錢(qián)林方, 陳光宋， 王明明

(1.西北機(jī)電工程研究所， 陜西 咸陽(yáng) 712099; 2.南京理工大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院， 江蘇 南京 210094)

0 引言

火炮發(fā)射無(wú)動(dòng)力飛行彈丸的地面密集度是衡量中大口徑火炮性能優(yōu)劣的一個(gè)重要指標(biāo)，影響密集度的主要因素有彈丸在炮口的狀態(tài)參數(shù)、彈丸參數(shù)(物理和幾何)、氣象條件、氣動(dòng)載荷等隨機(jī)誤差。彈丸在炮口的狀態(tài)參數(shù)由火炮發(fā)射過(guò)程賦予，理清彈丸在炮口的狀態(tài)參數(shù)誤差對(duì)地面密集度影響，為火炮總體設(shè)計(jì)提供依據(jù)，對(duì)提高火炮射擊精度具有重要意義。

火炮射擊精度問(wèn)題一直是火炮設(shè)計(jì)和工程應(yīng)用研究的熱點(diǎn)和難點(diǎn)。眾多的國(guó)內(nèi)外學(xué)者在射擊精度方面發(fā)表了大量研究成果。例如：韓子鵬等[1]通過(guò)建立不同復(fù)雜程度的外彈道方程，系統(tǒng)地分析了影響彈丸落點(diǎn)分布的因素，并給出了炮口狀態(tài)參數(shù)對(duì)射擊精度影響的物理解釋；郭錫福[2]對(duì)遠(yuǎn)程火炮射擊精度的計(jì)算分析模型、影響因素、試驗(yàn)技術(shù)等進(jìn)行了深入研究；王寶元[3]討論了影響火炮射擊密集度的因素，并歸納了火炮武器型號(hào)研制和提高射擊密集度所采取的技術(shù)措施；芮筱亭等[4]基于最大熵法對(duì)武器系統(tǒng)的射擊密集度進(jìn)行了分析，結(jié)果顯示，彈丸落點(diǎn)的分布為具有偏態(tài)性質(zhì)的類正態(tài)分布；張領(lǐng)科等[5]計(jì)算分析了點(diǎn)火具點(diǎn)火延遲時(shí)間、底排裝置工作時(shí)間和底排藥劑部分脫落質(zhì)量偏差對(duì)射程散布影響；曹寧等[6]利用逐步回歸法研究了彈丸初速、質(zhì)量和偏心距等因素對(duì)火炮射擊密集度影響；張海燕等[7]基于拉丁超立方試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法和極差分析法進(jìn)行了射擊密集度靈敏度計(jì)算，分析了結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)射擊密集度的影響規(guī)律；王瑞林等[8]研究了高、低射擊頻率對(duì)射擊精度的影響；王麗群等[9]提出一種面向指標(biāo)要求的隨機(jī)因素參數(shù)區(qū)間計(jì)算方法，在給定密集度指標(biāo)的前提下，給出了最終的優(yōu)選參數(shù)方案；李建中等[10]分析了影響彈丸起始擾動(dòng)的重要參數(shù)，重點(diǎn)研究了彈丸質(zhì)量偏心對(duì)大口徑火炮射擊精度影響；Qian等[11]采用基于統(tǒng)計(jì)信息的區(qū)間方法分析了彈炮耦合系統(tǒng)的不確定性傳播問(wèn)題。在國(guó)際上，國(guó)際彈道會(huì)議以及相關(guān)的其他會(huì)議和學(xué)術(shù)論文等對(duì)火炮射擊精度相關(guān)的理論和技術(shù)進(jìn)行了探討，例如：Dursun[12]探討了炮架剛度、彈丸初速和制造公差等對(duì)彈丸散布影響；Rabbath等[13]通過(guò)比較樣本標(biāo)準(zhǔn)差置信區(qū)間的假設(shè)檢驗(yàn)方法來(lái)評(píng)估火炮的射擊精度；Khalil等[14]利用基于工程算法的火箭彈、導(dǎo)彈、炮彈快速設(shè)計(jì)平臺(tái)PRODAS軟件建立了M107型155 mm彈丸6自由度的發(fā)射動(dòng)力學(xué)模型，分析了彈丸質(zhì)量、初速、炮口擺角與偏角對(duì)射擊精度影響。國(guó)內(nèi)外眾多的研究和取得的成果對(duì)認(rèn)識(shí)和深入研究火炮射擊精度提供了重要的幫助，也為進(jìn)一步提高火炮射擊精度奠定了良好的基礎(chǔ)。

