(江蘇省蘇州工業(yè)園區(qū)星海實(shí)驗(yàn)中學(xué) 215100)

著名心理學(xué)家克魯捷茨基等通過實(shí)證研究證實(shí)：抽象概括能力是數(shù)學(xué)能力的核心，具有較強(qiáng)抽象概括能力的學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中很容易體驗(yàn)成功．[1]數(shù)學(xué)抽象作為數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)之首，是指通過對數(shù)量關(guān)系與空間形式的抽象，得到數(shù)學(xué)研究對象的素養(yǎng)．主要包括：從數(shù)量與數(shù)量關(guān)系、圖形與圖形關(guān)系中抽象出數(shù)學(xué)概念及概念之間的關(guān)系，從事物的具體背景中抽象出一般規(guī)律和結(jié)構(gòu)，并用數(shù)學(xué)語言予以表征．[2]數(shù)學(xué)抽象是獲得數(shù)學(xué)概念、提出數(shù)學(xué)命題、形成數(shù)學(xué)思想的主要表現(xiàn)形式．在數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng)的形成過程中，學(xué)生能進(jìn)一步發(fā)展數(shù)學(xué)抽象能力，能積累從具體到抽象的活動經(jīng)驗(yàn)，能夠運(yùn)用數(shù)學(xué)抽象的思維方式思考并解決問題．

中學(xué)教學(xué)中，教師往往過于強(qiáng)調(diào)題型與解題的技巧，卻忽視了對數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的提升．培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力是個(gè)循序漸進(jìn)的過程．因此，在我們?nèi)粘５慕虒W(xué)中，應(yīng)將培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象能力有意識、有計(jì)劃、有目的地貫穿于課堂教學(xué)，慢慢滲透和灌輸，把發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力與課標(biāo)要求有機(jī)結(jié)合，逐步提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)．本文以“任意角的三角函數(shù)”為例，談?wù)勗诟拍罱虒W(xué)中引導(dǎo)學(xué)生開展數(shù)學(xué)抽象活動，展現(xiàn)數(shù)學(xué)思維過程，并提升學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)．

1 教材分析

“任意角的三角函數(shù)”是蘇教版必修4第二章第一節(jié)中的內(nèi)容，本節(jié)課具有承上啟下的重要作用．一方面是對函數(shù)概念的加深，從數(shù)到數(shù)的映射“升級”為數(shù)到比值的映射；另一方面，也為后續(xù)學(xué)習(xí)同角三角函數(shù)關(guān)系、誘導(dǎo)公式等做好鋪墊．本節(jié)課的重點(diǎn)是任意角三角函數(shù)概念的抽象過程，引入概念的必要性和合理性是教學(xué)的關(guān)鍵，從函數(shù)的概念理解三角函數(shù)的定義是教學(xué)的難點(diǎn)．下節(jié)將通過有向線段和數(shù)量的概念來研究任意角三角函數(shù)定義的幾何表示．

教學(xué)目標(biāo)(1)掌握任意角三角函數(shù)的定義，理解三角函數(shù)是以實(shí)數(shù)為自變量的函數(shù)，并通過定義明確正余弦、正切的定義域以及在各象限的符號；(2)通過銳角三角函數(shù)定義到任意角三角函數(shù)定義的推廣，體會概念的抽象過程；(3)制造矛盾情境，培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的能力．

教學(xué)重點(diǎn)任意角的三角函數(shù)的定義．

教學(xué)難點(diǎn)任意角的三角函數(shù)定義的抽象過程．

2 教學(xué)過程

2.1 引申鋪墊，創(chuàng)設(shè)情境

師：在初中，我們學(xué)習(xí)過銳角的正弦、余弦、正切值，下面我們?nèi)我猱嫵鲆粋€(gè)銳角(圖1)．

問題1你能求出該銳角α(圖1)的正弦、余弦、正切值嗎？

師：也就是說我們通過構(gòu)造直角三角形，然后量出它的對邊、鄰邊以及斜邊的長度，這樣就可以求得該銳角的正弦、余弦、正切值了．

圖1 圖2

問題2當(dāng)點(diǎn)P在射線OA上變化時(shí)，銳角α的正弦、余弦、正切值是否會發(fā)生改變？

學(xué)生思考，小組討論．

教師先通過幾何畫板在圖形上直觀地加以演示．不難發(fā)現(xiàn)，當(dāng)點(diǎn)P在射線OA上變化時(shí)，正弦、余弦、正切值均不發(fā)生改變．

問題3再請同學(xué)們思考，能否從數(shù)的角度加以證明？

生：可以通過三角形相似來證明.在射線OA上再取一點(diǎn)M，不同于點(diǎn)P，過點(diǎn)M作MN⊥OB，垂足為N，則可以得到△OPQ∽△OMN，所以角α的正弦、余弦、正切值均不發(fā)生改變．

