各類(lèi)機(jī)械設(shè)備中，也是振動(dòng)傳遞的主要途徑之一。在內(nèi)部流體激勵(lì)和外部機(jī)械設(shè)備激勵(lì)的共同作用下，管道極易發(fā)生劇烈振動(dòng)導(dǎo)致性能和可靠性降低，因此對(duì)管道系統(tǒng)進(jìn)行減振優(yōu)化非常必要[1]。

動(dòng)力吸振器是一類(lèi)廉價(jià)且易于維護(hù)的振動(dòng)控制元器件，可以有效降低管道在特定頻率下的振動(dòng)，在低頻振動(dòng)控制中有著廣泛的應(yīng)用。動(dòng)力吸振器通常作為輔助的彈簧質(zhì)量單元附加在管道系統(tǒng)上，通過(guò)調(diào)諧質(zhì)量和剛度參數(shù)使之在激勵(lì)作用下發(fā)生共振，從而將外部激勵(lì)的能量轉(zhuǎn)化為其機(jī)械能，進(jìn)而起到抑制管道系統(tǒng)振動(dòng)的目的[2]。

然而當(dāng)復(fù)雜管道系統(tǒng)受到多個(gè)激勵(lì)源作用時(shí)，需要采用多個(gè)單自由度（分別含平動(dòng)剛度或轉(zhuǎn)動(dòng)剛度）的動(dòng)力吸振器對(duì)其進(jìn)行減隔振控制。通常需要同時(shí)對(duì)多個(gè)動(dòng)力吸振器參數(shù)及其部署位置進(jìn)行仔細(xì)調(diào)諧。本文引入一類(lèi)含平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)自由度的動(dòng)力吸振器，針對(duì)某管道系統(tǒng)開(kāi)展簡(jiǎn)諧激勵(lì)下的振動(dòng)控制多目標(biāo)優(yōu)化研究。

1 控制方程

管道在外部激勵(lì)作用下，橫向振動(dòng)是其主要的變形，根據(jù)歐拉－伯努利梁理論，均質(zhì)梁結(jié)構(gòu)的振動(dòng)方程為：

式中：為彈性模量，Pa；為梁的截面慣性矩，m4；為沿梁軸向的質(zhì)量分布，kg/m；為梁的振動(dòng)位移，m；(,)為梁所受外載荷，N；為梁的位置坐標(biāo)，m；為時(shí)間，s。

動(dòng)力吸振器對(duì)梁振動(dòng)的抑制效果通過(guò)在主系統(tǒng)上施加的集中力體現(xiàn)，考慮動(dòng)力吸振器慣性效應(yīng)作用的梁受迫振動(dòng)方程為：

動(dòng)力吸振器的運(yùn)動(dòng)方程為：

耦合了動(dòng)力吸振器梁的穩(wěn)態(tài)解為：

式中：W為模態(tài)坐標(biāo)向量；φ為模態(tài)函數(shù)；Z為梁在吸振器安裝位置的平動(dòng)位移，m；Θ為梁在吸振器安裝位置的轉(zhuǎn)角，rad。

則動(dòng)力吸振器作用在梁上的力和彎矩分別為：

通過(guò)模態(tài)展開(kāi)，利用模態(tài)函數(shù)的正交性和歸一化，可以得出耦合系統(tǒng)的模態(tài)坐標(biāo)，將其代入式（6）～式（8），即可得到系統(tǒng)在穩(wěn)態(tài)下的位移響應(yīng)[3]。

2 振動(dòng)分析模型

2.1 結(jié)構(gòu)分析模型

某管道系統(tǒng)根據(jù)需要和用途沿管內(nèi)流體流動(dòng)方向設(shè)置了電動(dòng)閘閥、電磁閥等閥門(mén)。管道系統(tǒng)通過(guò)17個(gè)支吊架約束，支吊架一端連接在管道上，另一端固定在基座上。為實(shí)現(xiàn)管道在系統(tǒng)出入口位置的激勵(lì)下各支吊架位置的振動(dòng)水平下降，本文擬沿管道設(shè)置若干動(dòng)力吸振器，通過(guò)優(yōu)化動(dòng)力吸振器的參數(shù)實(shí)現(xiàn)低頻段內(nèi)的振動(dòng)被動(dòng)控制。