近年來(lái)，不確定性問(wèn)題逐漸成為國(guó)內(nèi)外學(xué)者研究的熱點(diǎn)，開(kāi)展了深入廣泛的研究，發(fā)展了多種不確定性量化和分析方法，例如概率方法[15-16]、非概率方法[17-18]、混合方法[19-21]等，這些方法為解決工程中的具體問(wèn)題提供了有效途徑。最近，稀疏網(wǎng)格數(shù)值積分(SGNI)方法被成功引入到不確定性傳播分析中，并取得了較好的效果[22-23]，它是基于一種特殊的張量積法則，通過(guò)低階積分點(diǎn)的嵌入式配置方法，在多變量空間構(gòu)建高階的積分點(diǎn)，形成積分精度較高的SGNI點(diǎn)，有效避免傳統(tǒng)高維積分法因維度較大而引起的“維度災(zāi)難”問(wèn)題。

本文基于6自由度剛體外彈道方程，考慮無(wú)動(dòng)力飛行彈丸參數(shù)和炮口狀態(tài)參數(shù)誤差影響，采用SGNI獲得彈丸落點(diǎn)的統(tǒng)計(jì)特性參數(shù)，在此基礎(chǔ)上利用最大熵估計(jì)方法，獲得彈丸落點(diǎn)散布的統(tǒng)計(jì)特性。最后，通過(guò)與蒙特卡洛方法對(duì)比驗(yàn)證了本文方法的有效性，并利用本文方法計(jì)算分析了某155 mm加榴炮的地面密集度。

1 剛體外彈道方程

將彈丸視為空間運(yùn)動(dòng)的剛體，則彈丸有6個(gè)自由度。定義慣性坐標(biāo)系為Oixiyizi，彈體坐標(biāo)系為Opxpypzp，其中Op為彈丸的幾何中心點(diǎn)，Opxp沿彈軸方向，Opypzp平面垂直于Opxp，則彈丸的運(yùn)動(dòng)可用Opxpypzp相對(duì)Oixiyizi的3個(gè)平動(dòng)位移量u和3個(gè)角度位移量ψ描述，相應(yīng)速度量分別為v和ω，加速度分別為a和ε.

為推導(dǎo)動(dòng)力學(xué)方程方便，令

(1)

彈丸運(yùn)動(dòng)關(guān)系可表示為

(2)

彈丸運(yùn)動(dòng)的虛功率方程可表示為

(3)

由外彈道理論可知，作用在彈丸上的合外力f包含了阻力fx、升力fy、馬格努斯力fz、哥氏力fk和重力fg，則合力f為

f=fx+fy+fz+fk+fg.

(4)

作用在彈丸上的合外力矩t包含了靜力矩tz、赤道阻尼力矩tzz、極阻尼力矩txz、馬格努斯力矩ty，則合外力矩t為

t=tz+tzz+txz+ty.

(5)

(2)式代入(3)式，根據(jù)變分原理可得彈丸動(dòng)力學(xué)方程為

(6)

F=DTQ.

(7)

(6)式中左端兩項(xiàng)均為慣性力，其中：第1項(xiàng)為主慣性力，與加速度有關(guān)；第2項(xiàng)為附加慣性力，包括離心力、哥氏力等。

2 彈丸落點(diǎn)統(tǒng)計(jì)參數(shù)的求解

2.1 基于SGNI的彈丸落點(diǎn)統(tǒng)計(jì)矩求解

考慮上述參數(shù)影響，無(wú)動(dòng)力飛行的彈丸外彈道方程可表示為

(8)

式中：t為彈丸飛行時(shí)間。

隨機(jī)初始條件為彈丸在炮口的狀態(tài)參數(shù)

(9)

