張 劉，張家坤，呂雪瑩，范國偉，章家保，滿益云

(1.吉林大學(xué) 儀器科學(xué)與電氣工程學(xué)院·長春·130061； 2.錢學(xué)森空間技術(shù)實(shí)驗(yàn)室·北京·100094)

0 引 言

星敏感器是一種以恒星為參照系,以星空為工作對(duì)象的高精度空間姿態(tài)敏感器[1]，具有定位精度高、質(zhì)量小、功耗低、高度自主，并且無姿態(tài)累積誤差等優(yōu)點(diǎn)[2]。但星敏感器在工作過程中會(huì)受到像平面主點(diǎn)、主距、傾斜與旋轉(zhuǎn)等多種誤差源的影響，這些誤差的耦合將使得星敏感器的在軌標(biāo)定工作變得極其困難，如何提高星敏感器的標(biāo)定精度成為科研人員的研究熱點(diǎn)。

國外關(guān)于星敏感器在軌標(biāo)定技術(shù)的研究起步較早，1981年，Shuster M D和Oh S D開創(chuàng)性地研究了敏感器安裝誤差的標(biāo)定，打破了星敏感器標(biāo)定只能在地面完成的壁壘[1]。2001年,Ju[3]提出基于星對(duì)角距的恒星檢校方法，該方法采用星對(duì)角距的正弦相等的原理對(duì)星敏感器的內(nèi)參數(shù)進(jìn)行了檢校[4]，有效地提高了星敏感器的標(biāo)定精度。2013年～2014年，Pal M[5-6]提出了兩種方法。第一種方法為自主標(biāo)定法，利用多幅星圖中的星點(diǎn)坐標(biāo)信息進(jìn)行標(biāo)定，第二種方法基于最小二乘法，利用赤經(jīng)赤緯星點(diǎn)信息對(duì)姿態(tài)和相機(jī)參數(shù)同時(shí)估計(jì)[1]。2015年，Zhou[7]利用最優(yōu)化理論對(duì)星敏感器光學(xué)畸變和光學(xué)參數(shù)進(jìn)行了多步標(biāo)定，其方法精度相較于最初的Samaan方法有很大提升。

國內(nèi)關(guān)于星敏感器在軌標(biāo)定技術(shù)的研究起步晚于國外，但近年來發(fā)展迅速。2008年，袁彥紅等[8]由最小二乘最優(yōu)估計(jì)法在軌標(biāo)定星敏感器星像點(diǎn)偏移和光學(xué)透鏡焦距變化,以最小二乘最優(yōu)估值為量測(cè), 用卡爾曼濾波算法設(shè)計(jì)了星敏感器在軌自主標(biāo)定模型,結(jié)果表明，該方法可準(zhǔn)確標(biāo)定星敏感器星像點(diǎn)偏移和透鏡焦距變化。2010年王躍鋼等[9]提出了捷聯(lián)慣導(dǎo)/星敏感器組合系統(tǒng)中對(duì)陀螺儀和星敏感器進(jìn)行在軌自標(biāo)定的方法,仿真結(jié)果表明,基于卡爾曼濾波的在軌自標(biāo)定方法能夠標(biāo)定出85%以上的陀螺儀隨機(jī)常值漂移和95%以上的星敏感器安裝誤差。2014年，魏新國等提出了針對(duì)星敏感器的內(nèi)外參數(shù)標(biāo)定法，其研究表明該方法可有效提高定姿精度[10]。2019年崔航等[11]通過繞陀螺儀三個(gè)敏感軸方向的姿態(tài)激勵(lì)實(shí)現(xiàn)對(duì)陀螺儀工具誤差以及初始對(duì)準(zhǔn)誤差和星慣安裝誤差的在線標(biāo)定，通過對(duì)慣性器件測(cè)量結(jié)果的修正，抑制導(dǎo)航誤差。仿真結(jié)果表明，在線標(biāo)定方法可以實(shí)現(xiàn)對(duì)上述誤差參數(shù)的在線標(biāo)定，具有一定的工程實(shí)用價(jià)值。

本文提出一種基于粒子群算法的星敏感器在軌標(biāo)定方法，與傳統(tǒng)標(biāo)定方法的優(yōu)勢(shì)在于它不需用陀螺對(duì)星敏感器進(jìn)行標(biāo)定，而是直接利用星敏感器像平面的坐標(biāo)來進(jìn)行標(biāo)定，減少了陀螺所帶來的誤差，有效地提高了標(biāo)定精度。

1 星敏感器標(biāo)定過程

1.1 星敏感器理想成像模型

星敏感器成像的理想模型是小孔成像模型[12]，在天球中，恒星發(fā)出的平行光通過星敏感器的光學(xué)鏡頭在其像平面上呈現(xiàn)一個(gè)光斑。星敏感器的成像模型如圖1所示：

