徐 學(xué)

(江蘇省蘇州中學(xué)園區(qū)校，江蘇 蘇州 215021)

2017年版的《普通高中物理課程標(biāo)準(zhǔn)》中指出要進(jìn)一步提升學(xué)生的物理學(xué)科核心素養(yǎng),為學(xué)生的終身發(fā)展奠定基礎(chǔ).其中科學(xué)思維是物理學(xué)科核心素養(yǎng)4個維度之一.“科學(xué)思維”主要包括模型建構(gòu)、科學(xué)推理、科學(xué)論證、質(zhì)疑創(chuàng)新等要素.如何在物理課堂中通過師生互動,生本互動、生境互動和諧而生態(tài)的培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)思維能力,特別是模型建構(gòu)能力是一個值得研究的問題.前不久筆者在高三物理課堂中借助于彈簧連接體問題的探討進(jìn)行以模型建構(gòu)為主的科學(xué)思維能力培養(yǎng)的探索.現(xiàn)把教學(xué)的過程與反思分享給各位同行.以期能起到拋磚引玉之用.

1 拋出問題,激發(fā)興趣

對于彈簧連接體問題,從力的角度分析,與彈簧相連的物體受到彈簧的彈力是變力,導(dǎo)致物體所受的合力為變力,物體的運(yùn)動是加速度變化的變速運(yùn)動,導(dǎo)致物體的運(yùn)動過程比較復(fù)雜.另一方面,從能的角度來看,彈簧是儲能裝置,彈簧連接體運(yùn)動過程中動能與彈性勢能相互轉(zhuǎn)化.因此彈簧連接體能很好的考察學(xué)生的綜合分析能力,是考察科學(xué)思維的優(yōu)秀載體,備受高考命題專家的青睞.學(xué)生們遇到此類題型總是覺得難于下手,今天我們不妨一起探究一下彈簧連接體問題,能否研究出一些規(guī)律對我們后續(xù)的解題有所幫助.

圖1

問題1.如圖1所示,質(zhì)量分別為m1、m2的兩物塊A、B通過一水平輕質(zhì)彈簧連接,彈簧的勁度系數(shù)為k,靜止放置在光滑水平面上,彈簧開始時處于原長,運(yùn)動過程中始終處在彈性限度內(nèi),t1=0時刻在A上施加一個水平向右的恒力F,t=t2時刻彈簧第一次恢復(fù)到原長狀態(tài),試分析在t1到t2時間內(nèi)物塊A,B的運(yùn)動情況.

學(xué)生討論后得到:以A為研究對象,設(shè)彈簧的形變量為x,則由牛頓第二定律可得F-kx=mAaA.以B為研究對象,則由牛頓第二定律可得kx=mBaB.

隨著彈簧形變量x的增大,物塊A做加速度減小的加速運(yùn)動,物塊B做加速度增大的加速運(yùn)動,由于aA>aB,則vA>vB兩物塊的間距增大;當(dāng)aA=aB,兩物塊的速度差為最大,此后aA

圖2

問題2.兩物塊在達(dá)到第一次速度相等的過程中是否一直在做加速運(yùn)動呢?彈簧再次回到原長時,兩物塊的速度有無關(guān)系呢?兩物塊的距離恢復(fù)原長過程中兩物塊的速度又是如何變化呢?兩物塊速度的變化與加速度的變化是否存在周期性?與兩物塊的質(zhì)量大小和外力大小有無關(guān)系呢?這個問題的分析過程比較復(fù)雜,我們不妨借助于仿真物理實(shí)驗(yàn)室(如圖2)來探究兩物塊的運(yùn)動規(guī)律.

2 實(shí)驗(yàn)探究,得出規(guī)律

對比實(shí)驗(yàn)1:質(zhì)量相同,外力不同.

實(shí)驗(yàn)1.mA=mB=2 kg,k=10 N/m,外力F=20 N.v-t圖像如圖3所示.

實(shí)驗(yàn)2.mA=mB=2 kg,k=10 N/m,外力F=40 N.v-t圖像如圖4所示.