問題4當(dāng)銳角α的大小發(fā)生變化時(shí)，這三個(gè)比值是否會隨之改變？

學(xué)生思考后，匯報(bào)小組討論成果．

教師先通過幾何畫板演示，發(fā)現(xiàn)當(dāng)銳角α的大小發(fā)生變化時(shí)，這三個(gè)比值隨之改變．即當(dāng)α為銳角時(shí)，三個(gè)比值隨α的變化而變化，且對于α的每一個(gè)確定值，這三個(gè)比值都唯一確定，不會隨點(diǎn)P在射線上的移動而變化．

設(shè)計(jì)意圖引導(dǎo)學(xué)生從函數(shù)的觀點(diǎn)來認(rèn)識這三個(gè)比值，即它們分別是以角α為自變量、以比值為函數(shù)值的函數(shù)．

問題5若α為任意角，怎樣定義任意角α的三角函數(shù)呢？

師：前面我們學(xué)習(xí)過銳角、直角、鈍角、平角以及周角，并借助直角坐標(biāo)系推廣到任意角，即當(dāng)角的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，角的始邊在x軸的非負(fù)半軸，通過角的終邊位置給出了任意角的概念．那么，我們能否在直角坐標(biāo)系下定義任意角的三角函數(shù)？

師(追問)：首先我們一起在直角坐標(biāo)系下，重新研究一下銳角三角函數(shù)的定義．

圖3

設(shè)計(jì)意圖為了實(shí)現(xiàn)銳角到任意角的推廣，在學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)構(gòu)建橋梁，既與初中的定義相符，又能自然而然地實(shí)現(xiàn)知識的遷移，此處是突破任意角三角函數(shù)概念的難點(diǎn)之一．

圖4

問題6若角α的終邊落在了第二象限(圖4)，能否用類似方法定義α的三角函數(shù)呢？

師：如果角α的終邊落在了第三象限、第四象限呢？

設(shè)計(jì)意圖從知識沖突中尋找研究問題的新方向，讓學(xué)生經(jīng)歷在知識的生成中所產(chǎn)生的問題，參與新問題的思考與解決，在思維的碰撞中獲取新的靈感．

師：那么請大家驗(yàn)證一下，此時(shí)是否符合函數(shù)的定義呢？

設(shè)A，B是兩個(gè)非空的數(shù)集，如果對于集合A中的任意一個(gè)元素，在集合B中都有唯一的元素與之對應(yīng)，則稱為從A到B的函數(shù)．

師：角的終邊一定落在四個(gè)象限嗎？

2.2 知識建構(gòu)，形成概念

2.3 數(shù)學(xué)運(yùn)用，演練提升

例2已知角α的終邊經(jīng)過點(diǎn)P(2,-3)，求角α的正弦、余弦、正切值．

師：能否改變題中的條件，再求解角α的三角函數(shù)值？

生1：可以讓角α的終邊落在坐標(biāo)軸上.

生2：讓角α的終邊經(jīng)過點(diǎn)P(2a,-3a)(a≠0).

生3：讓角α的終邊落在直線3x+ 2y=0上．

設(shè)計(jì)意圖通過例題及開放性問題的探究， 讓學(xué)生在變與不變中深刻理解概念的本質(zhì)，重現(xiàn)概念的抽象過程；再利用投影展示學(xué)生的解題過程，在示范與糾錯(cuò)中深化對概念內(nèi)涵的理解和外延的辨析．

例3利用提供的量角器、尺規(guī)、計(jì)算器完成下列操作：

設(shè)計(jì)意圖通過設(shè)計(jì)活動和實(shí)驗(yàn)，讓學(xué)生分組操作、交流互動、動手探究，旨在通過一正一反的應(yīng)用讓學(xué)生深刻體會“長度比”與“坐標(biāo)比”的區(qū)別與聯(lián)系，同時(shí)也為后續(xù)學(xué)習(xí)任意角的三角函數(shù)定義的幾何表示做好鋪墊．

2.4 課堂小結(jié)，回顧提煉

(1)本堂課學(xué)習(xí)了什么概念？解決了什么問題？

(2)從中體會到了哪些數(shù)學(xué)思想方法以及研究問題的方法？

設(shè)計(jì)意圖引導(dǎo)學(xué)生從知識結(jié)構(gòu)、研究思路、數(shù)學(xué)思想等方面對本節(jié)課的內(nèi)容進(jìn)行回顧總結(jié)．三角函數(shù)的定義簡單易記，但更重要的是掌握概念的抽象過程以及獲取新知識的方法，這樣才能真正地理解概念．

