張 靜 于文高

(1. 江蘇省淮陰中學(xué)，江蘇 淮安 223002； 2. 淮安市教學(xué)研究室，江蘇 淮安 223001)

人教版高中物理教材(必修2)中提到了行星的逆行現(xiàn)象，行星逆行現(xiàn)象為日心說(shuō)提供了有力證據(jù)，但是行星的逆行現(xiàn)象一般的中學(xué)生難以觀察到，很難想象這是怎么回事，充滿(mǎn)了神秘感．可以利用動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)軟件GeoGebra對(duì)這一現(xiàn)象進(jìn)行比較精確的模擬，從而讓學(xué)生對(duì)這一現(xiàn)象形成很直觀的認(rèn)識(shí)，在此基礎(chǔ)上可以比較容易地發(fā)現(xiàn)行星逆行的一些規(guī)律.

1 模擬金星繞太陽(yáng)的運(yùn)動(dòng)

1.1 行星公轉(zhuǎn)的相關(guān)數(shù)據(jù)

查得地球的公轉(zhuǎn)軌道半徑為1 AU(即一個(gè)天文單位)、周期為365.24天，金星的公轉(zhuǎn)軌道半徑為0.72 AU、周期為224.70天，火星的公轉(zhuǎn)軌道半徑為1.67 AU、周期為686.98天.

1.2 模擬金星、地球的公轉(zhuǎn)

在GeoGebra中任意作出一點(diǎn)A作為太陽(yáng).

以A為圓心作一半徑為1的圓作為地球的公轉(zhuǎn)軌道，并在其上作一動(dòng)點(diǎn)B表示地球，并設(shè)置B點(diǎn)的動(dòng)畫(huà)速度為1.

以A為圓心作一半徑為0.72的圓作為金星的軌道，并在其上作一動(dòng)點(diǎn)C表示金星，并設(shè)置C點(diǎn)的動(dòng)畫(huà)速度為13/8.

設(shè)置各對(duì)象的其它屬性，使視覺(jué)效果簡(jiǎn)潔、美觀.

分別右擊B點(diǎn)、C點(diǎn)在彈出的右鍵菜單中選擇“Animation On”，讓“地球”和“金星”繞“太陽(yáng)”運(yùn)轉(zhuǎn)起來(lái)，如圖1所示.

圖1

此時(shí)，已經(jīng)模擬出了金星、地球繞太陽(yáng)的公轉(zhuǎn)情況，但是還不能直觀地看出金星的逆行現(xiàn)象．因?yàn)?，這是從太陽(yáng)的視角來(lái)看金星與地球的運(yùn)行情況，而金星的逆行是金星相對(duì)于地心的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中出現(xiàn)的特殊現(xiàn)象，怎么來(lái)模擬呢？

2 模擬金星相對(duì)于地球的運(yùn)動(dòng)

在表示太陽(yáng)的A點(diǎn)的右側(cè)適當(dāng)位置畫(huà)出一定點(diǎn)D，用來(lái)表示不動(dòng)的地球.

在GeoGebra的指令欄中輸入C-B+D，得到一個(gè)新的點(diǎn)E，用來(lái)表示不動(dòng)的地球(D點(diǎn))周?chē)慕鹦?，并在右鍵菜單中設(shè)置跟蹤(Trace on).

設(shè)置D、E兩點(diǎn)的其它屬性，使視覺(jué)效果簡(jiǎn)潔、美觀.

(1) 每經(jīng)過(guò)一段時(shí)間后金星相對(duì)于地球的繞行方向發(fā)生改變，這就是金星的逆行現(xiàn)象.

(2) 金星的逆行現(xiàn)象都是發(fā)生在金星與地球相距較近的時(shí)候.

(3) 經(jīng)過(guò)足夠長(zhǎng)時(shí)間后，可發(fā)現(xiàn)金星相對(duì)于地球的運(yùn)動(dòng)軌跡構(gòu)成了一個(gè)簡(jiǎn)單、規(guī)則的圖形，如圖2所示，從內(nèi)側(cè)向外側(cè)由若干層“5瓣形”組成.

為了方便讀者觀察，特將動(dòng)畫(huà)制作成視頻文件上傳至百度網(wǎng)盤(pán)，網(wǎng)址為“https://pan.baidu.com/s/1llqKNOYC5tm1k8Fptw89kg”，需要的讀者可以下載.

圖2

3 對(duì)行星逆行現(xiàn)象的進(jìn)一步研究

3.1 火星有逆行現(xiàn)象嗎？

金星是一顆內(nèi)行星，作為外行星的火星有逆行現(xiàn)象嗎？

可以通過(guò)GeoGebra來(lái)驗(yàn)證一下，根據(jù)前面查得的相關(guān)數(shù)據(jù)對(duì)這個(gè)動(dòng)畫(huà)作一些調(diào)整.

