李正洋，趙 軍，彭其淵

(1. 西南交通大學(xué) 交通運(yùn)輸與物流學(xué)院，四川 成都 611756；2. 西南交通大學(xué) 綜合交通運(yùn)輸智能化國家地方聯(lián)合工程實(shí)驗(yàn)室，四川 成都 611756)

城市軌道交通線路的列車交路計(jì)劃主要規(guī)定了該線路在給定時(shí)段所運(yùn)營的列車交路條數(shù)、各交路的折返站、列車編組及相應(yīng)的開行頻率等重要技術(shù)參數(shù)，是城市軌道交通線路行車組織的基礎(chǔ)性計(jì)劃。在設(shè)計(jì)一條新建線路或調(diào)整一條運(yùn)營線路的行車組織計(jì)劃時(shí)，首要工作是確定該線路在給定時(shí)段的列車交路計(jì)劃，以為后續(xù)全日行車計(jì)劃編制、列車運(yùn)行圖編制及運(yùn)力資源配置等提供依據(jù)?？茖W(xué)合理地編制列車交路計(jì)劃，對于提高城市軌道交通線路的行車組織效率、降低企業(yè)運(yùn)營成本、增加乘客出行滿意度具有重要作用。

目前，采用單一全程大交路，并根據(jù)最大區(qū)間斷面客流量確定列車編組與開行頻率仍是現(xiàn)場常用的城市軌道交通線路列車交路計(jì)劃編制方法。在此方法下，線路上各區(qū)間輸送能力相同。但該方法未考慮到客流需求的空間分布不均衡性，可能導(dǎo)致線路上部分區(qū)間輸送能力浪費(fèi)，部分區(qū)間輸送能力緊張。針對此問題，一種常用的解決辦法是采用多交路多編組的列車交路模式，即線路上運(yùn)營多條列車交路，不同交路還可采用不同的列車編組。工程實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)表明，該模式可使城市軌道交通線路上的不同區(qū)間配備不同的輸送能力，使得線路的輸送能力在空間上更加匹配客流需求，從而有效降低運(yùn)營企業(yè)成本和乘客出行時(shí)間成本。

國內(nèi)外對具有多交路或多編組的公共交通線路的交路設(shè)計(jì)問題開展了一定研究工作。國外針對公交線路的相關(guān)研究主要聚焦于大小交路模式下公交時(shí)刻表優(yōu)化[1-2]及小交路折返點(diǎn)與發(fā)車頻率優(yōu)化[3-5]。針對城市軌道交通線路，Sun等[6]取消全程大交路存在的假設(shè)，提出了具有多交路單編組列車交路設(shè)計(jì)問題的非線性規(guī)劃模型；Ding等[7]考慮高峰小時(shí)線路負(fù)荷，提出了大小交路單編組問題的非線性規(guī)劃模型。國內(nèi)研究主要集中于城市軌道交通線路的大小列車交路設(shè)計(jì)問題。王媛媛等[8]以乘客出行時(shí)間成本與企業(yè)經(jīng)營成本最小為目標(biāo)，建立了大小交路單編組問題的非線性規(guī)劃模型；許得杰等[9]以乘客等待時(shí)間與企業(yè)運(yùn)營成本最小為目標(biāo)，建立了大小交路多編組問題的優(yōu)化模型；史芮嘉等[10]考慮線路的輸送能力利用均衡性，以輸送能力利用率最大、上線車組數(shù)和乘客出行費(fèi)用最小為目標(biāo)，建立了大小交路多編組問題的非線性規(guī)劃模型。此外，程婕等[11]研究了多交路單編組問題，以快速車底周轉(zhuǎn)和換乘客流最少為目標(biāo)，提出了混合整數(shù)規(guī)劃模型；李得偉等[12]研究了Y型線路的多交路單編組列車交路問題，以企業(yè)成本和乘客成本最小為目標(biāo)，提出了考慮乘客出行行為的整數(shù)規(guī)劃模型。

可見，具有多交路多編組的城市軌道交通線路列車交路設(shè)計(jì)問題尚未被完整探討過，既有研究還存在以下問題。首先，既有文獻(xiàn)大多是研究大小交路模式下的列車交路設(shè)計(jì)問題，即在全程大交路存在的假設(shè)下，優(yōu)化小交路的相關(guān)參數(shù)。當(dāng)考慮多交路運(yùn)營時(shí)，許多現(xiàn)有模型不再適用。目前一些城市軌道交通線路上的運(yùn)營交路數(shù)量已超過2條，如上海地鐵2號(hào)線(3交路)、重慶軌道交通3號(hào)線(3交路)，有必要對多列車交路設(shè)計(jì)問題進(jìn)行研究。其次，在全程大交路存在的假設(shè)下，大部分既有文獻(xiàn)假設(shè)乘客可乘坐直達(dá)列車前往其目的地，很少有文獻(xiàn)分析乘客在1條線路上出行時(shí)，對不同交路列車的選擇行為，尤其是在多交路條件下的乘客始發(fā)與換乘過程中的列車選擇行為。此外，列車編組也是交路計(jì)劃中的一項(xiàng)重要參數(shù)，其與列車開行頻率共同決定了城市軌道交通線路的輸送能力，若允許不同的交路配置不同的列車編組，并將列車交路與列車編組進(jìn)行綜合設(shè)計(jì)，可能獲得與客流需求匹配更好的列車交路計(jì)劃。