圖3

圖4

學(xué)生分析:兩個實(shí)驗(yàn)圖像的共同點(diǎn)是物塊A在從開始運(yùn)動至第一次速度相等的過程中,均做加速度減小的加速運(yùn)動,當(dāng)兩者速度相等時物塊A的加速度為0.物塊B做加速度增大的加速運(yùn)動.此后從兩者速度相等至速度第2次相等的過程中物塊A做加速度增加的加速運(yùn)動,物體B做加速度減小的加速運(yùn)動.當(dāng)速度再次相等時,B的加速度變?yōu)?,A的加速度回到原來開始運(yùn)動狀態(tài).相鄰兩次速度相等的時間間隔約為1 s.加速度變化的周期從圖中看出約為2 s. 不同點(diǎn)是兩者達(dá)到共速時的速度的大小不同.

結(jié)論1： 兩物塊的加速度均做周期性變化,兩物塊的加速度的周期都約為2 s,與外力的大小無關(guān).兩物體速度相等的時間間隔是相同的都約為1 s.第1次速度相同時兩者的距離最大,彈性勢能最大,第2次速度相同時,A,B的位移相同,即彈簧回復(fù)至原長.

對比實(shí)驗(yàn)2:mA>mB,外力不同.

實(shí)驗(yàn)3.mA=2 kg,mB=1 kg,k=10 N/m,外力F=20 N.v-t圖像如圖5所示.

實(shí)驗(yàn)4.mA=2 kg,mB=1 kg,k=10 N/m,外力F=40 N.v-t圖像如圖6所示.

學(xué)生分析:兩個實(shí)驗(yàn)圖像的共同點(diǎn):物塊A在從開始運(yùn)動至第1次速度相等的過程中,做加速度減小的加速運(yùn)動,當(dāng)兩者速度相等時物塊A的加速度大于0.物塊B做加速度增大的加速運(yùn)動.此后從兩者速度相等至速度第2次相等的過程中,物塊A做加速度增加的加速運(yùn)動,物塊B做加速度減小的加速運(yùn)動.當(dāng)速度再次相等時,B的加速度變?yōu)?,A的加速度回到原來開始運(yùn)動狀態(tài).相鄰兩次速度相等的時間間隔約為0.82 s加速度變化的周期從圖中看出約為1.64 s.不同點(diǎn)是兩者達(dá)到共速時的速度的大小不同.

圖5

圖6

結(jié)論2： 當(dāng)mA>mB時,兩物塊的加速度仍做周期性變化,兩物塊的加速度變化的周期都為1.64 s,與外力的大小無關(guān).但與實(shí)驗(yàn)1,2相比周期發(fā)生了變化,說明周期與物塊A和B的質(zhì)量有關(guān),兩物體速度相等的時間間隔是相同的都約為0.82 s.第1次速度相同時兩者的距離最大,彈性勢能最大,第2次速度相同時,A,B的位移相同,即彈簧回復(fù)至原長.

對比實(shí)驗(yàn)3:mA

實(shí)驗(yàn)5.mA=1 kg,mB=2 kg,k=10 N/m,外力F=20 N.v-t圖像如圖7所示.

圖7

圖8

實(shí)驗(yàn)6.mA=1 kg,mB=2 kg,k=10 N/m,外力F=40 N.v-t圖像如圖8所示.

學(xué)生分析:兩個實(shí)驗(yàn)圖像的共同點(diǎn):物塊A在從開始運(yùn)動至第1次速度相等的過程中,先做加速度減小的加速運(yùn)動,當(dāng)加速度減小為0后,做加速度增大的減速運(yùn)動,當(dāng)兩者速度相等時物塊A的加速度小于0.物塊B做加速度增大的加速運(yùn)動.此后從兩者速度相等至速度第2次相等的過程中,物塊A做加速度減小的減速運(yùn)動,再做加速度增大的加速運(yùn)動.物塊B做加速度減小的加速運(yùn)動.當(dāng)速度再次相等時,B的加速度變?yōu)?,A的加速度回到原來開始運(yùn)動狀態(tài).相鄰兩次速度相等的時間間隔約為0.82 s.加速度變化的周期從圖中看出約為1.64 s.不同點(diǎn)是兩者達(dá)到共速時的速度的大小不同.

