陳煌杰,鄭東琛,余炎強(qiáng),廖任遠(yuǎn)

(福建師范大學(xué) 物理與能源學(xué)院 福建省量子調(diào)控與新能源材料重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，福建 福州 350117)

0 引言

自從1995年在實(shí)驗(yàn)上實(shí)現(xiàn)了愛(ài)因斯坦凝聚[1],超冷氣體吸引了廣泛關(guān)注,使得操控原子的技術(shù)在近二十年得到了快速的發(fā)展[2-3]。至今為止,超冷原子在腔中的研究已經(jīng)成為量子計(jì)算模擬最重要的一門技術(shù)[4-5]。與此同時(shí),不同的研究方法也伴隨著實(shí)驗(yàn)的發(fā)展不斷被提出[6-7],其中的哈伯德模型在強(qiáng)關(guān)聯(lián)體系中得到了較好的計(jì)算結(jié)果[8-9],盡管最初的哈伯德模型早在1963年就提出[10]。

我們將討論2015年的ETH小組所做的實(shí)驗(yàn)[11],通過(guò)將由光晶格囚禁的超冷玻色氣體載入腔中,外部光子散射到被囚禁的原子上,并離域在腔模內(nèi),充當(dāng)在無(wú)限范圍內(nèi)原子與原子之間相互作用的媒介,通過(guò)控制腔共振,達(dá)到對(duì)長(zhǎng)程相互作用強(qiáng)度的調(diào)控,同時(shí)通過(guò)光晶格調(diào)控短程相互作用強(qiáng)度,可以實(shí)現(xiàn)不同相:電荷密度波(CDW)、超流(SF)和Mott絕緣體(MI)。

本文主要討論帶長(zhǎng)程相互作用和短程相互作用的哈伯德模型,通過(guò)對(duì)該體系的哈密頓量進(jìn)行分析,引入超流序參量,進(jìn)行自洽平均場(chǎng)計(jì)算,分析不同長(zhǎng)程相互作用強(qiáng)度下溫度對(duì)體系的變化以及熱力學(xué)性質(zhì)的影響。

1 理論模型

假定在二維靜態(tài)光晶格中的一個(gè)粒子,與一對(duì)腔膜產(chǎn)生相互作用,如圖1所示,可以通過(guò)單粒子哈密頓量Hsp進(jìn)行描述[2,12]:

Hsp=H0+VTrap(x,y)+

?η(a?+a)cos(kx)cos(ky)-

?(Δc-U0cos(kx)cos(kx))a?a,

(1)

推廣到多粒子體系的二次量子化哈密頓量為:

(2)

μ為有效化學(xué)勢(shì),g2D為修正過(guò)的短程相互作用[13],并引入Wannier方程:

(3)

(4)

其中:

Us=g2D?dxdy|Wi(x,y)|4,

(5)

(6)

δ=U0M1N表示腔的色散位移,N為總粒子數(shù),κ為腔光子的耗散率,將上式代入公式(4),得到擴(kuò)展哈伯德模型的哈密頓量[11]:

(7)

當(dāng)tij/Us較大,躍遷動(dòng)能項(xiàng)占主導(dǎo)影響時(shí),粒子能在各個(gè)格點(diǎn)之間躍遷,格點(diǎn)上粒子數(shù)不被限制,此時(shí)體系處在超流態(tài);當(dāng)tij/Us較小,躍遷動(dòng)能項(xiàng)不占主導(dǎo)影響時(shí),粒子無(wú)法在格點(diǎn)之間躍遷,被固定在格點(diǎn)上,同時(shí)相鄰格點(diǎn)之間的長(zhǎng)程相互作用Ul與同一格點(diǎn)內(nèi)的短程相互作用Us形成相互競(jìng)爭(zhēng),允許粒子以不同方式占據(jù)分布。當(dāng)粒子數(shù)均勻分布時(shí),此時(shí)稱體系處在Mott絕緣態(tài);當(dāng)粒子不均勻分布,交替占據(jù)格點(diǎn)時(shí),則稱體系處在CDW態(tài)。