本文研究多交路多編組運(yùn)營模式下城市軌道交通線路列車交路設(shè)計(jì)的優(yōu)化方法。首先，根據(jù)線路的折返站布置生成所有備選交路，進(jìn)而構(gòu)建1個(gè)服務(wù)網(wǎng)絡(luò)?；诖?，采用Spiess等[13]的最優(yōu)策略在服務(wù)網(wǎng)絡(luò)上進(jìn)行客流分配，描述乘客對不同交路列車的選擇行為。然后，以運(yùn)營企業(yè)成本和乘客等待時(shí)間成本最小為目標(biāo)，提出多交路多編組列車交路設(shè)計(jì)問題的優(yōu)化模型與求解方法。最后，采用實(shí)際案例驗(yàn)證了所提出方法的可行性和有效性。

1 問題描述與假設(shè)

1.1 問題描述

本文考慮具有多交路和多編組的直線型城市軌道交通線路的列車交路設(shè)計(jì)問題。該線路有2條正線，一條正線只供一個(gè)方向的列車運(yùn)行。線路上有多個(gè)車站，根據(jù)配線設(shè)置分為可供列車轉(zhuǎn)向的折返站和不可供列車轉(zhuǎn)向的普通站。車站將線路拆分為若干區(qū)間，各區(qū)間的端點(diǎn)可為折返站或普通站。列車在線路上周轉(zhuǎn)運(yùn)行，在每次周轉(zhuǎn)過程中，列車從始發(fā)站出發(fā)，沿著一條正線運(yùn)行至終到站，在終到站折返后，沿著另一條反向正線回到始發(fā)站，在始發(fā)站折返后，進(jìn)入下一次周轉(zhuǎn)過程。現(xiàn)場將線路上列車固定周轉(zhuǎn)運(yùn)行的區(qū)段稱為列車交路，各交路的端點(diǎn)只能是折返站，且各交路上的列車成對運(yùn)行。

以圖1所示線路為例，該線路含7個(gè)車站和6個(gè)區(qū)間，車站沿上行方向依次編號(hào)為v1～v7，區(qū)間沿上行方向依次編號(hào)為e1～e6。車站v1、v4、v7為折返站，其中，車站v1、v7為單向折返站，車站v1只能將列車從下行折返為上行，車站v7只能將列車從上行折返為下行，車站v4為雙向折返站，在上下行方向上均能折返列車。根據(jù)折返站布置，該線路最多可設(shè)置3條列車交路，包括在車站v1、v7間設(shè)置交路1，在車站v1、v4間設(shè)置交路2，在車站v4、v7間設(shè)置交路3。其次，各交路可采取不同的列車編組，例如交路1使用8編組列車，交路2使用6編組列車，交路3使用6編組列車。最后，各交路可開行不同對數(shù)的列車，例如交路1、2和3分別開行12對、6對和6對列車。

圖1 線路示意圖

列車交路計(jì)劃同時(shí)影響運(yùn)營企業(yè)與乘客的利益。一方面，列車交路計(jì)劃決定了城市軌道交通線路運(yùn)營所需的車底數(shù)量與工作人員數(shù)量；另一方面，列車交路計(jì)劃對乘客的出行時(shí)間也有顯著影響。因此，制定列車交路計(jì)劃時(shí)，要盡量降低運(yùn)營企業(yè)的成本并節(jié)省乘客的出行時(shí)間成本。同時(shí)，可行的列車交路計(jì)劃還需滿足車站和區(qū)間的覆蓋要求、區(qū)間的客流需求、折返站能力和線路通過能力以及特殊的運(yùn)營組織規(guī)則等條件的限制。如何根據(jù)研究線路的車站布局、可行的列車編組形式、給定時(shí)段的客流需求、區(qū)間通過能力、車站折返能力及其他運(yùn)營組織規(guī)則等信息，確定列車交路、列車編組和開行頻率的最優(yōu)組合，使得運(yùn)營企業(yè)成本與乘客出行時(shí)間成本最小，即為城市軌道交通線路列車交路設(shè)計(jì)優(yōu)化問題。

1.2 問題假設(shè)