為分析參數(shù)誤差對(duì)彈丸落點(diǎn)分布的影響，需要根據(jù)已知隨機(jī)參數(shù)ξ的聯(lián)合概率密度函數(shù)fξ(ξ)求解方程(8)式獲得彈丸落點(diǎn)的概率分布。記彈丸落點(diǎn)的縱向和橫向位置分別為x=g(ξ)和z=h(ξ)，彈丸落點(diǎn)中心矩即是對(duì)地面密集度的衡量。以縱向落點(diǎn)分布為例，落點(diǎn)分布的e階原點(diǎn)矩μe與中心矩ce分別為

(10)

(11)

式中：Ωξ為隨機(jī)參數(shù)ξ的空間。由前4階統(tǒng)計(jì)矩轉(zhuǎn)化而來(lái)的均值μ、標(biāo)準(zhǔn)差σ、偏度τ和峰度κ分別為

(12)

(13)

對(duì)于上述積分點(diǎn)，相應(yīng)的積分權(quán)重可根據(jù)Smolyak方法[25]計(jì)算：

(14)

(15)

ωi(ξ)=(ξ-ξ1)(ξ-ξ2)…(ξ-ξi).

(16)

2.2 基于最大熵原理的彈丸落點(diǎn)分布估計(jì)

最大熵原理[26]可以描述為在給定部分信息推斷概率分布時(shí)，所有可能的分布中存在一個(gè)使信息熵取最大值的分布，該分布是最小偏見(jiàn)的。文獻(xiàn)[27]對(duì)常見(jiàn)分布的最大熵估計(jì)進(jìn)行了推導(dǎo)和證明，并給出了一般分布的最大熵估計(jì)求解方法?？紤]到彈丸落點(diǎn)服從類正態(tài)分布[4]的特性，可利用該方法對(duì)彈丸落點(diǎn)分布進(jìn)行估計(jì)。

以縱向落點(diǎn)x=g(ξ)分布為例，定義彈丸落點(diǎn)參數(shù)x的信息熵S為

(17)

式中：fx(x)為彈丸縱向落點(diǎn)的概率密度函數(shù)；Ωx為積分空間。

將落點(diǎn)分布的前r階中心矩(本文中取r=4)作為信息熵約束條件，則可建立如下求解fx(x)的優(yōu)化模型：

(18)

(18)式為等式約束優(yōu)化問(wèn)題，可采用拉格朗日方法進(jìn)行變換，定義如下形式的拉格朗日函數(shù)：

(19)

式中：λe(e=0,1,…,r)為拉格朗日乘子。令(19)式對(duì)fx(x)求導(dǎo)等于0，則滿足最大熵原理的fx(x)[27]可表示為

(20)

將表達(dá)式(20)式代入約束方程可得如下非線性方程：

(21)

(21)式中待定系數(shù)λe與方程數(shù)相同，理論上存在一組最優(yōu)解，通常將(21)式的非線性方程轉(zhuǎn)化為無(wú)約束優(yōu)化問(wèn)題來(lái)求解，定義誤差函數(shù)最小，即

(22)

式中：λ={λ0,λ1,…,λr}T.

為確保上述優(yōu)化問(wèn)題能夠得到較為準(zhǔn)確的解，本文利用遺傳算法和序列二次規(guī)劃的方法進(jìn)行求解，以此來(lái)滿足全局搜索和局部精細(xì)求解的目的。先通過(guò)遺傳算法求解(22)式，并將計(jì)算得到的結(jié)果作為初始值，利用序列二次規(guī)劃方法計(jì)算獲得最終的解。計(jì)算落點(diǎn)統(tǒng)計(jì)矩和概率分布的流程如圖1所示。

3 算例分析

以某155 mm加榴炮為研究對(duì)象，分析最大射程的彈丸落點(diǎn)散布，最大射程角為51°.