為使模型盡量簡(jiǎn)化，且又能準(zhǔn)確模擬管道系統(tǒng)的振動(dòng)特性，根據(jù)實(shí)際結(jié)構(gòu)特征和邊界條件并結(jié)合有限元理論，建立管道系統(tǒng)的有限元分析模型。

采用管單元模擬管道，閥門(mén)及一些對(duì)系統(tǒng)整體剛度影響很小的部件在模型中只考慮其質(zhì)量影響。支吊架采用彈簧單元模擬，不同支吊架在管道一側(cè)的固定方式根據(jù)其功能不同約束相應(yīng)的自由度，支吊架在基座一側(cè)約束所有方向的自由度。沿管道布置的動(dòng)力吸振器采用彈簧－質(zhì)量單元模擬，并將動(dòng)力吸振器與管道單元的運(yùn)動(dòng)方程耦合。

考慮管道系受到來(lái)自進(jìn)出口位置的單位帶寬激勵(lì)，激勵(lì)的方式為施加集中力，進(jìn)口和出口位置的激勵(lì)同相位，激勵(lì)頻段范圍為10～300 Hz，振動(dòng)分析通過(guò)諧響應(yīng)分析實(shí)現(xiàn)。

2.2 優(yōu)化變量

為考察管道系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性，對(duì)其進(jìn)行了模態(tài)分析。根據(jù)管道系統(tǒng)自身的固有屬性將其分為8個(gè)區(qū)域，每個(gè)區(qū)域布置一個(gè)動(dòng)力吸振器，通過(guò)優(yōu)化各動(dòng)力吸振器的布置位置和參數(shù)，對(duì)支吊架與管道連接位置在一定頻段內(nèi)的振動(dòng)水平進(jìn)行優(yōu)化。

每個(gè)動(dòng)力吸振器均包含水平自由度和轉(zhuǎn)動(dòng)自由度，優(yōu)化變量包括：動(dòng)力吸振器的布置位置、平動(dòng)剛度、轉(zhuǎn)動(dòng)剛度、質(zhì)量和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。動(dòng)力吸振器參數(shù)的上下界見(jiàn)表1，其中動(dòng)力吸振器的安裝位置采用歸一化坐標(biāo)，0表示每個(gè)區(qū)域的起點(diǎn)，1表示每個(gè)區(qū)域的終點(diǎn)。有限元模型見(jiàn)圖1所示。

圖1 管道系統(tǒng)有限元模型

表1 動(dòng)力吸振器參數(shù)取值范圍

3 試驗(yàn)設(shè)計(jì)

3.1 參數(shù)采樣

管道系統(tǒng)布置8動(dòng)力吸振器，共有40個(gè)優(yōu)化參數(shù)，17支吊架約束位置的振動(dòng)響應(yīng)為優(yōu)化目標(biāo)。不同輸入?yún)?shù)對(duì)優(yōu)化目標(biāo)影響程度不同，且輸入?yún)?shù)之間也彼此制約，在優(yōu)化分析時(shí)需要重點(diǎn)關(guān)注主要設(shè)計(jì)參數(shù)。為定性考察輸入?yún)?shù)與優(yōu)化目標(biāo)的變化趨勢(shì)指導(dǎo)后續(xù)優(yōu)化策略，在進(jìn)行優(yōu)化分析前，對(duì)動(dòng)力吸振器的輸入?yún)?shù)進(jìn)行采樣。

為避免出現(xiàn)數(shù)據(jù)截尾，確保樣本點(diǎn)盡可能覆蓋整個(gè)分布區(qū)間，提高抽樣效率?；诶〕⒎襟w抽樣方法，依據(jù)各輸入?yún)?shù)的分布函數(shù)和定義域范圍，采用等概率分層取樣的方法產(chǎn)生各參數(shù)的隨機(jī)樣本[4]。對(duì)動(dòng)力吸振器的輸入?yún)?shù)進(jìn)行采樣，樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)400，隨機(jī)種子數(shù)69。通過(guò)對(duì)管道系統(tǒng)有限元模型進(jìn)行諧響應(yīng)計(jì)算，得出樣本點(diǎn)的真實(shí)響應(yīng)值，并將得到的樣本及其響應(yīng)值保存在樣本點(diǎn)數(shù)據(jù)庫(kù)中。

