吳 穩(wěn) （同濟(jì)大學(xué)，上海 200092）

1 引言

為了支撐梁等其它上部結(jié)構(gòu)而伸出的短懸臂構(gòu)件，被稱作牛腿。由于構(gòu)造簡單，制作方便，牛腿在建筑、水利、橋梁等工程中應(yīng)用廣泛。

牛腿承受的荷載較大，且多為動(dòng)載，是結(jié)構(gòu)的關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)。牛腿與柱交接位置截面高度顯著變化，呈現(xiàn)為典型凹角形狀，受力狀態(tài)與連續(xù)結(jié)構(gòu)有較大差異；同時(shí)，牛腿剪跨比小，剪切變形在牛腿總變形中不可忽略，集中荷載和邊界條件對(duì)牛腿應(yīng)力場有顯著影響。因此，不能采用傳統(tǒng)梁理論分析牛腿力學(xué)性能?！痘炷两Y(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)規(guī)范》（GB50010-2010）[1]規(guī)定了牛腿構(gòu)造要求，將使用階段不出現(xiàn)斜裂縫作為牛腿尺寸限制條件，基于三角桁架模型提出牛腿配筋計(jì)算方法，但是該方法偏于保守，與國外《ACI318-11》[2]等規(guī)范相比，存在一定差異。本文總結(jié)了國內(nèi)外牛腿試驗(yàn)成果，結(jié)合現(xiàn)有研究理論，探討牛腿計(jì)算方法的適用性。

2 牛腿破壞形態(tài)和力學(xué)性能研究

根據(jù)剪跨比（λ）大小，可將牛腿分為λ＞1的長牛腿和λ≤1的短牛腿[3]。長牛腿受力與懸臂梁接近，可按懸臂梁計(jì)算理論分析；短牛腿（以下簡稱牛腿）是工程中更為常見的構(gòu)造形式。牛腿與懸臂梁受力存在一定差異，主要體現(xiàn)在以下兩個(gè)方面。①對(duì)于懸臂梁，從固定端至加載點(diǎn)，頂緣縱向鋼筋應(yīng)力和底緣混凝土壓應(yīng)力逐漸減小。牛腿試驗(yàn)則表明：從固定端至加載點(diǎn)，牛腿縱向鋼筋應(yīng)力基本保持不變，與桁架中的拉桿類似；加載點(diǎn)與固定端下緣形成斜向受壓區(qū)，分布比較均勻，與桁架中的壓桿類似。②牛腿頂緣1/3高度區(qū)域內(nèi)，縱向鋼筋均能在極限狀態(tài)下發(fā)生較大形變而作為受力鋼筋。因此，荷載和支承條件對(duì)牛腿應(yīng)力場和受力性能有顯著影響，不能將牛腿等效為懸臂梁，而應(yīng)充分考慮牛腿的局部效應(yīng)。

2.1 破壞形態(tài)

二十世紀(jì)七十年代，原冶金部建筑研究院牛腿試驗(yàn)組[3-6]開展了大量有關(guān)鋼筋混凝土牛腿的試驗(yàn)和研究。對(duì)于僅承受豎向荷載的混凝土牛腿，根據(jù)剪跨比大小，破壞形態(tài)分為以下3類：①λ＞0.75時(shí)，斜裂縫隨著荷載增加，逐漸向受壓區(qū)延伸，但幾乎不出現(xiàn)分支，直至發(fā)生壓彎破壞，破壞時(shí)刻，鋼筋屈服，受壓區(qū)混凝土壓碎；②0.1≤λ≤0.75時(shí)，在第一條斜裂縫出現(xiàn)后，隨著荷載逐步增加，牛腿內(nèi)產(chǎn)生大量短小的斜裂縫，并逐漸貫通，導(dǎo)致混凝土剝落，發(fā)生斜壓破壞。部分牛腿試件在斜裂縫出現(xiàn)后，不產(chǎn)生短小斜裂縫，而是隨著荷載增大，斜裂縫出現(xiàn)分支，試件因此破壞，破壞時(shí)刻，斜裂縫間混凝土達(dá)到棱柱體抗壓強(qiáng)度；③λ＜0.1時(shí)，加載點(diǎn)與柱交接面上產(chǎn)生多條短斜裂縫，最終牛腿沿該交接面剪切破壞。

