陳鐵松
(長春吉大附中實(shí)驗(yàn)學(xué)校 吉林 長春 130021)
在研究碰撞問題中,引入恢復(fù)系數(shù)后,恢復(fù)系數(shù)成為求解碰撞問題的關(guān)鍵參數(shù)之一. 許多教材中關(guān)于恢復(fù)系數(shù)的引入情景都類似,即在光滑水平面上可以看成質(zhì)點(diǎn)的自由二體碰撞過程中,給出恢復(fù)系數(shù)的定義.對于彈性碰撞過程,由動量守恒和動能不變可求得碰撞前后兩個質(zhì)點(diǎn)的相對速度大小相等,即恢復(fù)系數(shù)等于1. 對于不可看作質(zhì)點(diǎn)的做平面平行運(yùn)動的剛體發(fā)生彈性碰撞,碰撞前后碰撞點(diǎn)沿碰撞力方向的相對速度大小相等是否還適用,教材中都沒有明確指出這一點(diǎn),導(dǎo)致學(xué)生對彈性碰撞問題的規(guī)律認(rèn)識不夠深入,求解問題時(shí)考慮不夠全面或陷入復(fù)雜的數(shù)學(xué)運(yùn)算.
本文證明了兩個做平面平行運(yùn)動的剛體發(fā)生彈性碰撞過程中,發(fā)生碰撞的兩點(diǎn)在碰撞力的方向上相對速度大小相等,這個結(jié)論與碰撞前后系統(tǒng)動能不變是等價(jià)的,并用此結(jié)論求解一道物理競賽題目,很容易得出結(jié)果.
如圖1所示,表面呈幾何光滑的兩個剛體在光滑的水平面上運(yùn)動,參考系選擇為地面.某時(shí)刻兩個剛體發(fā)生彈性碰撞.設(shè)剛體1的質(zhì)量為m1,繞質(zhì)心運(yùn)動的轉(zhuǎn)動慣量為J1,質(zhì)心初速度大小為v10,初始角速度大小為ω10,剛體2的質(zhì)量為m2,繞質(zhì)心運(yùn)動的轉(zhuǎn)動慣量為J2,質(zhì)心初速度大小為v20,初始角速度大小為ω20;碰撞后剛體1的質(zhì)心速度大小為v1,角速度大小為ω1,剛體2的質(zhì)心速度大小為v2,角速度大小為ω2,各個矢量的方向如圖1標(biāo)注所示.為了數(shù)學(xué)處理簡單且不失一般性質(zhì),我們假設(shè)兩個剛體質(zhì)心的初速度方向相反,且碰撞點(diǎn)的法線方向與它們各自的質(zhì)心初速度方向相同.
圖1 兩個不可看作質(zhì)點(diǎn)的剛體發(fā)生彈性碰撞
假設(shè)碰撞過程中,兩個剛體間的沖量大小為I,由動量守恒
-I=m1v1-m1v10I=m2v2-(-m2v20)
(1)
對剛體質(zhì)心的沖量矩定理
Ir1=J1ω1-J1ω10Ir2=J2ω2-(-J2ω20)
(2)
兩個剛體彈性碰撞,接近速度等于遠(yuǎn)離速度
v10-ω10r1-(-v20-ω20r2)=
v2+ω2r2-(v1-ω1r1)
(3)
由式(1)、(2)、(3)解得
碰撞后兩個剛體的總動能
(-Ir1ω10+Ir2ω20+Iv10+Iv20)]
代入I的表達(dá)式后得
(-Ir1ω10+Ir2ω20+Iv10+Iv20)=0
即彈性碰撞前后,兩個剛體系統(tǒng)的總動能保持不變.
【題目】由絕對剛性的輕桿連接兩個很小的重球組成“啞鈴”,以速度v0沿垂直于靜止不動的光滑墻面平動,并且“啞鈴”的軸與墻面成45°角,如圖2所示.問當(dāng)“啞鈴”與墻面發(fā)生彈性碰撞后將怎樣運(yùn)動?
圖2 題目情境圖
這是一道關(guān)于碰撞的競賽題,題目的情景對學(xué)生來說非常的熟悉,解題切入點(diǎn)也很容易找到.球A與墻壁發(fā)生彈性碰撞過程,由于有輕桿的束縛作用,不能簡單地把球A看成質(zhì)點(diǎn),所以大多數(shù)學(xué)生都是采用動量守恒和能量守恒相結(jié)合的方式完成題目的求解,參考書中也是采用這個思路求解的.但是采用這種方法求解不可避免地要去求解二次方程,計(jì)算量會比較大.下面應(yīng)用剛體彈性碰撞中碰撞點(diǎn)的恢復(fù)系數(shù)為1的結(jié)論結(jié)合“啞鈴”系統(tǒng)碰撞前后角動量守恒求解本題.
設(shè)球A與墻壁發(fā)生碰撞后,“啞鈴”系統(tǒng)質(zhì)心的速度大小為v1,兩球繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動的角速度為ω,應(yīng)用本文結(jié)論,球A與墻壁發(fā)生彈性碰撞,碰撞點(diǎn)恢復(fù)系數(shù)為1,即分離速度大小等于接近速度大小
對“啞鈴”系統(tǒng)由角動量守恒得
以上兩式子聯(lián)立解得
利用動量守恒和角動量定理,并結(jié)合彈性碰撞過程中碰撞點(diǎn)在碰撞力的方向上碰撞前后相對速度的大小相等,即恢復(fù)系數(shù)等于1這個結(jié)論,推導(dǎo)得出彈性碰撞前后,兩個剛體系統(tǒng)的總動能保持不變.上述分析中,平面平行運(yùn)動的剛體的速度方向、角速度方向的假設(shè)具有任意性,所以這個結(jié)論在剛體平面平行運(yùn)動的碰撞過程中是普遍成立的,該結(jié)論在處理平面平行運(yùn)動剛體的彈性碰撞問題時(shí)具有一定的參考價(jià)值.