通過(guò)建立動(dòng)力吸振器輸入?yún)?shù)到管道支承位置振動(dòng)響應(yīng)的輸入輸出關(guān)系，可以考察不同輸出位置的振動(dòng)響應(yīng)分布。圖2給出了管道與7#支吊架、2#支吊架連接位置輸出振動(dòng)響應(yīng)的統(tǒng)計(jì)分布，其中振動(dòng)加速度級(jí)基于響應(yīng)最大值進(jìn)行了歸一化處理?？梢钥闯觯鄬?duì)于2#支吊架與管道連接位置，7#支吊架與管道連接位置振動(dòng)響應(yīng)分布相對(duì)緊湊。

圖2 支吊架位置振動(dòng)響應(yīng)統(tǒng)計(jì)分布

3.2 代理模型

Kriging模型以變異函數(shù)理論為基礎(chǔ)，對(duì)有限區(qū)域內(nèi)的變量進(jìn)行無(wú)偏最優(yōu)估計(jì)，其數(shù)學(xué)模型如下[5-7]：

式中：()為待擬合的函數(shù)；()為已知的多項(xiàng)式函數(shù)；()為一個(gè)均值為0、方差為2的隨機(jī)函數(shù)，表示局部偏差，其協(xié)方差矩陣為：

(x,x)為任意兩個(gè)樣本點(diǎn)x、x的相關(guān)函數(shù)，表示其局部偏離程度，形式為：

對(duì)于任一預(yù)測(cè)點(diǎn)，其預(yù)測(cè)值為：

T()表示觀測(cè)點(diǎn)于樣本點(diǎn)之間的相關(guān)性，形式為：

的估計(jì)為：

參數(shù)θ為極大似然估計(jì)，通過(guò)求解以下最優(yōu)化問(wèn)題得到：

通過(guò)求解式（18）求出θ，代入式（15）得到T()，再結(jié)合式（14）可以得到最優(yōu)擬合的Kriging模型。

基于拉丁超立方體采樣計(jì)算得到的樣本數(shù)據(jù)對(duì)，采用Kriging插值法建立輸入輸出關(guān)系的代理模型。各支吊架位置振動(dòng)響應(yīng)代理模型的精度見(jiàn)表2，其定義如下：

表2 支吊架位置振動(dòng)響應(yīng)代理模型精度

由表2中可以看到，代理模型的最高精度可以達(dá)到0.97，絕大多數(shù)的模型精度在0.7以上，最低為0.66。圖3給出了5#動(dòng)力吸振器的安裝位置、平動(dòng)剛度與10#支吊架位置振動(dòng)響應(yīng)關(guān)系的代理模型。

圖3 Kriging擬合的10#支吊架響應(yīng)代理模型

3.3 相關(guān)性分析

通過(guò)參數(shù)采樣建立的輸入?yún)?shù)與優(yōu)化目標(biāo)之間的統(tǒng)計(jì)分布，只能定性考察二者之間變化趨勢(shì)。對(duì)此，對(duì)每一組輸入輸出關(guān)系進(jìn)行相關(guān)性分析來(lái)研究二者的關(guān)聯(lián)，考察不同參數(shù)間的敏度大小。在優(yōu)化分析時(shí)根據(jù)輸入?yún)?shù)與優(yōu)化目標(biāo)的相關(guān)性，可以對(duì)輸入?yún)?shù)進(jìn)行適當(dāng)縮并。

相關(guān)性系數(shù)的定義為[8]：

式中：S、S分別為、的標(biāo)準(zhǔn)差。

通過(guò)考察輸入變量對(duì)系統(tǒng)輸出響應(yīng)的相關(guān)性，可以得到對(duì)優(yōu)化目標(biāo)影響最顯著的輸入?yún)?shù)。表3給出了1#動(dòng)力吸振器參數(shù)與17個(gè)支吊架位置響應(yīng)之間的相關(guān)性系數(shù)。

根據(jù)表3中的相關(guān)性系數(shù)可看到，1#動(dòng)力吸振器對(duì)1#、2#、3#支吊架位置的輸出響應(yīng)影響最明顯，且主要體現(xiàn)在1#動(dòng)力吸振器的安裝位置、質(zhì)量、平動(dòng)剛度三個(gè)參數(shù)。在第1段管道上布置含平動(dòng)剛度的動(dòng)力吸振器，通過(guò)調(diào)諧其安裝位置、平動(dòng)剛度、和質(zhì)量，可有效控制1#支吊位置的振動(dòng)響應(yīng)，并對(duì)2#、3#支吊架位置的振動(dòng)抑制起到一定作用。1#動(dòng)力吸振器對(duì)其他支吊架位置的輸出響應(yīng)相關(guān)性較弱。

