張 旭 李晉斌

?(南京航空航天大學理學院，南京210016)

?(南京航空航天大學自動化學院，南京210016)

氣泡普遍存在于核反應堆、火箭推進燃料以及化學實驗等領域采用的液體材料[1]中。在振動條件下，這類液體材料會呈現(xiàn)出復雜的非線性渦流場[2-3]，并且伴隨著氣泡下沉現(xiàn)象，該現(xiàn)象對材料的性能及應用會產生較大影響。比如在液體火箭燃料的早期階段[4]，火箭起飛時的振動迫使燃料箱中的氣泡下沉到容器底部，使得底部壓強減小，壓力傳感器被觸發(fā)，進而導致火箭飛行時發(fā)生爆炸現(xiàn)象。因此，振動液體中氣泡運動規(guī)律的研究，對液態(tài)金屬動力裝置以及氣泡下沉過程中兩相流動的發(fā)展都有著重要的意義，受到越來越多國內外學者的關注。

氣泡在振動液體中運動時存在臨界位移X0，在X0以下的液體區(qū)域會發(fā)生氣泡下沉現(xiàn)象，而火箭燃料的低壓區(qū)正是氣泡運動到臨界位移以下時形成的。因此，對于振動液體中氣泡下沉運動規(guī)律的研究，前人主要關注下沉運動過程的臨界位移以及速度變化。根據(jù)流體力學原理，Sorokin等[5-6]建立了無靜壓力波情況下氣泡下沉效應的理論模型，并且推導出氣泡在流體中運動的平均速度公式。對于氣泡下沉原理的研究，Bleich和Blekhman分別從不同角度出發(fā)，分析了氣泡在不可壓縮無黏流體中的運動行為：Bleich[7]根據(jù)壓力梯度原理，提出氣泡下沉的“波誘導機制”；Blekhman 等[8-9]根據(jù)氣泡壓縮性原理，提出氣泡下沉的“振動誘導機制”。兩者的理論推導都著重強調了氣泡下沉的臨界位移X0，但由于流體內氣泡大小各異且體積形狀始終發(fā)生變化，因此實驗中X0界線的準確測量具有一定的難度。隨后Kana等[10]對Bleich的工作進行改進，提出了氣液系統(tǒng)的壓縮性和容器壁的彈性對氣泡運動的影響。Apshtein[11]描述了液體中氣泡群在垂直管內產生的垂直振蕩現(xiàn)象，對空氣進入液體的機理和單個微小氣泡的行為給出了解釋，研究了氣泡群的空化及聚集現(xiàn)象，著重分析了氣泡群的穩(wěn)定性，最后比較了實驗研究和理論計算的結果。Fritz 等[12]和Buchanan等[13]從理論和實驗方面，對氣泡在振動液體中的循環(huán)遷移運動進行了分析。尤明慶[14]提出，物體在液體中的平衡姿態(tài)與其長徑比有關。因此，在分析氣泡下沉過程的受力狀態(tài)時，應關注氣泡形變對其受力帶來的影響[15-17]。

本文采用數(shù)值模擬和實驗研究相結合的方法，通過對氣泡進行受力分析，研究多種振動條件下氣泡下沉運動的行為特性。采用氣泡壓縮性原理進行理論分析，并通過實驗研究不同激勵振幅、頻率對氣泡運動過程中臨界位移X0以及下沉速度的影響，總結氣泡在正弦振動液體中下沉運動行為的變化規(guī)律，為研究振動條件下氣液兩相流動提供一種思路。

1 氣泡下沉動力學分析

通常情況下，液體內部的氣泡受到浮力作用，會上升到液體表面。但當液體以特定的振幅、頻率振動時，會出現(xiàn)“反?！爆F(xiàn)象，即液體內的氣泡不再上升，而是在液體內懸浮，甚至下沉。氣泡的下沉現(xiàn)象與通常的上升現(xiàn)象有所不同，該現(xiàn)象會對液體的物質性能及應用產生顯著影響。

1.1 氣泡下沉機理

引發(fā)氣泡下沉現(xiàn)象的原因主要有兩個：一是壓力脈動，振動過程中壓力的周期性變化導致氣泡在一個振動周期內的體積和形狀發(fā)生變化，氣泡液膜受力不平衡，當壓力引起的向下加速度大于向上加速度時，氣泡向下運動；二是附加質量[18]，當氣泡通過流體加速時，氣泡所受的推力不僅要增加氣泡的動能，還要增加周圍流體的動能。此時需要有大于合外力ma的附加力，使氣泡有效質量增加，產生向下的加速度。