圖1 計(jì)算流程Fig.1 Flowchart of computation

3.1 有效性驗(yàn)證

由于難以獲得彈丸落點(diǎn)分布統(tǒng)計(jì)特性的解析解，為了驗(yàn)證本文方法的有效性，本文將蒙特卡洛方法的計(jì)算結(jié)果作為參考解。采用稀疏網(wǎng)格積分的精度水平取k=2，根據(jù)前文的推導(dǎo)，n=11個(gè)參數(shù)的總積分點(diǎn)數(shù)N=2n2+2n+1=265. 計(jì)算得到的彈丸落點(diǎn)縱向和橫向概率密度函數(shù)(PDF)如圖2和圖3所示，落點(diǎn)參數(shù)的統(tǒng)計(jì)值如表2所示。從計(jì)算結(jié)果可看出，本文方法和蒙特卡洛方法獲得的落點(diǎn)統(tǒng)計(jì)分布特性吻合得很好，從而驗(yàn)證了本文方法的有效性。

表1 彈丸不確定性參數(shù)

圖2 落點(diǎn)縱向分布Fig.2 Longitudinal dispersion of projectiles

3.2 彈丸在炮口的單狀態(tài)參數(shù)影響分析

本節(jié)考慮7個(gè)炮口狀態(tài)參數(shù)單獨(dú)作用對(duì)彈丸落點(diǎn)密集度影響。參考文獻(xiàn)[3]和型號(hào)研制工程經(jīng)驗(yàn)，將參數(shù)范圍進(jìn)行適當(dāng)放大，給定炮口狀態(tài)參數(shù)的均值和均方差的范圍如表3所示；彈丸參數(shù)的統(tǒng)計(jì)特性與表1所示相同，在具體分析中也可根據(jù)不同型號(hào)火炮的特點(diǎn)確定對(duì)應(yīng)的參數(shù)范圍。采用稀疏網(wǎng)格積分的精度水平取k=2，根據(jù)前文的推導(dǎo)，單變量的積分點(diǎn)數(shù)N=2n+1=7. 炮口狀態(tài)參數(shù)誤差與地面密集度的影響呈近似二次關(guān)系，為此，建立如下所示的炮口單狀態(tài)參數(shù)均方差和落點(diǎn)均方差二次形式的參數(shù)化模型：

圖3 落點(diǎn)橫向分布Fig.3 Transverse dispersion of projectiles

表2 落點(diǎn)統(tǒng)計(jì)特性

Tab.2 Statistical parameters of projectiles dispersion

方法方向均值/m均方差/m偏度峰度計(jì)算次數(shù)本文縱向30185148.8-0.05062.7656265方法30182146.8-0.06903.02998000蒙特卡縱向30183147.2-0.01542.988110000洛方法30182147.8-0.02412.975815000本文橫向1214.751.7-0.01012.9960265方法1214.051.80.03772.99108000蒙特卡橫向1214.151.70.03773.013810000洛方法1214.251.80.00283.003415000

表3 彈丸在炮口的狀態(tài)參數(shù)

(23)

(24)

(25)

根據(jù)炮口單狀態(tài)參數(shù)影響的數(shù)據(jù)，通過(guò)擬合得到各個(gè)模型系數(shù)如表4和表5所示，其中R2為擬合模型的可決系數(shù)。將(23)式、(24)式分別繪制成曲線得各炮口狀態(tài)參數(shù)均方差對(duì)彈丸落點(diǎn)縱向和橫向地面密集度Axi和Azi的影響規(guī)律，如圖4～圖10所示。

表4 模型(23)式的系數(shù)

表5 模型(24)式的系數(shù)

圖4 初速均方差對(duì)地面密集度影響Fig.4 Effect of σv0 on ground dispersion

圖5 高低擺角均方差對(duì)地面密集度影響Fig.5 Effect of σφv on ground dispersion

圖6 方向擺角均方差對(duì)地面密集度影響Fig.6 Effect of σφa on ground dispersion

圖7 高低擺角速度均方差對(duì)地面密集度影響Fig.7 Effect of on ground dispersion

圖8 方向擺角速度均方差對(duì)地面密集度影響Fig.8 Effect of on ground dispersion

圖9 高低偏角均方差對(duì)地面密集度影響Fig.9 Effect of σψv on ground dispersion

圖10 方向偏角均方差對(duì)地面密集度影響Fig.10 Effect of σψa on ground dispersion

3.3 彈丸在炮口的多參數(shù)變量影響分析

彈丸在炮口的多狀態(tài)參數(shù)影響的綜合模型可表示為

(26)