表3 1#動(dòng)力吸振器參數(shù)對(duì)振動(dòng)響應(yīng)的相關(guān)性系數(shù)

通過(guò)對(duì)所有8個(gè)動(dòng)力吸振器的輸入?yún)?shù)分別與17個(gè)優(yōu)化目標(biāo)之間的相關(guān)性進(jìn)行分析，可知?jiǎng)恿ξ衿鲗?duì)相近支吊架位置的輸出有較大影響，且間隔2個(gè)支吊架之后其影響可以忽略。輸入?yún)?shù)與輸出響應(yīng)的相關(guān)系數(shù)都較小，表現(xiàn)出較弱的線性關(guān)系。對(duì)于任何一個(gè)輸入變量而言，至少對(duì)一個(gè)優(yōu)化目標(biāo)有著比較大的影響（線性或非線性），因此，后續(xù)優(yōu)化過(guò)程中考慮所有的設(shè)計(jì)變量，以此盡可能提高優(yōu)化效果。

4 優(yōu)化設(shè)計(jì)

利用數(shù)學(xué)模型來(lái)表征系統(tǒng)輸入輸出之間的關(guān)系，通過(guò)所構(gòu)建代理模型代替實(shí)際的系統(tǒng)仿真分析進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，可有效提高優(yōu)化效率[9-11]。

采用全局高效響應(yīng)面算法（EGO）對(duì)管道上動(dòng)力吸振器的布置參數(shù)進(jìn)行多目標(biāo)優(yōu)化[12-13]。以17個(gè)支吊架位置振動(dòng)響應(yīng)為優(yōu)化目標(biāo)，8個(gè)動(dòng)力吸振器參數(shù)為約束條件，可以得到優(yōu)化問(wèn)題定義為：

式中：dB為第個(gè)支吊架位置的振動(dòng)響應(yīng)加速度級(jí)；k為第個(gè)動(dòng)力吸振器的平動(dòng)剛度，N/m；k為第個(gè)動(dòng)力吸振器的轉(zhuǎn)動(dòng)剛度，N·m/rad；m為第個(gè)動(dòng)力吸振器的質(zhì)量，kg；I為第個(gè)動(dòng)力吸振器的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，kg·m2。

首先基于代理模型進(jìn)行尋優(yōu)，由于不需要重復(fù)調(diào)用有限元模型計(jì)算，進(jìn)而可以大幅減小求解時(shí)間。雖然上述代理模型整體精度較高，但僅基于代理模型進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)得到的最優(yōu)設(shè)計(jì)方案，往往與實(shí)際情況有較大的偏差。因此，還需將通過(guò)代理模型得到的最優(yōu)解作為輸入?yún)?shù)帶入有限元模型進(jìn)行驗(yàn)證。如果代理模型和有限元模型計(jì)算得到的輸出響應(yīng)相差較大，則利用有限元模型的數(shù)據(jù)對(duì)代理模型進(jìn)行更新。往復(fù)以上迭代過(guò)程，直至得到最優(yōu)設(shè)計(jì)方案，EGO算法流程圖如圖4所示。

圖4 EGO算法流程圖

利用EGO全局高效響應(yīng)面算法，經(jīng)過(guò)581次迭代計(jì)算（有限元模型計(jì)算181次，其中前400次直接讀取代理模型結(jié)果）得到最優(yōu)設(shè)計(jì)方案。輸入?yún)?shù)見(jiàn)表4，優(yōu)化前后輸出結(jié)果對(duì)比見(jiàn)圖5?？梢钥闯?7個(gè)支吊架位置的振動(dòng)響應(yīng)都有不同程度的減小。

表4 優(yōu)化后的輸入?yún)?shù)

5 穩(wěn)健性評(píng)估

數(shù)值仿真得到的最優(yōu)解是名義值，由于工程應(yīng)用中存在制造和安裝的誤差，致使動(dòng)力吸振器實(shí)際的參數(shù)與名義值存在一定的偏差。為了避免在確定性仿真中有效的設(shè)計(jì)可能在實(shí)際應(yīng)用中導(dǎo)致有缺陷的產(chǎn)品，必須考慮設(shè)計(jì)變量的可靠性[14-15]。

