蘇 俊 謝基偉 王思慧

(1. 江蘇省海安高級中學,江蘇 海安 226600； 2. 南京大學天文與空間科學學院，江蘇 南京 210023；3. 南京大學物理學院，江蘇 南京 210093)

近些年,從國際物理奧林匹克賽(IPHO),到亞洲物理奧林匹克競賽(APHO),到泛珠三角物理奧林匹克競賽暨中華名校邀請賽,再到全國中學生物理奧林匹克競賽,其中很多賽題來源于科研熱點,還有一些賽題由專業(yè)物理學術(shù)論文改編而成．賽題命題結(jié)合科研熱點,視角較為新穎,不拘泥于陳題改編．從物理科研背景中引出問題,理論聯(lián)系前沿,有利于物理科研創(chuàng)新人才的選拔.

2019年諾貝爾物理獎頒發(fā)給了兩個領(lǐng)域,分別授予詹姆斯·皮布爾斯教授,表彰他在物理宇宙學的理論貢獻;另一半由米歇爾·梅耶教授和迪迪埃·奎洛茲教授分享,他們第一次發(fā)現(xiàn)了一顆圍繞類太陽恒星運行的系外行星飛馬座51b,[2]開啟了人類對太陽系外行星與生命的探索.

根據(jù)exoplanet.eu官網(wǎng)統(tǒng)計,[3]至今人類已經(jīng)發(fā)現(xiàn)4000多顆系外行星．系外行星的主要搜尋方法有徑向速度法、凌星法、微引力透鏡法等．徑向速度法與凌星法是目前最主要的搜尋系外行星的方法．徑向速度法發(fā)現(xiàn)了約20%的系外行星;凌星法發(fā)現(xiàn)了超過75%的系外行星,這其中絕大部分是由開普勒空間望遠鏡發(fā)現(xiàn)的.

IPHO和APHO等物理競賽的賽題經(jīng)常涉及科研熱點.筆者嘗試用IPHO和APHO的試題的格式來介紹“系外行星的發(fā)現(xiàn)”． 一方面向中學生普及諾貝爾獎的最新發(fā)現(xiàn),另一方面豐富奧賽試題的命題模型.

本文分為以下3部分,前面兩部分分別討論徑向速度法和凌星法發(fā)現(xiàn)系外行星的基本原理．這兩部分內(nèi)容參考了一些科研論文和物理教育方面的論文．[2-5]最后一部分給出了相關(guān)問題的解答,供讀者參考.

1 徑向速度法

圖1

米歇爾·梅耶教授和迪迪?！た迤澖淌谠?995年利用徑向速度法第一次發(fā)現(xiàn)一顆圍繞類太陽恒星運行的系外行星．系外行星本身不發(fā)光,體積很小,且離地球較為遙遠,一般不容易直接觀測到．恒星與行星構(gòu)成兩體系統(tǒng),它們會繞共同的質(zhì)心運動．恒星圍繞質(zhì)心的運動,相對于地球有周期性變化的徑向速度,這個速度是恒星速度在地球與恒星連線方向上的分量．人們可以通過測量恒星相對于地球徑向運動產(chǎn)生的多普勒效應(yīng)來計算這個徑向速度．在下面的問題中,我們假設(shè)恒星—行星系統(tǒng)中只有一顆行星,且軌道均近似為圓周運動,不計恒星—行星系統(tǒng)質(zhì)心相對于地球的運動．如圖1,M為恒星,它到質(zhì)心距離為dM,繞質(zhì)心速度為vM,m為行星,它到質(zhì)心距離為dm,繞質(zhì)心速度為vm.為了示意,圖中夸大了質(zhì)心與恒星中心的距離．一般恒星質(zhì)量遠大于行星質(zhì)量(M?m),質(zhì)心C與恒星中心其實是非常接近的.

問題1:若地球上測得某靜止光源發(fā)出的Hα譜線波長為λ0,真空中的光速記作c,在一個恒星—行星系統(tǒng)中,地球上測得該恒星Hα譜線的波長為λ,計算當恒星靠近地球的徑向速度vr.

