四川省攀枝花市老年科技工作者協(xié)會 張喜安

一、黑格爾的無限小定義

1.準(zhǔn)備

為了引入黑格爾的無限小定義，我們必須在理論上做一些準(zhǔn)備工作，在我的論文“康托集合論存在的矛盾”和“超實集合論”中提出了超實變量、超實數(shù)、超實數(shù)點和超實函數(shù)的概念，這些概念將為黑格爾無限小定義的引入提供幫助，另一方面，因為黑格爾的無限小定義反映了無限小的本質(zhì)，而這也為超實函數(shù)理論提供了重要的理論上的根據(jù)，為此，我們將超實變量、超實數(shù)、超實數(shù)點和超實函數(shù)的概念簡單介紹如下：

超實變量、超實數(shù)、超實數(shù)點和超實函數(shù)的定義：如果有實變量y和x，則有超實變量Y=y+dy和X=x+dx。超實變量所對應(yīng)的數(shù)則為超實數(shù)，所對應(yīng)的點則為超實數(shù)點，所對應(yīng)的函數(shù)則為超實函數(shù)。上式中的實變量x表示的是超實數(shù)點到原點的距離，dx表示的是超實數(shù)點所具有的無限小長度，它小于任意正實數(shù)，但是不等于0，并且遵守算術(shù)公理。這里要特別注意的是，無限小量dx和經(jīng)典微積分中的微分概念有本質(zhì)的區(qū)別。如果有實函數(shù)y=f（x），則有超實函數(shù)Y=y+dy=f（X）=f（x+dx），于是有dy=f（x+dx）-f（x）。請注意，這里的dy表示y軸上的點所具有的無限小長度，dx表示x軸上的點所具有的無限小長度。

這里要特別指出的是，超實變量X=x+dx表示的是客觀實際存在的變量，實變量x和超實變量X=x+dx比較，是客觀實際存在的變量X=x+dx去掉dx而得到的變量，而這就是失真，就是錯誤。因此從超實變量的角度看，使用實變量x表示客觀實際存在的變量就是錯誤的，至少是存在問題的。同樣的，超實函數(shù)Y=f（x+dx）表示的才是客觀實際存在的函數(shù)，而實函數(shù)y=f（x）是超實函數(shù)Y=f（x+dx）去掉dx而得到的函數(shù)，這就是失真。因此，從超實函數(shù)的角度看，使用實函數(shù)表示客觀實際存在的函數(shù)就是錯誤的，至少是存在問題的。

2.黑格爾的無限小定義

黑格爾是德國19 世紀(jì)著名的唯心主義哲學(xué)家，他對辯證法有卓越的貢獻(xiàn)，而黑格爾關(guān)于無限小的定義就是黑格爾使用辯證法對數(shù)學(xué)所作的重要貢獻(xiàn)?，F(xiàn)在將黑格爾的無限小定義引述如下：

黑格爾的無限小定義：量所具有的質(zhì)的方面的量的規(guī)定性就是無限小。[5]

對于上面的黑格爾的無限小定義，了解辯證法的同志可能已經(jīng)理解了它的含義，但是，我還要根據(jù)個人的理解給出如下的解釋，如果有不當(dāng)之處請批評指正。

上面黑格爾的無限小定義中提到的量所具有的質(zhì)的方面，指的是量和質(zhì)是辯證統(tǒng)一的關(guān)系，量具有質(zhì)的方面，是辯證法的性質(zhì)所決定，例如，陰和陽是辯證統(tǒng)一的關(guān)系，因此陽中有陰，陰中有陽，這就是關(guān)于量具有質(zhì)的方面的解釋。關(guān)于質(zhì)的量的規(guī)定性指的是，任意一個事物都具有確定的質(zhì)，當(dāng)與這個質(zhì)對應(yīng)的量在一定的范圍內(nèi)變化時，這個事物的質(zhì)保持不變，但是當(dāng)這個量的變化超出一定的范圍，則與其對應(yīng)的質(zhì)就發(fā)生了變化，與這個質(zhì)對應(yīng)的事物就變?yōu)榱硗庖环N事物了。例如，水在0°到100°以內(nèi)變化時，水以及它的性質(zhì)都保持不變，如果溫度超出0°到100°的范圍，那么水以及它的性質(zhì)也就不存在了。這就是對于質(zhì)的量的規(guī)定性的解釋。

上面一節(jié)的超實變量的表達(dá)式為X=x+dx，我個人的理解，黑格爾的無限小定義就是給上面的超實變量的無限小量dx所作的定義。這里的超實變量X和黑格爾的無限小定義中的量指的都是客觀實際存在的變量。超實變量X的存在和變化的根據(jù)就是它的質(zhì)的方面的存在和變化，如果它的質(zhì)的方面存在，它就存在，如果它的質(zhì)的方面變化了，它就不存在了，那么超實變量的這一個值就變?yōu)榱硗獾囊粋€值了。而超實變量公式中的無限小量dx就是量的質(zhì)的方面的量的規(guī)定性，也就是說，無限小量dx在一定的范圍內(nèi)變化，則量和它的質(zhì)的方面就保持不變，如果無限小量dx的變化超出了一定的范圍，則量的質(zhì)的方面和量本身就發(fā)生了變化，則量就從這一個值變?yōu)榱硗獾囊粋€值了。從以上分析中可以看出，黑格爾給無限小量dx所作的定義，指出了無限小量dx就是超實變量X存在和變化的根據(jù)，同時也就指出了無限小量dx的本質(zhì)。值得注意的是，黑格爾在1812 年出版的邏輯學(xué)上冊中就給出了上面的無限小定義，但是，一直沒有引起數(shù)學(xué)界的注意，而且距離現(xiàn)在已經(jīng)有200 多年了?，F(xiàn)在看來，黑格爾的無限小定義，不僅是他對數(shù)學(xué)的卓越貢獻(xiàn)，而且在現(xiàn)在還具有重要的意義。