1.2 氣泡受力分析

假設氣泡為可壓縮性理想氣體，容器為剛性壁，且忽略氣泡間的相互作用力。則氣泡在振動液體中運動時，所受之力有重力、浮力、流體阻力、附加質量力以及液體正弦振動產生的脈動壓力，其中，附加質量力和脈動壓力的數(shù)量級較大，是影響氣泡下沉的主要因素。

當氣泡通過流體加速時，氣泡所受的推力要增加氣泡和周圍流體的動能。此時需要有額外的附加質量力，置換氣泡一半體積的液體，增大氣泡有效質量，產生向下的加速度。而增加的這部分質量就是附加質量matt[18]

其中，ρ為水的密度，R為氣泡的半徑，χ為球體附加質量系數(shù)，matt為氣泡附加質量，mf為氣泡體積下置換的水的質量。

綜合考慮氣泡在振動液體中運動時所受的重力、浮力、流體阻力、附加質量力以及脈動壓力，最終得氣泡受力方程等式[19]

其中，m為氣泡質量；matt為氣泡附加質量；C為流體阻力系數(shù)；V(x,t) 為氣泡體積；A為振幅；ω=2πf，ω為角頻率，f為頻率。

1.3 氣泡形態(tài)變化

Bleich 等[7]的理論分析建立在球形氣泡的理想狀況下，忽略了氣泡形變對下沉運動的影響。而實際情況下，在振動液體中運動的氣泡，其體積和形狀會隨周圍壓力的改變而發(fā)生明顯的變化，不再為理想球形狀態(tài)，會呈現(xiàn)橢球形或球冠形。

設氣泡的體積變化為等溫準靜態(tài)過程，水為不可壓縮性液體，因此容器內的液體均勻振動，脈動壓強為ρxAω2sinωt且處處相等。氣泡除受此脈動壓強作用外，還受到大氣壓強P(0,t)、與距離x有關的液體壓強ρgx以及表面張力產生的附加壓強2σ/R，因此，振動液體中氣泡所受總壓強為

壓強脈動導致氣泡在一個振動周期內體積脈動變化，根據(jù)理想氣體定律，此時氣泡體積為

其中，P(0,t)為大氣壓強；V(0,t)為氣泡液面處體積；σ為液體(水)表面張力系數(shù)。

氣泡在實際運動中所受的黏滯力、慣性力以及表面張力對氣泡形狀有很大影響，因此一般情況下氣泡為非球形狀態(tài)。閆紅杰等[15]提出使用韋伯數(shù)(We)表征氣泡形狀變化，當We<0.02時，氣泡為球形；當0.02< We <0.8 時，氣泡為橢球形；當We>0.8 時，氣泡形變進一步加大。

通過數(shù)值計算，本文得出在實驗振動條件下氣泡的We>0.2，因此應考慮振動液體中氣泡的體積和形狀變化。使用高速攝像機拍攝，發(fā)現(xiàn)氣泡體積越大，變形幅度越大，并且氣泡隨容器做似正弦運動時，其形狀隨x-t運動曲線呈現(xiàn)周期性變化，如圖1。

圖1 氣泡形狀隨正弦激勵的變化

當氣泡運動到波腹附近，氣泡上下表面壓力差較大，氣泡受壓變化，呈橢球形狀態(tài)或變形狀態(tài)，如圖1(a)和圖1(c)；當氣泡運動到波節(jié)附近，氣泡上下表面壓力差較小，氣泡受壓均勻，呈球形狀態(tài)，如圖1(b)和圖1(d)。并且氣泡運動到上波腹時，其下表面逐漸凹陷，曲率半徑變大，下表面處壓強變小，如圖1(a)；氣泡運動到下波腹時，其上表面逐漸凹陷，曲率半徑變大，上表面處壓強變小，如圖1(g)。這是由于氣泡具有壓縮性，當其周圍渦流場變化復雜時，液膜所受表面張力不平衡，且黏滯力、慣性力有所變化，導致氣泡受力不均勻，體積和形狀發(fā)生脈動變化。并且實驗發(fā)現(xiàn)氣泡體積和形狀的脈動與正弦激勵脈動有直接關系，呈現(xiàn)周期性變化。