(27)

式中：σxi0和σzi0為0階綜合模型，表達(dá)式為

(28)

其含義是僅考慮與表1中給定的彈丸參數(shù)統(tǒng)計(jì)特性時(shí)彈丸落點(diǎn)的均方差。

為驗(yàn)證該模型的準(zhǔn)確性，在表3給定的炮口均方差范圍內(nèi)隨機(jī)抽樣5組，將(26)式、(27)式計(jì)算得到的結(jié)果和稀疏網(wǎng)格法得到的結(jié)果進(jìn)行對(duì)比驗(yàn)證，結(jié)果如表6所示。從表6中可看出，(26)式和(27)式的計(jì)算結(jié)果和稀疏網(wǎng)格的計(jì)算結(jié)果吻合較好，從而驗(yàn)證了(26)式和(27)式的準(zhǔn)確性和可行性。

表6 彈丸在炮口的狀態(tài)參數(shù)均方差樣本

(26)式、(27)式對(duì)火炮射擊精度設(shè)計(jì)具有指導(dǎo)作用，當(dāng)給定彈丸最大射程密集度指標(biāo)xi和zi時(shí)，(26)式和(27)式轉(zhuǎn)換成由7個(gè)變量構(gòu)成的空間超曲面方程fxi()=xi和fzi()=zi，火炮總體密集度設(shè)計(jì)的任務(wù)是根據(jù)給定的最大射程密集度要求xi和zi，設(shè)計(jì)一組火炮關(guān)鍵參數(shù)，確保彈丸在炮口的狀態(tài)參數(shù)誤差i的綜合作用滿足條件fxi(i)≤xi和fzi(i)≤zi.

以最大射程xi,max=30 km，縱向地面密集度Axi=1/300為例，由密集度計(jì)算公式反求彈丸縱向落點(diǎn)的均方差

(29)

另外，將表4中的模型系數(shù)帶入(28)式得到僅考慮表1中給定的彈丸參數(shù)分布特性時(shí)彈丸縱向落點(diǎn)的均方差

(30)

式中：σxi0占(29)式均方差σxi的36%，此時(shí)，彈丸在炮口的狀態(tài)參數(shù)分布導(dǎo)致的彈丸縱向落點(diǎn)均方差占64%.

4 結(jié)論

本文考慮了彈丸在炮口的狀態(tài)參數(shù)誤差影響，采用SGNI方法獲得了落點(diǎn)散布的統(tǒng)計(jì)特性參數(shù)，并利用最大熵估計(jì)方法獲得了落點(diǎn)散布的概率密度函數(shù)；重點(diǎn)分析了彈丸在炮口的狀態(tài)參數(shù)誤差對(duì)地面密集度影響規(guī)律，其結(jié)果可為火炮總體設(shè)計(jì)提供理論指導(dǎo)。根據(jù)理論分析和數(shù)值仿真結(jié)果，得到如下主要結(jié)論：

1) 通過(guò)與蒙特卡洛方法計(jì)算的統(tǒng)計(jì)矩和概率密度對(duì)比，驗(yàn)證了本文方法求解彈丸落點(diǎn)統(tǒng)計(jì)矩及其概率密度的正確性和有效性。

2) 通過(guò)炮口單狀態(tài)參數(shù)對(duì)地面密集度影響分析，除了初速誤差外，炮口其他6個(gè)參數(shù)的誤差對(duì)地面密集度均有影響，而且其影響近似呈二次規(guī)律。

3) 通過(guò)炮口多狀態(tài)參數(shù)對(duì)地面密集度影響分析，建立了彈丸在炮口的狀態(tài)參數(shù)均方差與彈丸落點(diǎn)均方差之間的綜合映射模型，該模型可為火炮射擊密集度的總體設(shè)計(jì)提供理論指導(dǎo)。

4) 若以射程30 km，縱向地面密集度1/300為指標(biāo)要求，則彈丸參數(shù)ξp對(duì)縱向地面密集度的貢獻(xiàn)約為36%，彈丸在炮口的狀態(tài)參數(shù)ξ0對(duì)縱向地面密集度的貢獻(xiàn)約為64%.