2 分析與討論

在0K下體系處在基態(tài)時(shí),假定粒子在格點(diǎn)之間無(wú)法躍遷,即tij/Us=0。這時(shí),系統(tǒng)的能量可以精確求解。

(8)

而長(zhǎng)程相互作用項(xiàng)改寫為:

(9)

于是得到平均一個(gè)大格點(diǎn)的本征值能量為:

(10)

將上式改寫,最終得到平均近似下每個(gè)大格點(diǎn)Ho的本征能量為:

(11)

圖2 體系處在基態(tài)強(qiáng)關(guān)聯(lián)極限下的相圖,即tij/Us=0

(12)

用微擾法計(jì)算二級(jí)能量微擾[15]

(13)

Eep=E(ne+1,no)-E(ne,no)

Eeh=E(ne-1,no)-E(ne,no)

Eop=E(ne,no+1)-E(ne,no)

Eoh=E(ne,no-1)-E(ne,no)

(14)

此時(shí)體系的基態(tài)能量:

(15)

(16)

從圖3(a)中可以看出,當(dāng)Ul/Us=0時(shí),圖3(a)為無(wú)長(zhǎng)程相互作用的哈伯德模型的相圖[17];圖3(b)當(dāng)Ul/Us=0.2時(shí),則出現(xiàn)CDW態(tài);之后隨著Ul/Us的增大,Mott相的區(qū)域變小,而CDW相的區(qū)域則變大,如圖3(c)所示,格點(diǎn)之間的相互作用力會(huì)使體系粒子分布發(fā)生變化。

將哈密頓量HMF在基矢|ψ〉=|ne〉?|no〉下對(duì)角化處理,并在條件φi=〈bi〉下進(jìn)行自洽求解。

從圖4(a)可以看出，隨著長(zhǎng)程相互作用越來(lái)越大,Mott絕緣相到超流相的轉(zhuǎn)變所需要的隧穿參數(shù)越來(lái)越小;從圖4(b)中可以看出，隨著長(zhǎng)程相互作用越來(lái)越大,玻色子之間的相互作用越強(qiáng),使得超流相到正常流體的轉(zhuǎn)變溫度越來(lái)越大。

3 結(jié)論

通過(guò)自洽平均場(chǎng),對(duì)體系進(jìn)行自洽求解分析,計(jì)算得到體系在零溫下的基態(tài)相圖和在有限溫時(shí)長(zhǎng)程相互作用對(duì)體系的影響。計(jì)算發(fā)現(xiàn),長(zhǎng)程相互作用會(huì)使體系出現(xiàn)CDW態(tài),并且其區(qū)域會(huì)隨長(zhǎng)程相互作用增大而增大。從序參量分析,長(zhǎng)程相互作用增大會(huì)使Mott相到超流相所需的隧穿動(dòng)能減少,超流相到正常流體的轉(zhuǎn)變溫度則增大。對(duì)于體系超流態(tài)的熱力學(xué)性質(zhì),長(zhǎng)程相互作用的增大會(huì)使粒子數(shù)增大,而熵和比熱容則變小。

圖3 0 K下不同的長(zhǎng)程相互作用強(qiáng)度下體系的相邊界(a) Ul/Us=0; (b) Ul/Us=0.2;(c) Ul/Us=0.4

圖4 體系在不同長(zhǎng)程相互作用強(qiáng)度下Ul/Us=0，0.1，0.2下的ψe和ψo(hù)(a)隨zt/Us的變化;(b)隨T的變化

圖5 體系處在超流相(μ=0.5)下的(a)粒子數(shù);(b)熵;(c)比熱容在不同長(zhǎng)程相互作用強(qiáng)度(Ul/Us=0,0.1,0.2)下隨溫度的變化