因此，針對(duì)得到的最優(yōu)設(shè)計(jì)方案進(jìn)行穩(wěn)健性評(píng)估，考查各輸入?yún)?shù)在設(shè)計(jì)方案名義值附近±10%擾動(dòng)時(shí)，輸出對(duì)輸入變異性的敏感性。假設(shè)各輸入?yún)?shù)服從正態(tài)分布，采用Monte Carlo抽樣方法進(jìn)行采樣。

樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)設(shè)定為10000，對(duì)多目標(biāo)最優(yōu)解的魯棒性進(jìn)行檢驗(yàn)，評(píng)估過(guò)程基于代理模型完成。Monte Carlo方法隨機(jī)選擇給定分布的參數(shù)組合進(jìn)行多次仿真。

絕大多數(shù)輸出變量的標(biāo)準(zhǔn)差在0.1～0.6范圍內(nèi)，僅有14#、15#支吊架位置超出該范圍，分別為1.87、0.75。即便如此，兩個(gè)位置的變異系數(shù)也僅分別為2.18%、0.94%，從工程的角度而言一般是可以接受的。圖6給出了管道與15#支吊架連接位置輸出振動(dòng)響應(yīng)的統(tǒng)計(jì)分布。

圖5 優(yōu)化結(jié)果對(duì)比

圖6 15#支吊架振動(dòng)響應(yīng)統(tǒng)計(jì)分布

6 結(jié)論

本文以某管道系統(tǒng)為研究對(duì)象，通過(guò)布置含平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)自由度的動(dòng)力吸振器，開(kāi)展簡(jiǎn)諧激勵(lì)下的振動(dòng)控制研究。首先通過(guò)分層抽樣的方法對(duì)輸入?yún)?shù)進(jìn)行采樣，建立了從動(dòng)力吸振器布置參數(shù)到管道支吊架位置振動(dòng)響應(yīng)的輸入輸出關(guān)系?；诓蓸訑?shù)據(jù)建立了輸入輸出關(guān)系的代理模型，并進(jìn)行了參數(shù)相關(guān)性分析，考察了系統(tǒng)響應(yīng)隨各輸入?yún)?shù)變化的規(guī)律。采用全局高效響應(yīng)面算法對(duì)動(dòng)力吸振器的布置參數(shù)進(jìn)行了優(yōu)化，得到了最優(yōu)解，實(shí)現(xiàn)了低頻段內(nèi)管道系統(tǒng)的振動(dòng)被動(dòng)控制，并考察了最優(yōu)設(shè)計(jì)方案優(yōu)化方案的魯棒性。

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Multi-objective Optimal Design of Dynamic Vibration Absorber for Vibration Reduction of Piping System

WANG Bihao，XIONG Furui，HUANG Qian，ZHANG Wenzheng

(Science and Technology on Reactor System Design Technology Laboratory, Nuclear Power Institute of China, Chengdu 610213, China)

The dynamic vibration absorber (DVA) is known for its capability on reducing pipe vibration under specific frequencies, which is a significant characteristic of vibration of pipeline system in industrial equipment. A type of dynamic vibration absorber (DVA) with translational and rotational degree of freedoms (DOFs) is introduced for reducing pipe vibration under specific frequencies. First of all, the piping system is modeled with beam elements and DVAs is modeled with mass-spring elements. In this model, kinematic equations of DVAs are coupled with the beams. Then, Latin Hypercube Sampling (LHS) technique is applied to sample data points and the input-output relationship that characterizes the mapping from parameters of DVAs to vibration response is established. The surrogate model is constructed based on the points. Kriging interpolation is applied for the data-driven model. The optimization is achieved via Efficient Global Optimization (EGO) algorithm to fine tune the deployment strategy with maximum vibration reduction at several locations. The optimization variables include the location of vibrations absorbers and stiffness parameters. The robustness of the obtained optimal design scheme is evaluated to examine the influence of each design parameter on each output variable when it is disturbed.

multi-objective optimization；dynamic vibration absorber；surrogate model；vibration and noise reduction；correlation analysis

TB 535.1

A

10.3969/j.issn.1006-0316.2020.06.002

1006－0316 (2020) 06－0010－08

2020－02－18

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目（51606180；11872060）

王碧浩（1988－），男，四川巴中人，碩士研究生，工程師，主要研究方向?yàn)榉磻?yīng)堆結(jié)構(gòu)力學(xué)分析和優(yōu)化，E-mail：wangbhao@126.com。