安徽省亳州市譙城區(qū)譙城中學(xué) 王廣義

全等三角形的判斷無(wú)外乎SSS（邊邊邊）、SAS（邊角邊）、ASA（角邊角）、AAS（角角邊）和HL（斜邊+直角邊）五種，針對(duì)不同的三角形，在證明時(shí)要能分析題干中所隱含的條件，學(xué)會(huì)構(gòu)造三角形來(lái)完成證明。下面就構(gòu)造三角形的幾種方法作簡(jiǎn)要介紹。

一、截長(zhǎng)補(bǔ)短

這是全等三角形證明中用于證明線段數(shù)量關(guān)系最為常用的方法?！敖亻L(zhǎng)”一般是過(guò)某一點(diǎn)作長(zhǎng)邊的垂線，另一種則是在長(zhǎng)邊上截取一條和某一短邊相同的線段。而“補(bǔ)短”一般是通過(guò)延長(zhǎng)短邊或旋轉(zhuǎn)而將兩條短邊合并，以便于證明。

例1：如圖1，在△ABC中，∠ABC=60°，AD、CE分別平分∠BAC、∠ACB。求證：AC=AE+CD。

解析：AC是一條長(zhǎng)線，而AE和CD是兩條線段，由此可考慮利用“截長(zhǎng)”的方法，先在AC上截取一段AF，使其和AE相等（如圖2），那么，剩下的就要考慮如何證明CF=CD，即要證明△ODC≌△OFC。觀察兩個(gè)三角形只有一條公共邊，即OC。如果能證明∠3= ∠4，∠7= ∠8，即可用ASA（角邊角）證明，回歸題干，根據(jù)AD平分∠ABC，即可得到∠1=∠2。而AE=AF，AO=AO，故而可證明△AEO≌△AFO，也就可得到∠5=∠6。由∠ABC=60°，可推導(dǎo)∠BAC+∠BCA=180°-∠ABC=180° -60° =120°。又因CE平分∠ACB，即可證明∠3= ∠4。 而∠5= ∠3+ ∠2= ∠BAC+ ∠BCA， 可 知∠5=60°?！?=∠8=60°，∠7=180°-∠5-∠6=180°-60°-60°=60°，繼而可得到∠7=∠8。由此即可完成證明。

無(wú)論是“截長(zhǎng)”還是“補(bǔ)短”，在證明過(guò)程中都要學(xué)會(huì)觀察圖形，根據(jù)圖形完成構(gòu)造。同時(shí)，要充分利用好題干中的“已知”，構(gòu)造三角形后，要從“未知”出發(fā)來(lái)思考通過(guò)“已知”條件可以得到什么，如何證明。

二、割補(bǔ)構(gòu)造

“割補(bǔ)”其實(shí)就是根據(jù)圖形，將“大”圖形進(jìn)行“割”，即利用平行線、角平分線或中位線等將“大”圖“割”去一部分，尋找已知圖形和構(gòu)造圖形之間的全等條件進(jìn)行求證。

例2：如圖3，在四邊形ABCD中，已知BD平分∠ABC，∠A+∠C=180°。求證：AD=CD。

解析：觀察圖形發(fā)現(xiàn)，△ABD和△CBD是完全不可能全等的，且△CBD的面積明顯比△ABD要大，而題干中給出BD平分∠ABC，∠A+∠C=180°的條件，若能通過(guò)割補(bǔ)△CBD而構(gòu)造一個(gè)和△ABD全等的三角形，問(wèn)題即可得到解決。在BC上截取BE=BA，連接DE，得到圖4。由∠1=∠2，AD=BE，BD=BD，即可證明△ABD≌△EBD，從而得知AD=ED，∠A= ∠3。題 干 中 給 出∠A+ ∠C=180 °， 可 得∠3+ ∠C=180 °。 而∠3+∠4=180°，等量代換即可得到∠C=∠4，可推導(dǎo)CD=DE，由此可論證AD=CD。

三、補(bǔ)全圖形

根據(jù)題干觀察圖形，若圖中圖形出現(xiàn)“缺失”，可通過(guò)“補(bǔ)全”圖形來(lái)構(gòu)造兩個(gè)全等的三角形進(jìn)行證明。

例3： 如 圖5， 在△ABC中，AC=BC， ∠C=90 °，BD為∠ABC的平分線。若A點(diǎn)到直線BD的距離AD為a，求BE的長(zhǎng)。

解析：要求BE的長(zhǎng)，而題干中只給出AD的長(zhǎng)，兩者之間沒(méi)有關(guān)聯(lián)性。觀察圖形，若延長(zhǎng)AD、BC交于F，即可得到圖6，若能證明△AFC≌△BEC，即可得到BE=AF，但需要考慮AD和DF之間是否存在數(shù)量關(guān)系，再觀察圖發(fā)現(xiàn)，若能證明ABD≌△FBD，即可得到FD=AD=a，即AF=2a。如此，再根據(jù)題干，先利用AAS 證明△AFC≌△BEC，推導(dǎo)出FD=AD=a，即AF=2a。同樣，利用AAS證明ABD≌△FBD，即可求證。

在全等三角形的學(xué)習(xí)過(guò)程中，一定要掌握五大判定定理，要熟悉每一種定理的條件，結(jié)合圖形思考已知條件是什么，還差什么條件，根據(jù)所差條件觀察圖形，完成構(gòu)造。當(dāng)然，構(gòu)造三角形來(lái)完成證明的方法很多，最為關(guān)鍵的是，看到圖形后，要結(jié)合題干進(jìn)行分析。如兩個(gè)圖形之間已經(jīng)有了兩個(gè)條件（兩條對(duì)應(yīng)邊已經(jīng)相等），此時(shí)只需要找到另一個(gè)條件（兩邊的夾角），若圖形中沒(méi)有這一交角，則可進(jìn)行構(gòu)造。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，應(yīng)多引導(dǎo)學(xué)生展開(kāi)針對(duì)性練習(xí)，熟悉不同類(lèi)型圖形的構(gòu)造方法，這樣才能讓學(xué)生快速求證。