張 燕，李永宏

(1. 運城學(xué)院 工科實驗實訓(xùn)中心；2. 運城學(xué)院 物理與電子工程系，山西 運城 044000)

引言

“弦振動的研究”實驗一直是高等學(xué)校普通物理實驗中的基礎(chǔ)實驗之一[1-3]。該實驗可以幫助學(xué)生了解波的傳播規(guī)律，加深理解振動與波的概念，同時通過觀察認(rèn)識干涉的一種特殊形式——駐波[4，5]。本文對弦振動形成駐波實驗測量的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析研究，與以往文獻(xiàn)不同的是：運用了SPSS軟件對測量數(shù)據(jù)進(jìn)行相關(guān)性、顯著性檢驗。一般物理實驗教學(xué)和物理科研工作者缺乏相關(guān)數(shù)理統(tǒng)計的基本知識，使用統(tǒng)計軟件進(jìn)行多因素方差分析在經(jīng)濟(jì)和管理模型預(yù)測領(lǐng)域用得較多，物理科研工作者常用的數(shù)據(jù)處理軟件有EXCEL、ORIGIN等，但是這兩個軟件都缺少對數(shù)據(jù)的顯著性檢驗功能，而SPSS軟件功能多，可以在方差分析的同時，方便地解決數(shù)據(jù)的相關(guān)性、顯著性檢驗的問題。

本文對大學(xué)物理實驗中“弦振動的研究”實驗進(jìn)行了重新設(shè)計，與以往的實驗內(nèi)容：即固定其中一個量不變，改變另外一個量來測量的振動波長不同。新的實驗內(nèi)容是：弦線所受張力、振動頻率同時變動時、測量振動波長，即三個量同時變化，記錄測量數(shù)據(jù)。再利用SPSS軟件對測量數(shù)據(jù)進(jìn)行多重線性回歸分析，對SPSS統(tǒng)計軟件輸出結(jié)果進(jìn)行討論；借助于MATLAB軟件對設(shè)計實驗中弦線所受張力、振動頻率和波長的測量數(shù)據(jù)進(jìn)行了可視化展示，進(jìn)一步描述了弦振動實驗中弦線所受張力、振動頻率和波長三個量之間的空間動態(tài)關(guān)系，使復(fù)雜得多組實驗數(shù)據(jù)所表述的物理規(guī)律更清晰[6]。

1. 原理

(1)

弦線上的波長λ利用駐波形成的原理測量，當(dāng)兩個振幅和頻率相同的相干波在同一直線上相向傳播時，其所疊加而成的波稱為駐波，一維駐波是波干涉中的一種特殊情形。在弦線上出現(xiàn)許多靜止點，稱為駐波的波節(jié)。相鄰兩波節(jié)間的距離為半個波長，當(dāng)長度為l的弦上有n個半波區(qū)，則波長λ=2l/n，其中n為任意正整數(shù)[7，8]。

現(xiàn)在采用均勻固定弦振動儀，使實驗操作簡化,駐波現(xiàn)象更明顯。本實驗采用FD-SWE-II型弦線上駐波實驗儀，弦線的一端系在能做水平方向振動的、可調(diào)頻率數(shù)顯機(jī)械振動源的振動簧片上，另一端通過定滑輪懸掛一砝碼托；若所懸掛的砝碼(含砝碼托)的質(zhì)量為m，張力F=mg。當(dāng)振動源振動時，弦線上形成向右傳播的橫波；當(dāng)波傳播到可動刀口與弦線相交點時，由于弦線在該點受到刀口兩壁阻擋而不能振動，波在該切點被反射形成了向左傳播的反射波，此時傳播方向相反的這兩列波相互疊加即形成駐波。

2. 實驗設(shè)計及數(shù)據(jù)處理

實驗選用直徑為0.35mm的漆包銅線，機(jī)械振動源的頻率范圍是0～200Hz(可連續(xù)調(diào)頻)。弦線線密度ρ=0.0012kg/m,運城市的重力加速度公認(rèn)值為g=9.7944m/s2。