圖1 星敏感器理想成像模型Fig.1 Ideal imaging model of star sensor

(1)

(2)

恒星在天球坐標(biāo)系上的赤經(jīng)赤緯為(α,δ)，恒星在天球坐標(biāo)系下的參考矢量ri為：

(3)

當(dāng)星敏感器無誤差時(shí),恒星在星敏感器坐標(biāo)系中的星光矢量為：

(4)

星敏感器在工作過程中會(huì)產(chǎn)生諸多誤差，主要分為像平面主點(diǎn)誤差、旋轉(zhuǎn)誤差、傾斜誤差與主距誤差，這些誤差會(huì)使星光矢量投影在CCD像平面中的坐標(biāo)發(fā)生誤差，進(jìn)而影響星敏感器的測(cè)量精度。當(dāng)星敏感器存在誤差時(shí)，星光在星敏感器坐標(biāo)系中的矢量為：

Wi=

(5)

其中(x0,y0,f0)為(xi,yi,fi)經(jīng)過星敏感器綜合誤差產(chǎn)生的偏移量。

1.2 星敏感器誤差模型

當(dāng)星敏感器含有主點(diǎn)、主距、傾斜與旋轉(zhuǎn)四種誤差時(shí)成像模型如下所示[13]：

(6)

(7)

(8)

其中：(x?,y?,z?)為真實(shí)像點(diǎn)在無誤差星敏感器坐標(biāo)系下的坐標(biāo)，η為星敏感器像平面傾斜的角度，設(shè)像平面繞單位矢量(a,b,0)傾斜，ψ為星敏感器像平面旋轉(zhuǎn)的角度，(x0,y0)為主點(diǎn)的偏移量，(x,y)為含有誤差的像平面的坐標(biāo)，(xnew,ynew)為校正后像點(diǎn)坐標(biāo)。

校正后的觀測(cè)矢量為：

(9)

已知觀測(cè)矢量bi與參考矢量ri，通過Quest算法可以計(jì)算出星敏感器三軸姿態(tài)角θ(俯仰角)、φ(滾轉(zhuǎn)角)、ψ(偏航角)計(jì)算精度可由式(10)求得。

(10)

1.3 Quest算法

幾乎所有基于矢量觀測(cè)的姿態(tài)確定問題都可以歸結(jié)為Wahba問題。在1965年，Wahba提出利用矢量觀測(cè)信息確定航天器的姿態(tài)問題，其核心是求解行列式為+1的最優(yōu)正交矩陣，構(gòu)造損失函數(shù)[14]

(11)

其中ai為非負(fù)的權(quán)重系數(shù)，ri是相應(yīng)的參考系中的單位矢量。利用矩陣跡的輪換不變性，整理式(11)可得：

將姿態(tài)矩陣A寫成四元數(shù)形式：

將上式代入得：tr(ABT)=tr(BTA)

(12)

式(12)可進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為：

Kqopt=λmaxqopt

(13)

由式(13)可知，最優(yōu)四元數(shù)可以表示為：

(14)

λmax可由方程(15)通過牛頓迭代法求出：

λ4+(κ+ξ)λ2-μλ+(κξ+μσ-d)=0

(15)

其中：κ=(tr(B))2-tr(adj(S))，ξ=(tr(B))2+ZTZ，μ=det(S)+ZTSZ,d=ZTS2Z，σ=tr(B)。

2 基于粒子群算法的標(biāo)定流程

2.1 粒子群算法原理

vil=wvil+c1r1(pil-xil)+c2r2(pgl-xil)

(15)

xil=xil+vil

(16)

式(15)中w是權(quán)重系數(shù)，c1,c2為加速常數(shù)，r1,r2為[0,1]內(nèi)的隨機(jī)值，式(15)中vil與xil分別是第i個(gè)粒子第l維的速度與位置。pil表示第i個(gè)粒子的個(gè)體極值中第l維的值，pgl表示全局最優(yōu)值中第l維的值。另外，考慮到粒子速度應(yīng)在合理范圍內(nèi)，分別可設(shè)定速度上限Vmax和速度下限-Vmax。在公式(15)中的第1部分為粒子“舊”速度部分；第2部分是“認(rèn)知”部分，表示粒子自身的思考；第3部分為“社會(huì)”部分，表示粒子之間的信息共享與合作[16]。

2.2 基于粒子群算法的標(biāo)定步驟

(1)已知在含有誤差的情況下星光在星敏感器像平面上的坐標(biāo)為(xi,yi)，i=1,2,3(以3顆星為例)。估計(jì)星敏感器含有誤差的像點(diǎn)坐標(biāo)與無誤差時(shí)像點(diǎn)坐標(biāo)差值的范圍，設(shè)置相應(yīng)參數(shù)并初始化種群。

