廣東省佛山市南海區(qū)藝術高級中學

1 找最大質數(shù)仍是世界難題

質數(shù)也叫素數(shù),指在一個大于1的自然數(shù)中,只能被自己和1整除的數(shù).大于1的自然數(shù),除了質數(shù)就是合數(shù).按照規(guī)定,1不算素數(shù)(也不是合數(shù)),最小的素數(shù)是2,其后依次是3、5、7、11 等等.素數(shù)是無窮多的.它們的分布距離是不均等的.目前我們掌握的素數(shù)很有限,因為數(shù)字越大,要發(fā)現(xiàn)新的素數(shù)就越困難.

因此,要找到一個大的素數(shù),往往需要巨量的計算,要分解和驗證它也是這樣.

“梅森素數(shù)”是一種有特殊形式的素數(shù),寫成2n-1的形式,尋找梅森素數(shù)是目前發(fā)現(xiàn)已知最大素數(shù)的最有效途徑.這個項目的全稱是“互聯(lián)網(wǎng)梅森素數(shù)大搜索”(The Great Internet Mersenne Prime Search,簡稱GIMPS),它始于1996年,由世界各地的志愿者自愿花時間計算梅森素數(shù).他們從GIMPS網(wǎng)站上下載免費軟件,當計算機閑置時,這個軟件就開始在數(shù)軸上進行梳理式計算.在已知的梅森素數(shù)中,有不少就是通過這個渠道找到的.

2017年12月26日,互聯(lián)網(wǎng)梅森素數(shù)大搜索(GIMPS)項目宣布發(fā)現(xiàn)第50個梅森素數(shù)和已知最大的素數(shù):277232917-1,共有23,249,425位.發(fā)現(xiàn)者是GIMPS志愿者Jonathan Pace,是一位電機工程師.

2018年12月7日,住在美國佛羅里達州奧卡拉市的Patrick Laroche也是通過GIMPS項目發(fā)現(xiàn)了第51個梅森素數(shù):(被稱為M82589933),共有24,862,048位[1].

為了研究素數(shù),數(shù)學家嘔心瀝血,從未止步.

對于尋找更大的素數(shù)問題,我經(jīng)歷了長期的探索,發(fā)現(xiàn)新方法(分段追尋法):先賦予(或說發(fā)掘)數(shù)字的空間和維度,把數(shù)字按空間分類(或說分段),然后從已知的質數(shù)出發(fā),找出合數(shù),排除合數(shù),得出更大的質數(shù).

2 數(shù)字的空間性

用數(shù)軸的點表示數(shù),實際是把數(shù)的幾何意義單一化,把所有實數(shù)同等化.在研究素數(shù)的問題上,應該挖掘數(shù)的更多幾何意義,就正自然數(shù)而言,不同區(qū)間的數(shù),幾何意義是不相同的,對應的點是不同空間的點,具有多樣化的[2].

我們把某些正自然數(shù)圖形化(如表1),從而理解數(shù)字的幾何意義.

表1

從數(shù)的幾何意義,我賦予(或說發(fā)現(xiàn))數(shù)字的空間性:

3 數(shù)字的維度性

我們知道,每個合數(shù)都可以寫成幾個質數(shù)相乘的形式,其中每個質數(shù)都是這個合數(shù)的因數(shù),叫做這個合數(shù)的分解質因數(shù).每個合數(shù)能夠且僅能夠被分解為唯一一組質因數(shù)的乘積.根據(jù)這原理,我們可以賦予(或說發(fā)現(xiàn))數(shù)字的維度:2=21,3=31,5=51,...,所有質數(shù)的維度是1;4=22,6=2×3,9=32,...,4,6,9的維度是2;8=23,12=22×3,...,8和12的維度是3.總之,一個合數(shù)的所有質因數(shù)的次數(shù)之和就是該合數(shù)的維度,合數(shù)的維度最小為2,質數(shù)的維數(shù)是1,1既不是質數(shù)也不是合數(shù),維度為0.

4 質數(shù)的分段追尋

根據(jù)數(shù)字的空間性,我把自然數(shù)進行分類和分段:

表3

依上表呈現(xiàn)的類別,逐段進行質數(shù)的追尋.下面,以3維空間數(shù)和4維空間數(shù)這兩段為例,說明追尋的方法.

例1已知:1和2維空間數(shù)的質數(shù)是2,3

求:3維空間數(shù)的質數(shù)個數(shù).

解第一步,確定三維空間數(shù)段區(qū)間端點22,23;

第二步,確定三維空間數(shù)5,6,7,8

第三步,確定三維空間數(shù)中的二維數(shù)(合數(shù)),質因子依次從小到大列舉,2×3,共1個,是6.

確定三維空間數(shù)中的三維數(shù)(合數(shù)),23,即右端點,共1個,是8.

第四步,確定三維空間數(shù)中質數(shù)的個數(shù):4-(1+1)=2.其中,4是三維空間數(shù)的個數(shù),1+1是第三步確定的合數(shù)個數(shù).完畢.

例2已知:1 至3維空間數(shù)的質數(shù)是2,3,5,7

求:4維空間數(shù)的質數(shù)

解第一步,確定四維空間數(shù)段區(qū)間端點23,24;

第二步,確定四維空間數(shù)9,10,11,12,13,14,15,16

第三步,確定四維空間數(shù)中的二維數(shù)(合數(shù)),質因子依次從小到大列舉,2×5,2×7,3×3,3×5,共4個,分別是10,14,9,15.

確定四維空間數(shù)中的三維數(shù)(合數(shù)),質因子依次從小到大列舉,22×3,共1個,是12.

確定四維空間數(shù)中的四維數(shù)(合數(shù)),24,即右端點,共1個,是16.

第四步,確定四維空間數(shù)中質數(shù)的個數(shù):8-(4+1+1)=2.其中,8是四維空間數(shù)的個數(shù),4+1+1是第三步確定的合數(shù)個數(shù).

第五步,通過比較四維空間數(shù)9,10,11,12,13,14,15,16和第三步找出的合數(shù)9,10,12,15,16.確定三維空間數(shù)中的質數(shù)是11和13.完畢.

同理,我們可以用例1和例2的方法解決下面的問題.

已知:在區(qū)間(0,24]的質數(shù)有2,3,5,7,11,13

求:在區(qū)間(24,25]的質數(shù)

5 世界難題的突破

上述的方法實際是把不同空間的1 維數(shù)(質數(shù))找出來.先通過質數(shù)相乘的辦法把合數(shù)確定,排除了合數(shù),就是質數(shù).改變了傳統(tǒng)的把數(shù)進行質因數(shù)分解.把做除法的工作改為做乘法的工作.

把數(shù)字空間化,實現(xiàn)了自然數(shù)的合理分類(分段).數(shù)字維度化,確保了列舉合數(shù)時不重復.按質因子依次從小到大順序列舉,確保了合數(shù)不遺漏.只要計算機給予足夠的運算支持,下面的世界難題就得以突破.

已知:在區(qū)間(0,282589933]的質數(shù)有2,3,5,……,M82589933.

求:在區(qū)間(282589933,282589934]的質數(shù)

解決了這一問題后,同理,可以求下一段(282589934,282589935]的質數(shù).這樣,我們就可以求出更多更大的質數(shù),沒有最大,只有更大.