為便于模型建立，做出以下假設(shè)：

(1)乘客的乘車行為符合最優(yōu)策略原則[13]，即在各車站，乘客在到達(dá)車站后，乘坐可前往其目的地方向的第一列經(jīng)過該車站的列車。

(2)各車站乘客均勻到達(dá)，列車按時(shí)刻表均勻到達(dá)，無乘客滯留。

(3)各交路的車底獨(dú)立運(yùn)用，一個(gè)交路只能采用一種編組的列車，但不同交路可采用不同編組的列車。

(4)不同交路不同編組的列車均站站停，且在同一區(qū)間具有相同的運(yùn)行時(shí)間。

2 模型構(gòu)建

2.1 網(wǎng)絡(luò)抽象

根據(jù)城市軌道交通線路的折返站布置，可生成其所有的備選列車交路，并基于此將其抽象為1個(gè)有向服務(wù)網(wǎng)絡(luò)，在該服務(wù)網(wǎng)絡(luò)上進(jìn)行列車交路設(shè)計(jì)和客流分配。以圖1所示線路為例，該線路具有3條備選列車交路，其對應(yīng)的有向服務(wù)網(wǎng)絡(luò)見圖2。

圖2 服務(wù)網(wǎng)絡(luò)示意圖

服務(wù)網(wǎng)絡(luò)中，節(jié)點(diǎn)集由兩部分構(gòu)成，包括車站節(jié)點(diǎn)1～7與交路節(jié)點(diǎn)8～37。車站節(jié)點(diǎn)1～7表示線路上的車站v1～v7，交路節(jié)點(diǎn)表示各備選交路對線路上各車站的覆蓋。交路1覆蓋車站v1～v7，因此，交路1所對應(yīng)的節(jié)點(diǎn)8～14、23～29平行覆蓋車站節(jié)點(diǎn)1～7。交路2覆蓋車站v1～v4，因此，交路2所對應(yīng)的節(jié)點(diǎn)15～18、30～33平行覆蓋車站節(jié)點(diǎn)1～4。交路3覆蓋車站v4～v7，因此，交路3所對應(yīng)的節(jié)點(diǎn)19～22、34～37平行覆蓋車站節(jié)點(diǎn)4～7。交路節(jié)點(diǎn)中，節(jié)點(diǎn)8～22為上行方向節(jié)點(diǎn)，節(jié)點(diǎn)23～37為下行方向節(jié)點(diǎn)。

弧集由3部分組成，分別為乘車弧、運(yùn)行弧與下車弧。乘車弧連接車站節(jié)點(diǎn)與其對應(yīng)的交路節(jié)點(diǎn)，表示乘客在對應(yīng)車站乘坐對應(yīng)交路上去往對應(yīng)方向列車的乘車行為。在上下行方向上，運(yùn)行弧依次連接同一交路的各交路節(jié)點(diǎn)，表示各交路上的列車在上下行方向的區(qū)間運(yùn)行過程。下車弧連接交路節(jié)點(diǎn)與其對應(yīng)的車站節(jié)點(diǎn)，表示對應(yīng)交路去往對應(yīng)方向的列車上的乘客在對應(yīng)車站的下車行為。注意，在各運(yùn)行方向上，乘車弧不連接車站節(jié)點(diǎn)與各交路在該運(yùn)行方向上的最后一個(gè)交路節(jié)點(diǎn)，下車弧不連接各交路在該運(yùn)行方向上的第一個(gè)交路節(jié)點(diǎn)與車站節(jié)點(diǎn)。以上行方向?yàn)槔?，?jié)點(diǎn)4與節(jié)點(diǎn)18間沒有乘車弧，因?yàn)榻宦?的列車不能將車站v4的乘客運(yùn)往上行方向。節(jié)點(diǎn)19與節(jié)點(diǎn)4間沒有下車弧，因?yàn)檐囌緑4是交路3在上行方向的始發(fā)車站，當(dāng)交路3上行方向的列車到達(dá)車站v4時(shí)，車上還沒有乘客，因此不會(huì)產(chǎn)生乘客下車行為。

將研究線路基于上述規(guī)則抽象為有向服務(wù)網(wǎng)絡(luò)后，各支客流的乘客在線路上的出行過程(始發(fā)、運(yùn)行、換乘、終到)即可用服務(wù)網(wǎng)絡(luò)中該支客流對應(yīng)的始發(fā)車站節(jié)點(diǎn)至終到車站節(jié)點(diǎn)的路徑來表示。例如，若乘客于車站v1乘坐交路2的列車到達(dá)車站v4，然后換乘交路3的列車終到車站v6，其出行過程可用網(wǎng)絡(luò)中的路徑1-15-16-17-18-4-19-20-21-6表示。