二、根據(jù)黑格爾的無限小定義看微積分存在的問題

1.微積分使用實數(shù)表示變量存在的問題

為了指出微積分使用實數(shù)表示變量存在的問題，現(xiàn)將同濟大學(xué)數(shù)學(xué)教研室主編的高等數(shù)學(xué)教材中的兩段關(guān)于變量的概念引述如下：“在觀察自然現(xiàn)象或技術(shù)過程中，常常會遇到各種不同的量，其中有的量在過程中不起變化，也就是保持一定的數(shù)值，這種量叫常量；還有一些量在過程中是變化著的，也就是可以取不同的數(shù)值，這種量叫變量，設(shè)變量x所取數(shù)值的全體組成數(shù)集M，那未變量x也可看作是表示數(shù)集M中任何元素的符號。”這個定義可以代表微積分使用實數(shù)表示變量的觀點，如果這個定義存在問題，則表明微積分使用實數(shù)表示變量存在問題。

美國著名數(shù)學(xué)家魯濱遜在他的名著《非標(biāo)準(zhǔn)分析》中，使用數(shù)理邏輯的方法證明了無限小數(shù)的存在，并且指出“在實數(shù)之后，下一個十分自然的步驟，即引入無限小，竟被完全忽略了……”

我想提醒的是，作為數(shù)學(xué)工作者，應(yīng)當(dāng)時刻關(guān)注數(shù)學(xué)的發(fā)展，對于魯濱遜證明了無限小數(shù)的存在之后，為什么不想一想，再使用實數(shù)表示變量是否存在問題？如果從黑格爾的無限小定義的觀點來看，使用實數(shù)來表示變量確實存在問題。上述的同濟大學(xué)數(shù)學(xué)教研室主編的高等數(shù)學(xué)的兩段關(guān)于變量的定義中，使用實數(shù)表示變量的觀點，存在一個十分明顯的問題是，沒有指出變量變化的原因是什么，變量變化的根據(jù)是什么，變量變化的本質(zhì)是什么，只是對變量的現(xiàn)象作了描述，而沒有指出變量的本質(zhì)。而黑格爾的無限小定義中的無限小量就是變量變化的原因和根據(jù)。所以同濟大學(xué)主編的高等數(shù)學(xué)中關(guān)于使用實數(shù)來表示變量，沒有反應(yīng)變量的本質(zhì)，因此，從黑格爾的無限小定義的觀點來看，使用實數(shù)來表示變量是不符合客觀事實的，因此也就是錯誤的，至少是存在問題的，這是萊布尼茨微積分和經(jīng)典微積分都存在的問題。根據(jù)唯物辯證法，事物的變化存在兩個階段，一個是量的變化的階段，另一個是質(zhì)的變化的階段，即當(dāng)量的變化超出一定的范圍就引起質(zhì)的變化。但是無論客觀事物處于哪種變化階段，都包含著質(zhì)的變化，因此，事物的變化包括量的變化，絕不是單純的數(shù)量的大小的變化。而同濟大學(xué)數(shù)學(xué)教研室主編的高等數(shù)學(xué)關(guān)于變量的概念則認(rèn)為，量的變化只是單純的數(shù)量大小的變化，而不包含質(zhì)的變化，這是違背上述唯物辯證法的形而上學(xué)的觀點。相反，黑格爾的無限小定義指出，量的變化是因為量所具有的質(zhì)的方面的變化而發(fā)生的變化，也就是說，量的變化也包含著質(zhì)的變化，因此，黑格爾的無限小定義的觀點和上述的唯物辯證法的觀點是一致的。如此可見，微積分使用實數(shù)表示變量的觀點是形而上學(xué)的觀點在數(shù)學(xué)上的反應(yīng)。

2.經(jīng)典微積分的無窮小定義存在的問題

這里特別要指出的是，經(jīng)典微積分關(guān)于無窮小的定義，只是在實數(shù)的范圍內(nèi)來定義無窮小，相反，黑格爾所定義的無限小dx則是實數(shù)之外的新數(shù)。而且經(jīng)典微積分的無窮小定義沒有指出量的變化中也包含著質(zhì)的變化，更沒有指出變量所以變化的原因和根據(jù)，因此它的觀點是和微積分的形而上學(xué)的變量的觀點是完全一致的。因此，從黑格爾的無限小定義的觀點看，經(jīng)典微積分的無窮小定義也是錯誤的，至少是存在問題的。

3.經(jīng)典微積分的導(dǎo)數(shù)定義存在的問題