劉興祥，劉娟娟，張 婧

(延安大學(xué) 數(shù)學(xué)與計算機(jī)科學(xué)學(xué)院，陜西 延安 716000)

幻陣學(xué)對研究代數(shù)的前沿問題有很大價值和影響，其中幻陣學(xué)的分支——弱幻方的定義及其代數(shù)系統(tǒng)前人還沒有研究過。本文在幻陣學(xué)及抽象代數(shù)[1-7]的基礎(chǔ)上，提出弱幻方的代數(shù)系統(tǒng)，對于豐富幻陣學(xué)與代數(shù)的研究內(nèi)容，完善幻陣學(xué)與代數(shù)的框架體系具有重要意義。

1 弱幻方的相關(guān)定義

定義1 設(shè)F是數(shù)域，如果矩陣A=(aij)n×n滿足

則稱矩陣A稱為數(shù)域F上的n階弱和幻方，并稱Sw為數(shù)域F上n階弱和幻方A的弱幻和。

定義2 設(shè)F是數(shù)域，如果矩陣A=(aij)n×n∈Fn×n滿足

則稱矩陣A稱為數(shù)域F上的n階和幻方，并稱Sm為數(shù)域F上n階和幻方A的幻和。

定義3 設(shè)F是數(shù)域，如果矩陣A=(aij)n×n∈Fn×n滿足

則稱矩陣A稱為數(shù)域F上的n階弱積幻方，并稱pw為數(shù)域F上n階弱積幻方A的弱幻積。

定義4 設(shè)F是數(shù)域，如果矩陣A=(aij)n×n∈Fn×n滿足

則稱矩陣A稱為數(shù)域F上的n階積幻方，并稱pm為數(shù)域F上n階積幻方A的幻積。

定義5 設(shè)F是數(shù)域，如果矩陣A=(aij)n×n∈Fn×n滿足

則稱矩陣A稱為數(shù)域F上的n階弱和弱積幻方，并稱pw為數(shù)域F上n階弱和弱積幻方的弱幻積，Sw為數(shù)域F上n階弱和弱積幻方的弱幻和。

定義6 設(shè)F是數(shù)域，如果矩陣A=(aij)n×n∈Fn×n滿足

則稱矩陣A稱為數(shù)域F上的n階和積幻方，并稱p為數(shù)域F上n階和積幻方的幻積，S為數(shù)域F上n階和積幻方的幻和。

2 弱幻方的代數(shù)系統(tǒng)研究

定理1 設(shè)(S,+)是一個代數(shù)系統(tǒng)(半群、交換半群、群、交換群)，Mn(S)={A|A∈Sn×n，A是n階弱和幻方}，對于Mn(S)中的矩陣定義如下二元運算⊕：?A,B∈Mn(S),A⊕B=(aij+bij)n×n，則(Mn(S),⊕)是一個代數(shù)系統(tǒng)(半群、交換半群、群、交換群)。

證明對?A=(aij)n×n∈Mn(S),

?B=(bij)n×n∈Mn(S),?C=(cij)n×n∈Mn(S)，

A⊕B=(aij+bij)n×n∈Mn(S)且

故所給二元運算⊕在Mn(S)上滿足封閉性。

(A⊕B)⊕C=(aij+bij)n×n⊕(cij)n×n=

(aij+bij+cij)n×n=(aij)n×n⊕(bij+cij)n×n=

A⊕(B⊕C)，

故所給二元運算⊕在Mn(S)上滿足結(jié)合律，因此Mn(S)是半群。

?A∈Mn(S)，

因此O是Mn(S)中非零元A的單位元。

?A∈Mn(S)，

-A⊕A=(-aij)n×n⊕(aij)n×n=

(-aij+aij)n×n=(0)n×n=O，

因此-A是Mn(S)中非零元A的逆元，因次(Mn(S),⊕)是群。

又因為矩陣加法對于交換律成立，即(Mn(S),⊕)是交換群。

(S,+)是一個代數(shù)系統(tǒng)，則(Mn(S),⊕)是一個代數(shù)系統(tǒng)證明完畢，其他證明同理可證。

推論1 設(shè)(S,+)是一個代數(shù)系統(tǒng)(半群、交換半群、群、交換群)，Mn(S)={A|A∈Sn×n，A是n階和幻方}，對于Mn(S)中的矩陣定義如下二元運算⊕：?A,B∈Mn(S),A⊕B=(aij)n×n⊕(bij)n×n=(aij+bij)n×n，則(Mn(S),⊕)是一個代數(shù)系統(tǒng)(半群、交換半群、群、交換群)。

銀行需加大產(chǎn)品租借的宣傳和銷售力度，提升市場營銷人員的素質(zhì)和專業(yè)知識，根據(jù)不同客戶群的金融需求和銀行自身實際情況來確定產(chǎn)品的不同組合，從而有效提高整體的營銷和銷售效果[8]。其次，應(yīng)更深層次地進(jìn)行產(chǎn)品多樣化和專業(yè)化，促進(jìn)交叉銷售。一方面，城市商業(yè)銀行要根據(jù)金融資源優(yōu)劣勢來對已有的金融服務(wù)和業(yè)務(wù)的功能和品種進(jìn)行整合和完善；另一方面，要加強(qiáng)產(chǎn)品創(chuàng)新，為客戶提供具有銀行自身特色的個性化服務(wù)。

證明對?A=(aij)n×n∈Mn(S),

?B=(bij)n×n∈Mn(S),?C=(cij)n×n∈Mn(S)，

?A∈Mn(S)，

因此E是Mn(S)中非零元A的單位元即幺元。

?A,B∈Mn(S)，

證明對?A=(aij)n×n∈Mn(S),

?B=(bij)n×n∈Mn(S),

?C=(cij)n×n∈Mn(S)，

A⊕B=(aij+bij)n×n∈Mn(S)且

故所給二元運算⊕在Mn(S)上滿足封閉性。

(A⊕B)⊕C=(aij+bij)n×n⊕(cij)n×n=

(aij+bij+cij)n×n=(aij)n×n⊕(bij+cij)n×n=

A⊕(B⊕C)，

?A∈Mn(S)，

O⊕A=(0)n×n⊕(aij)n×n=(0+aij)n×n=A，

因此O是Mn(S)中非零元A的單位元。

?A∈Mn(S),

-A⊕A=(-aij)n×n⊕(aij)n×n=

(-aij+aij)n×n=(0)n×n=O，

?A∈Mn(S)，

因此E是Mn(S)中非零元A的單位元即幺元。

?A,B∈Mn(S)，