2.2 符號(hào)說明

集合：V、v分別為城市軌道交通線路的車站集合與索引，車站按上行方向編號(hào)，V={V1,V2}；V1為線路的折返站集合；V2為線路的普通站集合；E、e分別為城市軌道交通線路的區(qū)間集合與索引，區(qū)間按上行方向編號(hào)；L、l分別為線路的備選交路集合與索引；T、t分別為可行的列車編組集合與索引；D、d分別為列車運(yùn)行方向集合與索引；F、f分別為可開行的列車集合與索引；N、n分別為服務(wù)網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點(diǎn)集合與索引，N={N1,N2}；N1為服務(wù)網(wǎng)絡(luò)的車站節(jié)點(diǎn)集合；N2為服務(wù)網(wǎng)絡(luò)的交路節(jié)點(diǎn)集合；A、a分別為服務(wù)網(wǎng)絡(luò)的弧集合與索引，A={A1,A2}；A1為服務(wù)網(wǎng)絡(luò)的乘車弧集合，A1={A1 d|d∈D}，A1 d為服務(wù)網(wǎng)絡(luò)中運(yùn)行方向d上的乘車弧集合；A2為服務(wù)網(wǎng)絡(luò)的運(yùn)行弧與下車弧集合；An+為服務(wù)網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn)n處所有始發(fā)弧的集合；An-為服務(wù)網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn)n處所有終到弧的集合。

2.3 運(yùn)營企業(yè)成本

城市軌道交通線路的運(yùn)營企業(yè)成本主要包括固定成本與變動(dòng)成本。固定成本指線路上所有投入使用的列車的總購置費(fèi)用，注意，線路上的列車并非只在研究時(shí)段內(nèi)運(yùn)行，其使用年限一般為30年。為了便于與系統(tǒng)其他成本項(xiàng)具有可比性，將列車購置費(fèi)用均攤至研究時(shí)段來作為固定成本。變動(dòng)成本主要指線路上所有投入使用的列車在研究時(shí)段內(nèi)的總運(yùn)行費(fèi)用，取決于研究時(shí)段內(nèi)所有列車的總運(yùn)行距離。運(yùn)營企業(yè)固定成本Z1與變動(dòng)成本Z2分別為

(1)

(2)

式(1)為研究時(shí)段內(nèi)運(yùn)營企業(yè)的固定成本，其中各交路所需的車底數(shù)量等于其全周轉(zhuǎn)時(shí)間乘以其開行頻率。式(2)為研究時(shí)段內(nèi)運(yùn)營企業(yè)的變動(dòng)成本。

2.4 乘客等待時(shí)間成本

在1條城市軌道交通線路上，乘客出行時(shí)間主要由進(jìn)站時(shí)間、始發(fā)或換乘等待時(shí)間、途中運(yùn)行時(shí)間、出站時(shí)間4部分構(gòu)成。線路的列車交路計(jì)劃幾乎不會(huì)對乘客的進(jìn)、出站時(shí)間產(chǎn)生影響。同時(shí)，線路上不同交路的列車在同一區(qū)間的運(yùn)行時(shí)間相同，乘客的途中運(yùn)行時(shí)間也不會(huì)受到交路計(jì)劃影響。但是在不同的交路計(jì)劃下，線路上所采用的交路與各交路的開行頻率有所不同，會(huì)對始發(fā)或換乘乘客的候車時(shí)間產(chǎn)生影響，故考慮最小化乘客的等待時(shí)間成本。

理論上，1支客流在1個(gè)車站的乘客等待時(shí)間可取為該車站的乘客平均等待時(shí)間與該支客流在該車站的乘車人數(shù)的乘積。這里采用文獻(xiàn)[13]提出的最優(yōu)策略在所構(gòu)建服務(wù)網(wǎng)絡(luò)上進(jìn)行客流分配，描述乘客在多交路上的出行過程以及對各交路列車的選擇行為，進(jìn)而確定各車站乘客平均等待時(shí)間的期望值和各支客流在各車站不同交路列車上的乘客人數(shù)分布。最優(yōu)策略[13]假設(shè)乘客均勻到達(dá)各車站，且乘坐前往其目的地方向的第一列經(jīng)過該車站的列車，基于此，有兩點(diǎn)結(jié)論：

(1)各支客流(i,j)在服務(wù)網(wǎng)絡(luò)中各車站節(jié)點(diǎn)n、出行方向θij的乘客平均等待時(shí)間的期望值為該車站節(jié)點(diǎn)在θij方向上所有乘車弧所對應(yīng)交路的列車開行間隔的一半，即

(2)各支客流(i,j)對從各車站節(jié)點(diǎn)n、出行方向θij發(fā)出的各乘車弧a的選擇概率為該乘車弧所對應(yīng)交路的列車開行對數(shù)與從該車站節(jié)點(diǎn)在θij方向上發(fā)出的所有乘車弧對應(yīng)交路的列車開行對數(shù)之和的比值，記客流(i,j)在從車站節(jié)點(diǎn)n發(fā)出的乘車弧a上的乘客人數(shù)為kij。