2 “快慢運動”模型及數(shù)值模擬

為準確表征氣泡下沉運動過程，采用分離變量法對氣泡運動方程(2)進行求解。求解發(fā)現(xiàn)氣泡并非勻速或勻加速下沉而是震蕩式下沉，即氣泡下沉過程為時均運動(總運動趨勢)以及脈動運動(正弦運動)的疊加，如圖2。

以Blekhman 等[8-9]推導的“快慢運動模型”為基礎，從“振動”的角度分析氣泡下沉運動狀態(tài)。使用振動力學的概念和運動直接分離的方法[20]，分析氣泡運動行為，求出了“快慢運動”方程的解。其中，“快運動”即為氣泡下沉脈動運動，“慢運動”即為氣泡下沉時均運動。因此，氣泡的運動方程式可寫成

圖2 氣泡下沉運動數(shù)值模擬曲線

圖2為Matlab數(shù)值模擬的氣泡下沉的距離與時間的關系曲線，可見氣泡在做“慢運動”下沉的同時，也在做正弦“快運動”，“快運動”的振幅為B，虛線斜率為慢運動速度(t)，并且“慢運動”決定氣泡整體運動狀態(tài)。

2.1 “快運動”模型

快運動方程[20]為

其中，matt為氣泡附加質量。

使用諧波平衡法可求出“快運動”方程(7)的近似解

此處B和φ都是常數(shù)，又因為因此得氣泡“快運動”振幅B的表達式

本研究的不足之處是未分析HSP27表達對骨髓瘤患者接受BTZ治療后療效和預后的影響，這是后續(xù)研究的內容之一。總之，本研究揭示了HSP27通過負反饋機制介導骨髓瘤對BTZ耐藥，深化了對骨髓瘤耐藥機制的認識，為靶向HSP家族蛋白治療MM提供了新的治療靶點和體外實驗依據(jù)。

其中，χ是附加質量系數(shù)，ψ∞≡0.2。

“快運動”為氣泡下沉瞬間的脈動運動，即正弦運動。氣泡的“快運動”過程受外界激勵振幅、激勵頻率的影響較大，其運動振幅B接近于激勵振幅A，其運動頻率與激勵頻率相一致。

2.2 “慢運動”模型

慢運動方程[20]為

根據(jù)式(10)可得氣泡下沉的條件為

假設氣泡“慢運動”加速度很小，對其“慢運動”速度，可確定以下近似表達式

其中剛性氣泡“慢運動”速度的絕對值

氣泡“慢運動”速度的正負代表氣泡的下降上升狀態(tài)，如圖3。當X=X0時,氣泡“慢運動”速度˙X=0，氣泡懸浮在臨界位移X0處；當X X0時， ˙X >0，氣泡下沉。

圖3 氣泡下沉、懸浮、上升時間–位移數(shù)值模擬曲線

2.3 數(shù)值模擬分析

氣泡是否下沉取決于位移X和臨界位移X0的關系，而根據(jù)式(12)可知外界激勵振幅和頻率是影響X0變化的主要因素，因此，本文使用Matlab 對不同振幅、頻率條件下的氣泡下沉運動做初步定性分析。圖4(a)和圖4(b)分別為臨界位移X0與振幅A、頻率f的關系圖象，可見氣泡下沉的臨界位移X0隨振幅和頻率的增加而減小。并且在曲線臨界位移X0以上的區(qū)域，由于X > X0，會發(fā)生氣泡下沉現(xiàn)象；在曲線臨界位移X0以下的區(qū)域，由于X

圖4 臨界位移X0 與振幅A、頻率f 的關系曲線

式(13)和式(14)表示，氣泡下沉過程的速度取決于位移X和臨界位移X0的關系，并且外界激勵振幅和頻率影響下沉速度的大小。本文使用Matlab數(shù)值模擬不同振幅、頻率下氣泡下沉運動曲線，比較不同條件下氣泡下沉速度大小，如圖5(a)和圖5(b)。

圖5(a)和圖5(b)分別為不同振幅、頻率下氣泡下沉時間–位移曲線，并且曲線的整體斜率為“慢運動”速度。由圖5 可見，氣泡下沉的“慢運動”速度隨振幅和頻率的增加而增加。