問題2:若恒星—行星雙星系統(tǒng)的軌道平面與我們的視線在同一個平面內(nèi),測得恒星Hα譜線最大波長為λmax,恒星譜線波長變化的周期為T,當恒星、行星、地球三者共線,且行星位于恒星與地球之間開始計時,寫出徑向速度vr隨時間t變化的表達式.

問題3:若已知恒星質(zhì)量M,恒星繞質(zhì)心速度為vM,軌道周期為T,計算行星的質(zhì)量m,假設(shè)M?m.

2 凌星法

當恒星—行星系統(tǒng)的軌道平面與連線夾角較小時,我們會看到行星會飛凌恒星的表面,這種現(xiàn)象稱為凌星．發(fā)生凌星時會遮擋恒星一部分光線,導致恒星的亮度會有一定的減弱,如圖2,恒星原亮度為L0,行星遮擋在恒星前方時亮度為L,凌星過程中各時刻為tA～tD.圖中夸大了這種遮擋效果,事實上亮度的變化是非常微弱的,一般不到1%．為了簡便起見,以下問題均只考慮圓軌道.

圖2

問題1: 已知行星軌道半徑為r,行星的半徑為Rp,恒星的半徑為Rs．(1) 若軌道平面與視線連線夾角為i,計算發(fā)生凌星現(xiàn)象需要滿足的條件; (2) 若我們不知道軌道平面夾角i,請計算系統(tǒng)發(fā)生凌星的概率.

問題2: 若測得恒星原來的亮度為L0,當行星路過恒星前方時,亮度最小值為L,已知恒星半徑為Rs,假設(shè)恒星與行星相距較遠,恒星光線認為是平行光,估算行星的半徑Rp.

問題3: 若行星遮擋過程中各時刻tA～tD均已知,并已知恒星半徑Rs,且軌道平面與視線連線夾角為0,計算行星速度vm.

問題4:若已知恒星的半徑Rs,行星的半徑Rp,軌道周期為T,軌道半徑r,軌道平面與視線的夾角為i,計算整個凌星現(xiàn)象持續(xù)的時間tT.

3 問題解答

3.1 徑向速度法問題解答

(1)

波長變短,頻率變高,發(fā)生藍移現(xiàn)象;同理,當恒星遠離地球時,頻率變低,發(fā)生紅移現(xiàn)象.

問題2: 雙星系統(tǒng)軌道平面與我們的視線方向共面時,不計質(zhì)心相對于地球的運動,測得的最大波長對應(yīng)著恒星相對于質(zhì)心的速度大小為

(2)

當從恒星、行星與地球三者共線,且行星在恒星地球之間開始計時,徑向速度大小可以表示為

(3)

即測得的徑向速度隨時間變化是正弦圖像.

問題3:設(shè)恒星到質(zhì)心的距離為dM,行星到質(zhì)心距離為dm,由開普勒第三定律可知

(4)

系統(tǒng)相對于質(zhì)心滿足動量守恒定律,有MdM=mdm,代入(4)式,

(5)

3.2 凌星法問題解答

問題1:行星軌道沿地球的視線方向投影距離為rsini,要發(fā)生凌星現(xiàn)象,必須要滿足:

|rsini|≤Rp+Rs.

(6)

系統(tǒng)發(fā)生凌星的概率為

(7)

(8)

問題3:從光變圖像圖2可知,行星的速度vm滿足2Rs=vm(tC-tA),則行星速度為

(9)

(tC-tA)也可以表示為(tD-tB).

圖3 從視線方向看恒星—行星系統(tǒng)(a);從側(cè)面看恒星—行星系統(tǒng)(b)

(10)

4 小結(jié)

本文主要描述了系外行星搜尋的2種主要方法:徑向速度法和凌星法,并按照IPHO和APHO的賽題格式進行命題．微引力透鏡的命題思路可以參照“2015年泛珠三角及中華名校物理奧林匹克邀請賽卷2第1題:系外行星的微引力透鏡效應(yīng)”．[1]搜尋系外行星與地外文明是當前的熱門科研課題,激發(fā)了人們對于外星文明的美好遐想,我們希望本文能夠?qū)Ω信d趣的師生有所幫助,也希望能拓寬物理資優(yōu)生的視野.