結(jié)論3: 當(dāng)mA

結(jié)論: 對于上述的彈簧連接體模型,依據(jù)6個模擬實(shí)驗(yàn)可以得出如下規(guī)律：兩物塊的加速度都做周期性變化,周期的大小與外力大小無關(guān),與兩物塊的質(zhì)量大小有關(guān)；相鄰兩次速度相同的時間間隔是半個周期；兩物塊之間的距離在原長與最大距離之間周期性變化.

3 模型建構(gòu),科學(xué)推理

問題3.通過剛才實(shí)驗(yàn)探究我們得出了彈簧連接體的運(yùn)動的規(guī)律,同學(xué)們課后思考一下,為什么與彈簧連接的物體加速度變化存在周期性呢?為什么周期與外力大小沒有關(guān)系呢?它們的運(yùn)動與學(xué)過的什么運(yùn)動有相似之處呢?能否建立一個運(yùn)動的模型并證明之?

孫同學(xué):如果以A為參考系的話,對B引入慣性力,則B的運(yùn)動可能是簡諧運(yùn)動.

朱同學(xué): 以A為參考系的話,A的加速度是時間的函數(shù),會把問題復(fù)雜化,還是以A,B的質(zhì)心為參考系,由于外力是恒力,質(zhì)心的加速度是恒定的,這樣可以簡化問題,可能A,B相對于質(zhì)心做簡諧運(yùn)動.

圖9

教師與學(xué)生共同討論:理論證明如下.設(shè)彈簧的原長為L,A,B的質(zhì)心為C,物塊B與質(zhì)心C之間的距離為LB,物塊A與質(zhì)心C之間的距離為LA則

(1)

(2)

如果以A,B的質(zhì)心為參考系,則依據(jù)質(zhì)心運(yùn)動定理

F=(mA+mB)aC.

(3)

由于外力F是恒力,所以質(zhì)心的加速度是定值.在質(zhì)心參考系中,則物塊B在運(yùn)動過程中始終受到一個與質(zhì)心加速度aC方向始終相反的慣性力-mBaC.在質(zhì)心參考系中,質(zhì)心C左側(cè)彈簧的長度為LB. 當(dāng)彈簧受彈力F時,以地面為參考系觀察,形變量為ΔL,而以質(zhì)心C為參考系中觀察,左側(cè)彈簧形變量為ΔLB.并且滿足

(4)

因此質(zhì)心左側(cè)彈簧在質(zhì)心參考系中的勁度系數(shù)為

(5)

再由(1)、(2)兩式可得

(6)

同理質(zhì)心右側(cè)彈簧在質(zhì)心參考系中的勁度系數(shù)為

(7)

圖10

假如在質(zhì)心參考系中來看,物塊B簡諧運(yùn)動.如圖10所示,t=0時刻,物塊B處于最大位移處,平衡位置在慣性力與彈簧彈力相等的位置O,此位置處

kBx0B=mBaC,

(8)

(9)

以質(zhì)心C左側(cè)LB+x0處為坐標(biāo)原點(diǎn),指向質(zhì)心C為正方向,則由動力學(xué)方程可得

kB(x0B-x)-mBaC=mBa.

(10)

(11)

可知B周期與外力無關(guān).物塊B振幅為

(12)

圖11

同理,如圖11所示,對于物塊A來說,平衡位置O在

F=mAaC+kAxoA

(13)

處取得,則

(14)

以質(zhì)心C右側(cè)LA+xOA為坐標(biāo)原點(diǎn)O,以沿CO方向?yàn)檎较?則物塊A的動力學(xué)方程為

F-kA(xOA+x)-mAaC=mAa.

(15)

(16)

A的周期與外力無關(guān).物塊A的振幅為

(17)

驗(yàn)證周期(16)式.

實(shí)驗(yàn)1:mA=mB=2 kg,k=10 N/m,代入(16)式，得T=1.99 s..

實(shí)驗(yàn)3:mA=2 kg，mB=1 kg,k=10 N/m,代入(16)式，得T=1.62 s.

實(shí)驗(yàn)5:mA=1 kg,mB=2 kg,k=10 N/m,代入(16)式，得T=1.62 s.