設(shè)計實驗研究三個量之間的內(nèi)在規(guī)律：弦線所受的張力F由掛在弦線一端的砝碼及砝碼托的重力產(chǎn)生,以25g砝碼為初始質(zhì)量,依次增加25g直到300g為止；調(diào)節(jié)駐波實驗儀上的頻率按鈕，以25Hz為起點，當(dāng)砝碼依次增加25g時，頻率依次增加5Hz，同時調(diào)節(jié)相應(yīng)的L,使弦線上出現(xiàn)n=2和n=3兩個穩(wěn)定的駐波段。記錄相應(yīng)的F、L、λ、f值,如表1所示。由于駐波實驗儀上的標(biāo)尺長度不能滿足測量頻率小于30赫茲和張力小于0.86牛頓時的三個半波長長度，因此用兩個半波長的長度計算λ。

表1 張力與頻率同時變化時波長的測量

2.1 利用SPSS軟件進(jìn)行多元回歸分析

表2 模型擬合度

從表2的輸出結(jié)果可以看出，復(fù)相關(guān)系數(shù)R=0.921，決定系數(shù)R2=0.848，經(jīng)調(diào)整的判定系數(shù)AdjustedR2=0.81，在取值范圍[0,1]內(nèi)，說明波長λ的變異中有是由張力F和頻率f引起的，且模型擬合度較好，表明波長λ、張力F和頻率f之間的直線性相關(guān)程度密切。

表3 方差分析

表3顯示了模型的方差分析結(jié)果。從表中可以看出，模型的F統(tǒng)計量的觀察值為22.281，統(tǒng)計檢驗的相伴性概率Sig為p=0.001(p<0.01)，顯著性遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于規(guī)定的置信度0.01，所以回歸是高度顯著(在0.01水平上顯著),即橫波的波長受張力和頻率的影響顯著，可以由不同張力和頻率的樣本值來推測橫波的波長，它們所建立的直線性關(guān)系回歸系數(shù)存在，且表明回歸方程較好，回歸方程具有統(tǒng)計學(xué)意義。

表4 相關(guān)分析

由表4相關(guān)分析結(jié)果VIF值越大，顯示共線性越嚴(yán)重．一般判斷：當(dāng)VIF<10時，不存在多重共線性；當(dāng)10≤VIF<100時，出現(xiàn)較強(qiáng)的多重共線性；當(dāng)VIF≥100時，存在嚴(yán)重多重共線性[12]。

因此得出標(biāo)準(zhǔn)化回歸方程：

λ=1.993F-2.893f+e

(2)

而在理論中將公式(1)進(jìn)行對數(shù)處理得到公式(3)，由公式(3)看出波長λ、張力F和頻率f即三個變量理論上存在多重線性關(guān)系，那么以上利用SPSS軟件進(jìn)行的多元回歸分析得到的標(biāo)準(zhǔn)化回歸方程的確驗證了這一多重線性關(guān)系。

(3)

圖1 波長、頻率和張力動態(tài)曲線擬合

2.2 利用MATLAB軟件對波長、頻率和張力三個量進(jìn)行空間動態(tài)曲線擬合

表1的數(shù)據(jù)中波長、張力和頻率是同維向量，所以利用MATLAB軟件可以繪制出波長、張力和頻率對應(yīng)的一條三維曲線，如圖1所示。

由擬合圖形象展示波長、張力和頻率三個變量之間呈空間動態(tài)線性規(guī)律。以上研究結(jié)果顯示各測量樣本的正態(tài)分布假設(shè)成立；設(shè)計實驗中弦線所受張力、振動頻率和波長的動態(tài)可視化展示說明三者之間存在空間線性關(guān)系。

3. 總結(jié)

本文以普通物理實驗中的經(jīng)典實驗之一“弦振動的研究”實驗為例，采用SPSS統(tǒng)計軟件對實驗測量數(shù)據(jù)進(jìn)行了相關(guān)分析，對數(shù)據(jù)輸出結(jié)果進(jìn)行了描述，包括相關(guān)系數(shù)、決定系數(shù)、方差以及F顯著性的分析結(jié)果，得出波長λ、張力F和頻率f三個量之間標(biāo)準(zhǔn)化回歸方程；進(jìn)一步通過MATLAB軟件對波長、頻率和張力三個量進(jìn)行動態(tài)曲線擬合，結(jié)果驗證三個變量呈線性關(guān)系。本文通過SPSS統(tǒng)計分析和MATLAB軟件曲線擬合使檢驗實驗數(shù)據(jù)更簡便。另外設(shè)計實驗還存在不足之處，本文實驗中三個變量進(jìn)行了等距變化，即張力F和頻率f的變化成等差數(shù)列變化時，波長λ的測量值變化，沒有進(jìn)行非等距實驗數(shù)據(jù)測量，有待進(jìn)一步完善。