故乘客等待時(shí)間成本Z3為

(3)

2.5 基本模型

城市軌道交通線路列車交路設(shè)計(jì)最小化運(yùn)營企業(yè)成本和乘客等待時(shí)間成本，即

(4)

目標(biāo)函數(shù)式(4)中，第三部分(即乘客等待時(shí)間成本)為非線性表達(dá)式，會(huì)給模型求解帶來困難。根據(jù)最優(yōu)策略，在服務(wù)網(wǎng)絡(luò)中，各支客流在各車站節(jié)點(diǎn)任意始發(fā)弧上的乘客人數(shù)等于該支客流在該車站節(jié)點(diǎn)的乘客總等待時(shí)間與該始發(fā)弧對應(yīng)交路乘客平均等待時(shí)間的比值。利用這一關(guān)系，可通過引入約束確保客流分配符合最優(yōu)策略，并獲得乘客等待時(shí)間成本的線性表達(dá)式。

由此，城市軌道交通線路列車交路設(shè)計(jì)問題的基本模型可構(gòu)建為

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

2.6 其他約束條件

基本模型式(5)～式(10)在最優(yōu)策略下對服務(wù)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行客流分配，其目的是獲得各支客流在服務(wù)網(wǎng)絡(luò)中的流量分布，并基于此計(jì)算乘客等待時(shí)間成本。還需引入車站和區(qū)間覆蓋要求、區(qū)間客流需求、特殊運(yùn)營規(guī)則、車站和區(qū)間能力限制等約束條件，以此來設(shè)計(jì)可行的列車交路計(jì)劃，并計(jì)算運(yùn)營企業(yè)的固定成本與變動(dòng)成本。

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

yltf≥ylt,f+1?f∈[1,|F|-1],?l∈L,?t∈T

(20)

xlt=0或1 ?l∈L,?t∈T

(21)

yltf=0或1 ?l∈L,?t∈T,?f∈F

(22)

綜上，城市軌道交通線路列車交路設(shè)計(jì)問題可構(gòu)建為以下混合整數(shù)非線性規(guī)劃模型TSD1為

目標(biāo)函數(shù) 式(5)

s.t. 式(6)～式(22)

3 模型求解

3.1 模型線性化

?n∈N1,?i∈V,?j∈V

(23)

?n∈N1,?i∈V,?j∈V

(24)

?n∈N1,?i∈V,?j∈V

(25)

?n∈N1,?i∈V,?j∈V

(26)

通過上述方法，模型TSD1可轉(zhuǎn)化為混合整數(shù)線性規(guī)劃模型TSD2，即

目標(biāo)函數(shù) 式(5)

s.t. 式(6)、式(8)～式(26)

3.2 服務(wù)網(wǎng)絡(luò)簡化

初步計(jì)算分析表明，服務(wù)網(wǎng)絡(luò)規(guī)模對模型的規(guī)模與求解時(shí)間具有很大影響。鑒于列車交路只能設(shè)置于兩折返站之間，且在任意運(yùn)行方向上位于兩相鄰折返車站節(jié)點(diǎn)tv1、tv2(tv2位于該運(yùn)行方向上tv1的前方)中間的車站節(jié)點(diǎn)的乘客平均等待時(shí)間與tv1相同?；诖耍岢龊喕椒s減服務(wù)網(wǎng)絡(luò)的規(guī)模，該方法不會(huì)影響模型求解結(jié)果的準(zhǔn)確性。具體方法如下：

Step1在原服務(wù)網(wǎng)絡(luò)中，只保留折返站V1對應(yīng)的車站節(jié)點(diǎn)與交路節(jié)點(diǎn)，并按前文類似規(guī)則生成弧。圖2中的服務(wù)網(wǎng)絡(luò)簡化后見圖3。

圖3 簡化服務(wù)網(wǎng)絡(luò)

Step2對原服務(wù)網(wǎng)絡(luò)中各客流的始發(fā)節(jié)點(diǎn)、終到節(jié)點(diǎn)和客流量進(jìn)行調(diào)整與集聚如下：

(1)若原服務(wù)網(wǎng)絡(luò)中某客流的始發(fā)節(jié)點(diǎn)和終點(diǎn)節(jié)點(diǎn)都是折返車站節(jié)點(diǎn)，則簡化網(wǎng)絡(luò)中該客流的始發(fā)節(jié)點(diǎn)和終到節(jié)點(diǎn)保持不變。

(2)若原服務(wù)網(wǎng)絡(luò)中某客流的始發(fā)節(jié)點(diǎn)不是折返車站節(jié)點(diǎn)，則在簡化網(wǎng)絡(luò)中將該客流的始發(fā)節(jié)點(diǎn)調(diào)整為其出行方向后方的最近折返車站節(jié)點(diǎn)。