2.5 課外作業(yè)，鞏固提高(略)

3 教學(xué)思考

3.1 關(guān)注概念自然生成

概念的生成過程不僅能完善知識結(jié)構(gòu)，更能培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)的抽象思維方式思考并解決問題．在“任意角的三角函數(shù)”一課的概念建構(gòu)過程中，筆者利用學(xué)生原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)與新概念之間的矛盾去制造一種恰當(dāng)?shù)慕虒W(xué)情境，激發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突并不斷提出問題，引導(dǎo)學(xué)生解決問題，并留有時(shí)間讓學(xué)生獨(dú)立思考、合作探究，將所得到的結(jié)論用數(shù)學(xué)語言、符號語言、圖形語言加以表示，讓學(xué)生體會概念的合理性，從而在思維碰撞的過程中促進(jìn)思維的深度參與，完成概念的自然生成．

3.2 關(guān)注變式探究模式

所謂變式，是指教師引導(dǎo)學(xué)生對所給的條件進(jìn)行觀察、分析，進(jìn)行恰當(dāng)?shù)母木?、推廣，將原題與變題的條件與結(jié)論進(jìn)行對比，抽象概括為同一解題方法，在變化中找尋數(shù)學(xué)規(guī)律，展示知識的發(fā)生發(fā)展過程，它有利于學(xué)生構(gòu)建數(shù)學(xué)體系，理解概念本質(zhì)．課堂教學(xué)中，教師應(yīng)不失時(shí)機(jī)地讓學(xué)生參與題目的探究活動，通過改編題目、解答題目來發(fā)現(xiàn)規(guī)律，有利于培養(yǎng)學(xué)生的探索精神和創(chuàng)新意識，提升數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)．筆者在例2直接利用概念求解任意角的三角函數(shù)后，設(shè)計(jì)了這樣一個(gè)探究點(diǎn)：讓學(xué)生適當(dāng)改變條件來求解三角函數(shù)．學(xué)生分組討論，最后給出了三個(gè)變式及其解答．通過這樣的變式教學(xué)，學(xué)生再次經(jīng)歷了知識的生成過程，理解了概念的本質(zhì)屬性，也只有掌握了規(guī)律性的知識才能實(shí)現(xiàn)知識的遷移，才能在變與不變中發(fā)現(xiàn)本質(zhì)、觸類旁通，真正提升抽象能力．

3.3 關(guān)注學(xué)習(xí)內(nèi)化過程

內(nèi)化，是將看、聽、想等思維觀點(diǎn)經(jīng)內(nèi)證實(shí)踐所領(lǐng)悟出的具有客觀價(jià)值的認(rèn)知體系．而內(nèi)化的過程正是學(xué)生自我反思、自我提高、自我升華的過程．作為教師，我們追求的不僅僅是讓學(xué)生掌握教材中的概念定理等，更要引領(lǐng)學(xué)生去探究背后所隱藏的數(shù)學(xué)思維，當(dāng)把這種思維真正內(nèi)化為自己的思維方式的時(shí)候，學(xué)生思考問題就會全面而縝密．

學(xué)習(xí)的內(nèi)化過程是提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的最終體現(xiàn)．課堂上，教師要關(guān)注學(xué)習(xí)的內(nèi)化過程，要根據(jù)探究目標(biāo)有效地安排活動流程、展示成果與評價(jià)，讓學(xué)生積極主動地參與，通過實(shí)驗(yàn)與交流互動有效地促進(jìn)學(xué)習(xí)內(nèi)化．?dāng)?shù)學(xué)不僅僅是知識的簡單累積，更是一種創(chuàng)造性的活動．因此，教師要有足夠的耐心，要給與學(xué)生充分的思考，讓學(xué)生經(jīng)歷“再創(chuàng)造”的過程．本節(jié)課中，筆者在“任意角的三角函數(shù)”的概念抽象出來之后，讓學(xué)生利用量角器、尺規(guī)、計(jì)算器任意作出一個(gè)角并估算三角函數(shù)值，以及已知三角函數(shù)值畫出該角，這樣的設(shè)計(jì)旨在通過自主動手實(shí)驗(yàn)，讓學(xué)生再次體驗(yàn)任意角三角函數(shù)概念的抽象過程，并深刻體會“長度比”與“坐標(biāo)比”的區(qū)別與聯(lián)系，加深對概念內(nèi)涵及外延的理解．學(xué)生既增加了學(xué)習(xí)興趣，又體會到了探究的方法，從而幫助學(xué)生多角度地理解概念、多途徑地探索數(shù)學(xué)，將數(shù)學(xué)內(nèi)化成為自己的思維，真正理解數(shù)學(xué)的本質(zhì)．