新疆烏魯木齊市教育研究中心

隨著教育部《關(guān)于全面深化課程改革落實(shí)立德樹(shù)人根本任務(wù)的意見(jiàn)》的頒布與實(shí)施,聚焦學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)成為近年中考數(shù)學(xué)命題的落腳點(diǎn).二次函數(shù)作為初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重點(diǎn)內(nèi)容之一,也是初中數(shù)學(xué)與高中數(shù)學(xué)聯(lián)系的紐帶,關(guān)于二次函數(shù)的相關(guān)試題能夠比較廣泛地考查到學(xué)生函數(shù)與方程,數(shù)形結(jié)合,分類討論及轉(zhuǎn)化等思想方法,無(wú)論是在知識(shí)、思維和綜合方面都一直處在中考中的重要位置,所以近年來(lái)以二次函數(shù)為背景的中考題層出不窮,下面以幾道中考題為例,分析以二次函數(shù)為背景的選擇題的命題方向及解題思路.

1 對(duì)比課標(biāo)要求分析中考試題的命題誤區(qū)

近年來(lái)對(duì)二次函數(shù)為背景的中考試題在命題方向上還是存在著一些誤區(qū),這些試題并沒(méi)有從根本上明確課程標(biāo)準(zhǔn)對(duì)函數(shù)的要求,盲目追求人為設(shè)定的解題技巧即所謂“綜合能力”,其實(shí)往往偏離了對(duì)概念本質(zhì)的導(dǎo)向,也會(huì)影響一線教師在日常教學(xué)中對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng).

我們首先來(lái)看一下《義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)(2011版)》(下文簡(jiǎn)稱課標(biāo))中對(duì)“函數(shù)”及“二次函數(shù)”內(nèi)容的要求:

函數(shù):

(1)探索簡(jiǎn)單實(shí)例中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律,了解常量、變量的意義.(2)結(jié)合實(shí)例,了解函數(shù)的概念和三種表示法,能舉出函數(shù)的實(shí)例.(3)能結(jié)合圖像對(duì)簡(jiǎn)單實(shí)際問(wèn)題中的函數(shù)關(guān)系進(jìn)行分析.(4)能確定簡(jiǎn)單實(shí)際問(wèn)題中函數(shù)自變量的取值范圍,并會(huì)求出函數(shù)值.(5)能用適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)表示法刻畫簡(jiǎn)單實(shí)際問(wèn)題中變量之間的關(guān)系.(6)結(jié)合對(duì)函數(shù)關(guān)系的分析,能對(duì)變量的變化情況進(jìn)行初步討論.

二次函數(shù):

(1)通過(guò)對(duì)實(shí)際問(wèn)題的分析,體會(huì)二次函數(shù)的意義.(2)會(huì)用描點(diǎn)法畫出二次函數(shù)的圖像,通過(guò)圖像了解二次函數(shù)的性質(zhì).(3)會(huì)用配方法將數(shù)字系數(shù)的二次函數(shù)的表達(dá)式化為y=a(x-h)2+k的形式,并能由此得到二次函數(shù)圖像的頂點(diǎn)坐標(biāo),說(shuō)出圖像的開(kāi)口方向,畫出圖像的對(duì)稱軸,并能解決簡(jiǎn)單實(shí)際問(wèn)題.(4)會(huì)利用二次函數(shù)的圖像求一元二次方程的近似解.(5)知道給定不共線三點(diǎn)的坐標(biāo)可以確定一個(gè)二次函數(shù).

下面我們比對(duì)課標(biāo)來(lái)看一看以下幾道中考題的命題方向.

例1【2018·蘭州中考數(shù)學(xué)題】已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a0)的圖象如圖1所示,有下列5個(gè)結(jié)論:abc＞0;b-a＞c;4a+2b+c＞0;3a＞-c;a+b＞m(am+b)(m1的實(shí)數(shù)).其中正確結(jié)論的有( )

圖1

圖2

例2 【2018·湖南衡陽(yáng)中考數(shù)學(xué)題】如圖2,拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A(-1,0),頂點(diǎn)坐標(biāo)(1,n),與y軸的交點(diǎn)在(0,2),(0,3)之間(包含端點(diǎn)),則下列結(jié)論:3a+b＜0;-1≤a≤-;對(duì)于任意實(shí)數(shù)m,a+b≥am2+bm總成立;關(guān)于x的方程ax2+bx+c=n-1 有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.其中結(jié)論正確的個(gè)數(shù)為( )

A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)

圖3

圖4

例3【2015·烏魯木齊中考數(shù)學(xué)題】如圖3,拋物線y=ax2+bx+c的對(duì)稱軸是x=-1,且過(guò)點(diǎn)有下列結(jié)論:abc＞0;a-2b+4c=0;25a-10b+4c=0;3b+2c＞0;a-b≥m(am-b),其中所有正確的結(jié)論是____.(填寫正確結(jié)論序號(hào))

例4【2017·山東煙臺(tái)中考數(shù)學(xué)題】二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a0)的圖象如圖4所示,對(duì)稱軸是直線x=1,下列結(jié)論:ab＜0;b2＞4ac;+b+2c＜0;3a+c＜0.其中正確的是( )

例舉的這四道中考題是近年來(lái)非常流行的考查方式,但這種考查方式過(guò)度“解析化”,過(guò)度強(qiáng)調(diào)所謂的“數(shù)形結(jié)合”,學(xué)生并未從函數(shù)建模的本質(zhì)出發(fā),均是直接給定函數(shù)圖象與對(duì)稱軸或者交點(diǎn)坐標(biāo),讓學(xué)生判斷含有二次函數(shù)解析式系數(shù)的式子的范圍或取值.表面上考查了二次函數(shù)的解析式系數(shù)與圖象的關(guān)系,函數(shù)與方程,函數(shù)與不等式等相關(guān)知識(shí),但實(shí)則單純一味拼湊了一系列“套路”,掐頭去尾的設(shè)定,學(xué)生則為了解題而解題,對(duì)二次函數(shù)的來(lái)源和應(yīng)用關(guān)注不足,這種命題方向并未體現(xiàn)課標(biāo)中對(duì)“變量與函數(shù)”部分的本質(zhì)導(dǎo)向.