(3)若原服務(wù)網(wǎng)絡(luò)中某客流的終到節(jié)點(diǎn)不是折返車站節(jié)點(diǎn)，則在簡化網(wǎng)絡(luò)中將該客流的終到節(jié)點(diǎn)調(diào)整為其出行方向前方的最近折返車站節(jié)點(diǎn)。

將服務(wù)網(wǎng)絡(luò)簡化后，模型TSD2可轉(zhuǎn)化為規(guī)模更小的混合整數(shù)線性規(guī)劃模型TSD3為

(27)

s.t. 式 (11)～式(22)

(28)

(29)

(30)

(31)

(32)

(33)

(34)

(35)

4 計(jì)算分析

以某規(guī)劃的城市軌道交通線路的實(shí)際數(shù)據(jù)構(gòu)造算例，驗(yàn)證所提出方法的有效性。采用MATLAB R2016a編程所提出方法，并調(diào)用CPLEX 12.8求解其中的優(yōu)化模型。所有結(jié)果在CPU為Inter Core i7-7700 3.6 GHz，內(nèi)存為16 GB的個(gè)人計(jì)算機(jī)上獲得。

4.1 案例描述

測試線路全長121.7 km，設(shè)車站20座，區(qū)間19個(gè)，按上行方向，車站依次標(biāo)號(hào)為v1～v20，區(qū)間依次編號(hào)為e1～e19，見圖4。全線共設(shè)有4個(gè)折返站，分別為車站v1、v6、v17、v20。車站v1只能將列車從下行折返為上行，車站v20只能將列車從上行折返為下行，車站v6、v17在上下行方向上均能折返列車。折返站能力見表1。根據(jù)線路的折返站布置，共有備選列車交路6條，交路全周轉(zhuǎn)時(shí)間和距離見表2。線路上可運(yùn)營4、6和8編組共3種類型的列車，列車編組參數(shù)見表3。選取規(guī)劃遠(yuǎn)期一日早高峰時(shí)段08:00—09:00的客流數(shù)據(jù)進(jìn)行列車交路設(shè)計(jì)，區(qū)間斷面客流見表4，限于篇幅，省略客流OD數(shù)據(jù)。其他輸入?yún)?shù)取值見表5。

圖4 測試線路(單位：m)

表1 折返站能力

表2 交路全周轉(zhuǎn)時(shí)間和距離 min/km

表3 列車編組參數(shù)

表4 區(qū)間斷面客流 人次

表5 其他參數(shù)

4.2 計(jì)算結(jié)果4.2.1 模型性能

將模型TSD2和TSD3進(jìn)行對比，以評(píng)估所提出服務(wù)網(wǎng)絡(luò)簡化方法的正確性和有效性。為此，將最大允許交路數(shù)量Ω的取值從1遞增到6，共構(gòu)造6個(gè)算例。將模型求解時(shí)間限制為4 h，模型對比結(jié)果見表6，其中，第2到第4列為模型TSD2獲得解的目標(biāo)值、最優(yōu)誤差和計(jì)算時(shí)間，最后3列為模型TSD3的相應(yīng)結(jié)果。由表6可得，在限制時(shí)間內(nèi)，模型TSD2只能將Ω=1的算例求得最優(yōu)解，對其他算例只能找到質(zhì)量差的可行解，誤差范圍為39%～94%。與模型TSD2不同，模型TSD3可極快獲得所有算例的最優(yōu)解，最長計(jì)算時(shí)間不超過20 s?？梢钥闯?，所提出的簡化方法可保證計(jì)算結(jié)果的正確性，有效縮減服務(wù)網(wǎng)絡(luò)和模型的規(guī)模，提高求解速度，適用于求解實(shí)際規(guī)模的城市軌道交通線路列車交路設(shè)計(jì)問題。

表6 模型對比結(jié)果

4.2.2 列車交路計(jì)劃質(zhì)量

現(xiàn)對比分析所提出優(yōu)化方法獲得的多交路計(jì)劃(MTSS)與研究線路可研報(bào)告中由經(jīng)驗(yàn)方法設(shè)計(jì)的大小交路計(jì)劃(PTSS)的質(zhì)量。為獲得MTSS，設(shè)置Ω為6，并求解模型TSD3到最優(yōu)，最優(yōu)解共設(shè)置4條交路。兩種方法下的列車交路計(jì)劃見圖5。