隱藏表示金星軌道的圓及表示金星的兩個(gè)點(diǎn)C、E．以A點(diǎn)為圓心作半徑為1.67的圓(火星的公轉(zhuǎn)半徑為1.67 AU)表示火星的軌道，在其上作一動(dòng)點(diǎn)F表示火星，設(shè)置其動(dòng)畫(huà)速度為0.5317(火星與地球的公轉(zhuǎn)角速度之比為0.5317).

在指令欄中輸入F-B+D，得到一個(gè)新的點(diǎn)G，用來(lái)表示不動(dòng)的地球(D點(diǎn))周?chē)慕鹦?，并在G點(diǎn)的右鍵菜單中設(shè)置跟蹤(Trace on).

右擊F點(diǎn)，在彈出的右鍵菜單中選擇“Animation On”，讓“火星”繞“太陽(yáng)”運(yùn)轉(zhuǎn)起來(lái)，運(yùn)行動(dòng)畫(huà)，一段時(shí)間后可得到類(lèi)似于圖3所示的軌跡，仔細(xì)觀察動(dòng)畫(huà)后可發(fā)現(xiàn)有一小段時(shí)間火星發(fā)生逆行，并且逆行都是發(fā)生在火星與地球相距較近的位置．運(yùn)行較長(zhǎng)時(shí)間后可發(fā)現(xiàn)火星相對(duì)于地心的運(yùn)動(dòng)軌跡不是一個(gè)簡(jiǎn)單規(guī)則的圖形，足夠長(zhǎng)時(shí)間后可發(fā)現(xiàn)火星幾乎可到達(dá)其與地球間距離為最小與最大所決定的環(huán)形區(qū)域的任一位置.

圖3

那么，所有的行星都會(huì)發(fā)生逆行嗎？什么條件下行星相對(duì)于地球的運(yùn)行軌跡是一個(gè)簡(jiǎn)單規(guī)則的圖形？所形成的簡(jiǎn)單圖形的“瓣數(shù)”由什么決定呢？

3.2 行星發(fā)生逆行的簡(jiǎn)單解釋

由于地球與除太陽(yáng)外的其他恒星相距都非常遙遠(yuǎn)，即使地球、恒星都在運(yùn)動(dòng)，以地心的視角來(lái)觀察時(shí)，天球上各個(gè)恒星(不含太陽(yáng))的位置在有限時(shí)間內(nèi)都是幾乎不變的.

人們常說(shuō)的“斗轉(zhuǎn)星移”是由于地球的自轉(zhuǎn)及公轉(zhuǎn)導(dǎo)致人們?cè)诘孛嫔嫌^察天球的視角方位發(fā)生變化而造成的.

由于太陽(yáng)系內(nèi)的行星離地球的距離相對(duì)其它恒星離地球的距離都小很多，不能當(dāng)作無(wú)限遠(yuǎn)．從地心視角觀察，行星在天球上的位置是不斷變化的，行進(jìn)的.

由GeoGebra做出的動(dòng)畫(huà)可以直觀看出，當(dāng)行星與地球相距比較遠(yuǎn)時(shí)，不會(huì)發(fā)生逆行，當(dāng)行星距地球較近時(shí)才會(huì)發(fā)生逆行.

3.2.1 內(nèi)行星逆行的簡(jiǎn)單解釋

圖4

行星與地球繞太陽(yáng)的公轉(zhuǎn)方向都是自西向東，地球的自轉(zhuǎn)方向也是自西向東，從北極上空看起來(lái)，地球的公轉(zhuǎn)與自轉(zhuǎn)方向都是逆時(shí)針?lè)较颍琜1]圖4就是大致從北極上空觀察行星與地球公轉(zhuǎn)的情況．[2]

對(duì)于內(nèi)行星，如圖4所示，當(dāng)行星相對(duì)于地球處于上合位置附近時(shí)，行星離地球較遠(yuǎn)，容易判斷出行星相對(duì)于地球的繞行方向?yàn)樽晕飨驏|(逆時(shí)針)，此為順行．[3]

當(dāng)行星相對(duì)于地球處于下合位置附近時(shí)，由于內(nèi)行星的公轉(zhuǎn)速度vV大于地球的公轉(zhuǎn)速度vE，可判斷出此時(shí)行星相對(duì)于地球的繞行方向?yàn)樽詵|向西(順時(shí)針)，發(fā)生了逆行.

圖5

3.2.2 外行星逆行的簡(jiǎn)單解釋

對(duì)于外行星，如圖5所示，當(dāng)行星相對(duì)于地球處于合日位置附近時(shí)，行星離地球較遠(yuǎn)，容易判斷出行星相對(duì)于地球的繞行方向?yàn)樽晕飨驏|(逆時(shí)針)，此為順行.

當(dāng)外行星相對(duì)于地球處于沖日位置附近時(shí)，由于外行星的公轉(zhuǎn)速度vM小于地球的公轉(zhuǎn)速度vE，可判斷出此時(shí)行星相對(duì)于地球的繞行方向?yàn)樽詵|向西(順時(shí)針)，發(fā)生了逆行.