對比圖3,5,7可以看出在實(shí)驗(yàn)誤差范圍內(nèi)理論數(shù)值與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)符合很好.

由上面的理論推導(dǎo)可知以質(zhì)心C為參考系,物塊A與B均做簡諧運(yùn)動,它們的頻率相同與外力無關(guān).在t=0時物塊B與物塊A從最大位移處向各自的平衡位置振動,它們同時到達(dá)平衡位置,經(jīng)過半個周期同時到達(dá)各自到達(dá)另一側(cè)最大位移處,此時兩者相對于質(zhì)心速度為0,所以此時兩者速度第一次共速,兩者之間的距離最大,彈性勢能最大.再經(jīng)過半個周期,至t=t2時刻,它們各自回到初始狀態(tài),此時兩者相對于質(zhì)心速度為0,兩者速度第二次共速,此時兩者之間的距離為原長,彈性勢能為零.

4 深入挖掘,再次驗(yàn)證

問題4.從地面參考系來看,則可以認(rèn)為物塊A與B的運(yùn)動是什么運(yùn)動呢?能否把它們的速度表達(dá)式推導(dǎo)出來?

師生共同探究:從地面參考系來看,則可以認(rèn)為物塊A與B同時參與兩個運(yùn)動,分別是隨質(zhì)心勻加速運(yùn)動和圍繞各自平衡位置做同頻率的簡諧運(yùn)動.

物塊B做簡諧運(yùn)動的位移與時間的關(guān)系式為x=ABcosωt,則速度隨時間變化的規(guī)律為v=-ABωsinωt,質(zhì)心的速度隨時間變化的規(guī)律為vC=aCt.則以地面為參考系,物塊B速度隨時間變化的規(guī)律為

vB=v+vC=aCt-ABωsinωt.

(18)

由(3)、(12)、(18)式得到

物塊A做簡諧運(yùn)動的位移與時間的關(guān)系式為x=-AAcosωt,則速度隨時間變化的規(guī)律為v=AAωsinωt,質(zhì)心的速度隨時間變化的規(guī)律為vC=aCt.則以地面為參考系,物塊A速度隨時間變化的規(guī)律為

vA=v+vC=aCt+AAωsinωt.

(19)

由(3)、(17)、(19)式得到

利用幾何畫板作出在不同質(zhì)量與外力作用的速度時間圖像與仿真物理實(shí)驗(yàn)室的圖像進(jìn)行對比.

情況1：mA=mB=2 kg,k=10 N/m,外力F=20 N(如圖12).

圖12

情況2：mA=2 kg,mB=1 kg,k=10 N/m,外力F=20 N(如圖13).

圖14

情況3：mA=1 kg,mB=2 kg,k=10 N/m,外力F=20 N(如圖14).

教學(xué)反思:本節(jié)課是通過教師的引導(dǎo)層層深入,使得各個層次的學(xué)生的科學(xué)思維得到充分的鍛煉.第一層次,全班所有學(xué)生對教師在課堂上拋出的問題進(jìn)行受力分析,應(yīng)用牛頓運(yùn)動定律對兩物體的運(yùn)動做出初步描述,鍛煉了學(xué)生的分析問題解決問題的能力.第二層次,在課堂上師生共同合作利用仿真物理實(shí)驗(yàn)室軟件模擬各種情況下物塊A,B的運(yùn)動情況并討論其運(yùn)動規(guī)律.鍛煉了學(xué)生的識圖能力與概括能力.第三層次,培養(yǎng)了部分尖子生的模型建構(gòu)能力和科學(xué)推理能力.對于如何建構(gòu)，學(xué)生們各自提出自己的觀點(diǎn),并對同伴的觀點(diǎn)做出了質(zhì)疑與評價.課堂內(nèi)外學(xué)生思維活躍,氣氛熱烈,充滿熱情,課堂生態(tài)和諧.因此筆者認(rèn)為要培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)思維能力關(guān)鍵要找到好的值得探究的層層深入的問題,通過師生互動,生本互動,生境互動和諧的探討,步步深入,最終使各個層次的學(xué)生的科學(xué)思維能力都得到培養(yǎng).