圖5 列車交路計(jì)劃

兩種交路計(jì)劃下的乘客換乘過程分析如下。在PTSS下，線路上運(yùn)營一個(gè)全程大交路與一個(gè)小交路，部分乘客出行時(shí)需換乘一次。在MTSS下，線路上部分乘客出行時(shí)需換乘2次。例如，從車站v20始發(fā)前往車站v1的部分乘客的出行過程可為v20-交路4-v17-交路3-v6-交路1或交路2-v1，全程換乘2次。需要說明的是，線路上只有從車站v18～v20始發(fā)前往車站v1～v5的乘客才可能進(jìn)行兩次換乘，此部分乘客僅457人，占全線總客流的0.41%。

兩種交路計(jì)劃下區(qū)間的輸送能力、客流需求和滿載率見圖6。不難看出，PTSS對區(qū)間客流量的不均衡性已有所考慮，但其在區(qū)間e17～e19仍有明顯的輸送能力浪費(fèi)。相較之下，MTSS對各區(qū)間輸送能力的配置更為靈活，其不僅在區(qū)間e17～e19的輸送能力更低，滿載率更高，且在區(qū)間e1～e16的輸送能力也更貼近客流需求，有助于降低運(yùn)營企業(yè)成本。

圖6 區(qū)間輸送能力配置

兩種交路計(jì)劃的目標(biāo)值統(tǒng)計(jì)見表7，其中第4列為MTSS相對于PTSS的變化量。根據(jù)表7，與PTSS相比，MTSS將總成本降低22.14%，其中，MTSS下的企業(yè)固定成本、企業(yè)變動(dòng)成本與乘客等待時(shí)間成本均有所降低。另外，在MTSS的總成本中，企業(yè)變動(dòng)成本占81.06%，而企業(yè)固定成本僅占2.37%。因此，在設(shè)計(jì)城市軌道交通線路列車交路計(jì)劃時(shí)，應(yīng)盡可能采用多交路多編組的靈活組織形式，節(jié)約企業(yè)變動(dòng)成本，控制整個(gè)系統(tǒng)的總成本。

表7 目標(biāo)值統(tǒng)計(jì)

綜上，本文所提出的優(yōu)化方法可根據(jù)城市軌道交通線路的設(shè)施條件和客流特點(diǎn)，靈活設(shè)計(jì)多交路多編組的交路計(jì)劃，優(yōu)于生產(chǎn)實(shí)踐中常用的經(jīng)驗(yàn)方法。盡管部分乘客在出行過程可能會(huì)經(jīng)歷更多換乘，但從系統(tǒng)角度來看，模型所得出的MTSS不僅合理地設(shè)置了多交路使得線路的輸送能力與客流需求更加匹配，還更多地使用了小編組列車來提高區(qū)間列車開行頻率，從而有助于降低線路的運(yùn)營企業(yè)成本和乘客的等待時(shí)間成本。

4.2.3 靈敏度分析

(1)列車交路數(shù)量

首先討論最大允許運(yùn)行交路數(shù)量Ω對運(yùn)營企業(yè)成本、乘客等待時(shí)間成本與列車平均滿載率的影響。根據(jù)前文結(jié)果，最優(yōu)交路計(jì)劃包含4條交路。因此，固定其他參數(shù)，將Ω的取值分別設(shè)置為1～4，依次求解模型TSD3，結(jié)果見表8。其中，第2列，“1: 1-20, 19對6編”表示第1條交路的端點(diǎn)為車站1和20，且在該交路上開行19對6編組的列車。

表8 列車交路數(shù)量的影響

由表8可知，隨著交路數(shù)量Ω的增加，列車平均滿載率逐漸升高，總成本逐漸下降，其中，企業(yè)變動(dòng)成本的下降對總成本下降的貢獻(xiàn)最大。另外，交路數(shù)量Ω由1條增加為2條時(shí)，總成本下降最為明顯，降幅為23.17%，隨后，交路數(shù)量Ω的進(jìn)一步增加雖然能使總成本減少，但降幅較小。乘客等待時(shí)間成本在交路數(shù)量Ω為2時(shí)最高，隨著交路數(shù)量的繼續(xù)增加，乘客等待時(shí)間成本又逐漸下降，這是因?yàn)棣笍?增加為2時(shí)，開始出現(xiàn)乘客換乘，由此乘客等待時(shí)間成本明顯上升，但隨著Ω的繼續(xù)增加，模型TSD3能夠更加合理地設(shè)置交路，從而減少乘客換乘，降低乘客等待時(shí)間成本。因此，根據(jù)線路技術(shù)條件與客流特點(diǎn)，設(shè)置多交路可降低運(yùn)營企業(yè)成本并控制乘客的等待時(shí)間成本。但同時(shí)，交路數(shù)量的增加也會(huì)使線路的運(yùn)營復(fù)雜性與安全隱患增大[14]，建議運(yùn)營部門結(jié)合線路運(yùn)營水平進(jìn)行多交路的設(shè)置。