圖6

需要說(shuō)明的是，這是在行星公轉(zhuǎn)軌道是圓的條件下得出的結(jié)論，那些軌道離心率比較大的小行星是否存在逆行現(xiàn)象還需進(jìn)一步分析.

3.3 金星每次逆行持續(xù)多長(zhǎng)時(shí)間?

如圖6所示，當(dāng)金星、地球與太陽(yáng)連線的夾角恰好為某一角度α，金星與地球的公轉(zhuǎn)速度沿垂直于它們連線方向的分速度vV1、vE1相等時(shí)，金星相對(duì)于地心的速度方向恰好指向地球，金星在天球上的運(yùn)行角速度恰為0，此時(shí)金星剛開(kāi)始逆行．而當(dāng)金星相對(duì)于地球位于此位置關(guān)于日地連線的對(duì)稱(chēng)位置時(shí)，金星相對(duì)于地球的速度方向背離地球，金星逆行恰好結(jié)束.

令rV、rE分別表示金星與地球的公轉(zhuǎn)軌道半徑，由圖6，根據(jù)正弦定理，有

(1)

據(jù)高中知識(shí)容易求得金星、地球的公轉(zhuǎn)速度大小分別為

(2)

據(jù)以上分析，有vV1=vE1，即

vVcos(α+θ)=vEcosθ.

(3)

由(1)～(3)式可解得

代入rV=0.72rE，可求得

θ≈28.72°；α=13.18°.

金星與地球繞太陽(yáng)公轉(zhuǎn)的相對(duì)角速度

金星逆行持續(xù)的時(shí)間為

代入相關(guān)的數(shù)據(jù)可求得t逆=42.76天.

網(wǎng)上查得最近3次金星逆行的時(shí)間分別為：2015年7月25日～2015年9月6日、2017年3月4日～2017年4月15日和2018年10月5日～11月16日，3次逆行持續(xù)的時(shí)間分別為42天、42天和43天．算出的結(jié)果與實(shí)際數(shù)據(jù)吻合得很好！

3.4 金星每隔多長(zhǎng)時(shí)間發(fā)生一次逆行

對(duì)于金星，代入相關(guān)數(shù)據(jù)，可得T=583.96天.

由最近3次金星逆行的時(shí)間求得間隔的時(shí)間分別為588天、580天，吻合得較好.存在一些誤差的原因是實(shí)際上金星與地球公轉(zhuǎn)軌道都不是圓，而是橢圓.

3.5 行星在天球上的軌跡的“瓣數(shù)”取決于什么?

可以得出，若沿圓軌道公轉(zhuǎn)的行星與地球的公轉(zhuǎn)周期之比不是無(wú)理數(shù)(非無(wú)理數(shù)一定可以用最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)表示)，觀察到的行星相對(duì)地心的運(yùn)動(dòng)軌跡是一個(gè)規(guī)則的形狀，有一定的周期．如果這個(gè)最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)的分子n與分母m都不太大，則軌跡的形狀比較簡(jiǎn)單，并且軌跡的“瓣數(shù)”N=|m-n|．這一點(diǎn)也可以用GeoGebra來(lái)進(jìn)行驗(yàn)證，感興趣的教師可以嘗試.

4 結(jié)語(yǔ)

利用GeoGebra經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)單的幾步操作就可以模擬出行星運(yùn)動(dòng)，在模擬出行星相對(duì)于地球的運(yùn)動(dòng)后，可以很容易理解行星逆行現(xiàn)象的成因、特點(diǎn)，進(jìn)而可以發(fā)現(xiàn)一些特別的規(guī)律.而這一切還不需要復(fù)雜高深的數(shù)學(xué)運(yùn)算.這樣的體驗(yàn)可以大大激發(fā)出學(xué)生學(xué)習(xí)物理的興趣和探索星空的勇氣．進(jìn)一步還可以引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)相關(guān)的天文知識(shí)，如：會(huì)合周期、凌日現(xiàn)象等等，也可以引導(dǎo)學(xué)生自己利用Geogebra去探索、模擬.

在中國(guó)大學(xué)慕課網(wǎng)上跟隨北京大學(xué)唐大仕老師系統(tǒng)學(xué)習(xí)了GeoGebra的教學(xué)應(yīng)用后，越來(lái)越感受到GeoGebra功能強(qiáng)大，非常適用于高中物理問(wèn)題的探索．唐大仕老師總結(jié)出利用GeoGebra探索問(wèn)題的一般模式： (1) 提出問(wèn)題； (2) 利用GeoGebra將問(wèn)題可視化； (3) 解決問(wèn)題； (4) 進(jìn)一步提出新的問(wèn)題．在實(shí)踐過(guò)程中發(fā)現(xiàn)確實(shí)如此，以探索行星逆行為例，本想僅模擬金星的逆行現(xiàn)象，沒(méi)想到竟然收獲了這么多的發(fā)現(xiàn).