3 實驗分析

3.1 氣泡運動分析

實驗使用每秒240 幀的高速攝像機拍攝氣泡下沉運動的過程，視頻導入到Tracker分析軟件中，數(shù)據(jù)分析氣泡下沉運動行為，如圖6。

由圖6 可見，氣泡實際運動過程與理論分析相一致，下沉過程存在“快慢運動”，即氣泡在做整體下沉運動的同時也做小幅度正弦振動。

根據(jù)式(2)，使用Matlab 數(shù)值模擬正弦振動激勵振幅2.5 mm，頻率40 Hz 條件下，半徑為1 mm的氣泡的下沉運動曲線。使用Tracker 追蹤半徑為1.015 mm的氣泡在此激勵條件下的運動狀態(tài)，分析實驗與理論的運動軌跡，如圖7 所示。實驗曲線大致符合理論曲線，驗證了理論的正確性。

圖5 不同振幅、頻率下氣泡下沉時間–位移運動曲線

圖6 氣泡下沉現(xiàn)象Tracker 分析圖

圖7 氣泡下沉理論與實驗的時間–位移曲線

為準確追蹤氣泡運動軌跡，實驗使用每秒960幀的慢動作拍攝，避免Tracker 因取點個數(shù)太少導致誤差較大。圖8 為960 幀慢動作拍攝下氣泡和激勵的運動曲線，使用Tracker 進行數(shù)據(jù)分析時發(fā)現(xiàn)，氣泡下沉過程中氣泡脈動振幅B大于外界激勵振幅A，并且氣泡脈動和外界激勵始終存在小幅度相移差，氣泡先于外界激勵運動。宋禹林等[21]在晃蕩條件下氣泡上升的研究中也發(fā)現(xiàn)了這一現(xiàn)象，這是因為氣泡在受到外界激勵的基礎上，還受到來自于空氣和水的密度差提供的驅動，這使得氣泡所受驅動力更大，速度變化更早、更快。

圖8 氣泡與激勵運動的時間–位移對比曲線

3.2 振幅、頻率對氣泡下沉運動的影響

初步預實驗下發(fā)現(xiàn)，外界激勵振幅越大、激勵頻率越高，氣泡越容易發(fā)生下沉現(xiàn)象。圖9(a)和圖9(b)是半徑為0.5 mm 的氣泡分別在激勵頻率70 Hz、激勵振幅1 mm 條件下臨界位移X0的變化曲線，并且將Matlab數(shù)值模擬公式(12)的結果與實際測量X0的結果對比。由圖可見，隨著激勵振幅、頻率的變大，臨界位移X0明顯變小。并且當振幅、頻率過大時，氣泡所受脈動加速度Aω2sinωt較大，因此氣泡在較小的位移處會發(fā)生下沉現(xiàn)象。

圖9 不同激勵振幅A、頻率f 下氣泡臨界位移X0 變化曲線

4 小結與展望

本文從流體動力學角度分析氣泡下沉現(xiàn)象的機理，數(shù)值模擬單個氣泡在振動液體中的運動，并通過實驗進一步分析氣泡下沉的原因及其影響因素。對氣泡進行動力學分析，研究其受力狀況，得出氣泡下沉的原因是壓力脈動和附加質量。而壓力脈動導致氣泡體積脈動，因此需要考慮下降過程氣泡的形變規(guī)律。采用分離變量法研究氣泡運動過程，并結合Matlab 數(shù)值模擬和實驗測量，分析激勵振幅、頻率對氣泡下沉過程的影響。數(shù)值模擬發(fā)現(xiàn)振幅、頻率越大，氣泡越容易下沉，且下沉的臨界位移越小，下沉速度越大，這與實驗測量結果一致。

實驗觀察到在振動的高頻階段，容器中出現(xiàn)大量的氣泡團簇，該現(xiàn)象與駐波場內Bjerknes 力效應導致的空泡潰滅有關，后續(xù)將對此展開深入研究。未來工作將考慮彈性壁和氣泡間的相互作用，對單個氣泡的分析擴展到多個氣泡，并研究氣泡下沉對化學儀器安全性的影響。

致謝感謝陳一鑫、董詩馳等人的討論，感謝南京航空航天大學振動所提供場地、儀器等。