(2)列車編組類型

現(xiàn)分析列車編組類型T對運(yùn)營企業(yè)成本、乘客等待時(shí)間成本與列車平均滿載率的影響。可行列車編組T共設(shè)置6種情況：(1)僅使用6編組列車，T={6}；(2)僅使用8編組列車，T={8}；(3)可使用4編組或6編組列車，T={4,6}；(4)可使用4編組或8編組列車，T={4,8}；(5)可使用6編組或8編組列車，T={6,8}；(6)可使用4編組、6編組或8編組列車，T={4,6,8}。注意，僅使用4編組列車不能滿足客流需求，故不考慮。對這6種編組情況，最大允許運(yùn)行交路數(shù)量Ω取為6，固定其他參數(shù)，分別求解模型TSD3，結(jié)果見表9。

表9 列車編組類型的影響

由表9可知，當(dāng)只采用一種編組的列車時(shí)，總成本高，特別是T={8}時(shí)，乘客等待時(shí)間成本明顯高于其他情況，導(dǎo)致其總成本最高，這是因?yàn)樵谙嗤土鳁l件下，列車編組越大，所需的列車開行對數(shù)就越低，乘客等待時(shí)間越長。在T={4,6,8}的情況下，總成本、企業(yè)變動(dòng)成本與乘客等待時(shí)間成本最低，列車平均滿載率最高。需要指出的是，并不是可選的列車編組類型越多就一定會(huì)促使總成本越低，例如，表9中，T={4,6,8}與T={4,8}情況下的各項(xiàng)指標(biāo)相同，T={6,8}與T={6}情況下的各項(xiàng)指標(biāo)相同。但是，在可選的列車編組類型中加入小編組列車可有效降低總成本，例如，T={8}、T={6,8}與T={4,6,8}情況下的總成本逐漸降低，T={6}與T={4,6}情況下的總成本逐漸降低，原因在于在滿足客流需求的前提下，模型會(huì)盡量多地使用小編組列車提高各區(qū)間的列車開行對數(shù)，降低乘客的等待時(shí)間成本。因此，結(jié)合線路技術(shù)條件和客流特點(diǎn)，采用含小編組的多編組交路計(jì)劃可有效降低乘客等待時(shí)間成本，從而降低系統(tǒng)總成本。當(dāng)然，為實(shí)施多編組交路計(jì)劃，需單獨(dú)采購小編組列車，還需配置更多工作人員，建議運(yùn)營企業(yè)在進(jìn)行技術(shù)經(jīng)濟(jì)比選后考慮是否投入小編組列車。

5 結(jié)論

本文提出了具有多交路多編組運(yùn)營條件的城市軌道交通線路列車交路設(shè)計(jì)問題的優(yōu)化方法。首先，通過提前生成備選交路集構(gòu)建服務(wù)網(wǎng)絡(luò)，并采用經(jīng)典最優(yōu)策略在服務(wù)網(wǎng)絡(luò)上進(jìn)行客流分配，構(gòu)建了多交路多編組列車交路設(shè)計(jì)的混合整數(shù)線性規(guī)劃模型。與既有研究相比，所提出模型可根據(jù)線路的技術(shù)條件和客流特點(diǎn)，靈活設(shè)計(jì)多交路多編組的列車交路計(jì)劃。同時(shí)，使用最優(yōu)策略在所構(gòu)建服務(wù)網(wǎng)絡(luò)上進(jìn)行客流分配，描述乘客的出行過程，可更為準(zhǔn)確地分析多交路對于乘客出行的影響。其次，根據(jù)乘客等待時(shí)間度量方法的特點(diǎn)，提出了服務(wù)網(wǎng)絡(luò)簡化方法來縮減模型規(guī)模，提高求解速度。計(jì)算結(jié)果表明，通過服務(wù)網(wǎng)絡(luò)簡化后的模型可快速求解典型城市軌道交通線路的列車交路設(shè)計(jì)問題，且其所得的多交路計(jì)劃優(yōu)于生產(chǎn)實(shí)踐中常設(shè)計(jì)的基于經(jīng)驗(yàn)方法的單交路計(jì)劃。此外，若技術(shù)條件允許，運(yùn)營企業(yè)應(yīng)盡量設(shè)置多條交路，并在部分交路上適當(dāng)開行小編組列車，以有效降低運(yùn)營企業(yè)成本和乘客等待時(shí)間成本。

本文研究可在以下方面作進(jìn)一步拓展。首先，下一步可將所提出方法應(yīng)用于設(shè)計(jì)Y型城市軌道交通線路的多交路多編組列車交路計(jì)劃，并評(píng)估所提出模型和簡化方法的效果。其次，基于所構(gòu)建的模型，研究含運(yùn)營時(shí)段劃分和各時(shí)段交路設(shè)計(jì)的城市軌道交通線路全日行車計(jì)劃編制問題也是未來需要開展的工作。