(2)通過初始化的種群對(duì)(xi,yi)進(jìn)行誤差補(bǔ)償，得到新的像點(diǎn)坐標(biāo)(x′i,y′i)，i=1,2,3,在此基礎(chǔ)上得出校正過后的觀測(cè)矢量b′i，帶入Quest算法得出三軸姿態(tài)角。將解算出的姿態(tài)角帶入目標(biāo)函數(shù)F中，計(jì)算F的值。目標(biāo)函數(shù)為：

(17)

其中：θ′、φ′、ψ′為矯正后的姿態(tài)角，θ、φ、ψ為沒有誤差時(shí)的姿態(tài)角。

(3)分別將粒子當(dāng)前的F與自身最優(yōu)值和全局最優(yōu)值進(jìn)行比較，如果粒子當(dāng)前值的F比自身最優(yōu)值更優(yōu)，則粒子當(dāng)前值替代成為新的自身最優(yōu)值，類似的，粒子當(dāng)前值的F比全局最優(yōu)值更優(yōu)，則粒子當(dāng)前值替代成為新的全局最優(yōu)值。按照公式(15)和公式(16)更新粒子的位置和速度，產(chǎn)生新的種群。

(4)若F小于給定精度或達(dá)到最大迭代次數(shù)，則程序停止，得出F的最小值，此時(shí)的(x′i,y′i)為在此誤差范圍內(nèi)，最接近無誤差的像點(diǎn)坐標(biāo)。

(5)根據(jù)含誤差的觀測(cè)矢量與校正后的觀測(cè)矢量求出誤差像平面與虛擬像平面的姿態(tài)矩陣。

3 仿真試驗(yàn)及結(jié)果分析

令天球坐標(biāo)系X軸、Y軸、Z軸均旋轉(zhuǎn)60°與星敏坐標(biāo)系重合，則無誤差時(shí)參考矢量bi為：

給星敏感器加表1所示誤差：

表1 誤差分布

含有誤差后的觀測(cè)矢量b′i為：

此時(shí)的三軸姿態(tài)角為：

θ=60.008333972371750φ=60.001596402881255ψ=59.996040471943220

利用粒子群優(yōu)化算法進(jìn)行標(biāo)定得出歐拉角，連續(xù)運(yùn)行5次，結(jié)果如表2所示：

表2 標(biāo)定結(jié)果

由表2可知，當(dāng)星敏感器坐標(biāo)系與天球坐標(biāo)系之間的三軸姿態(tài)角均為60°，標(biāo)定精度達(dá)到10-10角秒量級(jí)，且程序運(yùn)行穩(wěn)定。

五次標(biāo)定過程中，星敏感器誤差像平面與虛擬像平面之間的姿態(tài)矩陣分別為：

令天球坐標(biāo)系X軸、Y軸、Z軸均旋轉(zhuǎn)45°與星敏坐標(biāo)系重合，給星敏感器加表3所示誤差：

表3 誤差分布

利用粒子群優(yōu)化算法進(jìn)行標(biāo)定得出歐拉角，連續(xù)運(yùn)行5次，結(jié)果如表4所示：

表4 標(biāo)定結(jié)果

由表4可知，當(dāng)星敏感器坐標(biāo)系與天球坐標(biāo)系之間的三軸姿態(tài)角均為45°，標(biāo)定精度達(dá)到10-10角秒量級(jí)，且程序運(yùn)行穩(wěn)定。

五次標(biāo)定過程中，星敏感器誤差像平面與虛擬像平面之間的姿態(tài)矩陣分別為：

綜上所述，當(dāng)星敏感器坐標(biāo)系與天球坐標(biāo)系之間的三軸姿態(tài)角為不同角度時(shí)，均可精確標(biāo)定三軸姿態(tài)角，精度可達(dá)10-10角秒。

4 結(jié) 論

提高星敏感器在軌標(biāo)定的精度是當(dāng)下的研究熱點(diǎn)，本文針對(duì)這一問題提出了一種基于粒子群算法的星敏感器在軌標(biāo)定方法，同時(shí)詳細(xì)闡述了該標(biāo)定流程。經(jīng)仿真可知，該方法提高了星敏感器的標(biāo)定的精度，精度可達(dá)10-10角秒，具有較大的工程實(shí)用價(jià)值。但本文未考慮其它誤差源，比如星敏感器鏡頭畸變、溫度等。因此后續(xù)將研究關(guān)于鏡頭畸變與溫度對(duì)星敏感器標(biāo)定精度的影響。