從課標(biāo)可以看出,二次函數(shù)的學(xué)習(xí)還是要源于生活,最終落實(shí)在能解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題,所以,基于課標(biāo)的二次函數(shù)命題應(yīng)更重視函數(shù)的應(yīng)用意識(shí)和綜合能力的考查.

2 回歸概念本質(zhì)看二次函數(shù)解題思路

由于中考試題的導(dǎo)向性,一線教師也有針對(duì)性的對(duì)此類二次函數(shù)的試題總結(jié)出了一整套的“套路”,比如:“一看開(kāi)口決定a,左同右異確定b,c看y軸的交點(diǎn)”等等,但這種方法往往是剝離了基礎(chǔ)概念,講解題而不講怎樣解題,不講如何想到這種解法,一味給學(xué)生灌輸某種已經(jīng)歸納概括后的揭發(fā)技巧,選取例題時(shí)也會(huì)往“偏、奇、巧”等方向偏移,不但沒(méi)有培養(yǎng)學(xué)生的能力,還會(huì)禁錮學(xué)生的思維,應(yīng)慢慢回歸本質(zhì),在解題思路方面要從函數(shù)解決問(wèn)題的本質(zhì)出發(fā),提高學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力.

比如上題也可以從二次函數(shù)的概念本質(zhì)出發(fā),將各種含二次函數(shù)解析式系數(shù)的式子回歸到對(duì)二次函數(shù)解析式的系數(shù)的分析上,只要能得到二次函數(shù)解析式,明確了系數(shù)之后,題目也自然豁然開(kāi)朗了.

例1 解設(shè)此拋物線與x軸的負(fù)半軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(t,0),則另一交點(diǎn)為(2-t,0),易知-1＜t＜0,設(shè)拋物線解析式為y=a(x-t)(x-2+t)

=ax2-2ax+t(2-t)a(a＜0)

∴a=a,b=-2a,c=t(2-t)a,

∵-1＜t＜0,

∴2-t＞0,

又∵a＜0,

∴abc＜0,故錯(cuò)誤;

∵a＜0,-1＜t＜0,

∴b-a-c＞0 故正確;

∵a＜0,m1,

∴-a(m-1)2＞0,故正確;故正確的為.

例2 解∵頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,n),與x軸一個(gè)交點(diǎn)為A(-1,0),則另一個(gè)交點(diǎn)為(3,0)

∴拋物線解析式為y=a(x+1)(x-3),即y=ax2-2ax-3a.

∴a=a,b=-2a,c=-3a.

∴2≤-3a≤3,-1≤a正確;

∵Δ=-4a＞0,正確.

例3 解∵對(duì)稱軸是x=1,與x軸交于點(diǎn)由對(duì)稱性易知另一個(gè)交點(diǎn)為

∴拋物線解析式為y=a即y=

∴a=a,b=2a,c=且a＜0.于是abc=a·2a·正確;

例4 解設(shè)拋物線與x軸負(fù)半軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(n,0)(易知-1＜n＜0)

∵對(duì)稱軸是x=1,

∴與x軸正半軸交點(diǎn)的坐標(biāo)為(2-n,0)則此拋物線解析式為y=a(x-n)(x-2+n),即y=ax2-2axan(n-2),

∴a=a,b=-2a,c=-an(n-2)

∵-1＜n＜0,

又∵a(＞0,

∴-2a

∴a+b+2c＜0,故正確;

第二種方法:2n2-4n+1=2(n-1)2-1,

∵-1＜n＜0,

∴1＜(n-1)2＜4,

∴1＜2(n-1)2-1＜7,

即當(dāng)-1＜n＜0時(shí),2n2-4n+1＞0,

∴-a(2n2-4n+1)＜0,故正確;

∵a＞0,-1＜n＜0,

∴n-3＜0,n+1＞0,

∴3a+c＞0,故錯(cuò)誤.

初中階段的函數(shù)概念是動(dòng)態(tài)的,重點(diǎn)在于運(yùn)動(dòng)變化的過(guò)程中變量之間的關(guān)系,在遇到實(shí)際問(wèn)題時(shí),需要學(xué)生主動(dòng)發(fā)現(xiàn)運(yùn)動(dòng)變化中的變量關(guān)系,在關(guān)系發(fā)現(xiàn)的過(guò)程中潛移默化的滲透數(shù)學(xué)抽象,模型思想,即便這幾題均沒(méi)有實(shí)際問(wèn)題的背景,但在教學(xué)過(guò)程中也要把問(wèn)題回歸到函數(shù)概念生成的原點(diǎn),關(guān)注二次函數(shù)概念的本質(zhì).上面解題使用的方法,拋離了總結(jié)的所謂“套路”,雖然看似解法變復(fù)雜了,但實(shí)則回歸了二次函數(shù)概念的本質(zhì),把此類問(wèn)題劃歸為對(duì)二次函數(shù)解析式的確定,明確二次函數(shù)解析式中的待定系數(shù),用更嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S和更規(guī)范的表達(dá),體會(huì)解決二次函數(shù)問(wèn)題的一般方法.