圖1 牛腿基本破壞形態(tài)

王有為等[7]研究了水平荷載對(duì)牛腿破壞形態(tài)的影響。研究指出，混凝土徐變收縮及溫度作用引起的水平荷載較小，不會(huì)導(dǎo)致牛腿破壞形態(tài)的改變；但是，當(dāng)?shù)卣鹱饔靡鸬乃胶奢d大于豎向荷載時(shí)，牛腿可能發(fā)生斜拉破壞。

2.2 牛腿力學(xué)性能研究

丁彥斌[3-6]研究了配筋方式對(duì)牛腿力學(xué)性能的影響，結(jié)果表明：縱向鋼筋及斜向鋼筋對(duì)牛腿斜裂縫的出現(xiàn)基本無影響；增加縱向鋼筋和斜向鋼筋用量可以在一定程度上限制斜裂縫開展，提高牛腿承載力，隨著牛腿剪跨比減小，斜向鋼筋對(duì)牛腿承載力影響逐漸降低。

為研究牛腿抗震性能，王有為[7]制作了28個(gè)牛腿試件，指出反復(fù)水平荷載將導(dǎo)致牛腿強(qiáng)度、剛度和變形能力下降。蘇三慶[8]建議在縱向鋼筋下布置水平箍筋，防止牛腿出現(xiàn)斜拉破壞，增加牛腿承載力和延性，從而改善改善牛腿抗震性能。2002年，袁保祿[9、10]通過 50多個(gè)牛腿試驗(yàn)數(shù)據(jù)，得到牛腿滯回曲線。研究表明，隨著縱向鋼筋配筋率減小，牛腿剛度和強(qiáng)度略微降低，但滯回曲線穩(wěn)定，滯回環(huán)所包圍的面積逐漸增大，耗能增大。合適的配筋率對(duì)牛腿抗震性能有重要意義。

鑒于實(shí)際工程中牛腿剪跨比較小，李建華[11]基于9個(gè)小剪跨比（λ≤0.3）牛腿試驗(yàn)數(shù)據(jù)，指出牛腿的抗剪強(qiáng)度對(duì)小剪跨比牛腿承載能力起控制作用。牛腿的抗剪強(qiáng)度由鋼筋的銷栓作用、裂縫界面混凝土的咬合作用、裂縫下端剪壓區(qū)混凝土傳遞的剪力等三部分組成。隨著縱向鋼筋配筋率增大，鋼筋銷栓作用顯著，牛腿有一定程度提高。

為了進(jìn)一步研究鋼筋配筋率和斜向鋼筋對(duì)小剪跨比牛腿（λ≤0.3）受力性能的影響，張思洲等[12]制作了56個(gè)鋼筋混凝土牛腿試件。試驗(yàn)結(jié)果表明，小剪跨比牛腿的裂縫幾乎為正裂縫，小剪跨比牛腿破壞時(shí)縱向鋼筋屈服，斜向鋼筋應(yīng)變僅為縱向鋼筋應(yīng)變的45%～51%，不能充分發(fā)揮作用。為充分利用鋼筋強(qiáng)度，防止牛腿發(fā)生脆性破壞，該研究限制了最大最小配筋率。陳禮和等[13、14]對(duì)22個(gè)小剪跨比鋼筋混凝土牛腿進(jìn)行了試驗(yàn)研究，結(jié)果表明牛腿承載力隨混凝土強(qiáng)度等級(jí)線性增大；相同荷載下，隨著剪跨比增大，縱向鋼筋的應(yīng)變增大；牛腿承載力與剪跨比負(fù)相關(guān)。

3 牛腿承載力計(jì)算方法

將混凝土和鋼筋等效為桁架的壓桿和拉桿的桁架理論，是早期混凝土牛腿力學(xué)模型。隨著計(jì)算理論的發(fā)展，剪摩擦理論[15]、拉壓桿模型[16、17]、內(nèi)力求解法[18]、塑性理論[19]等被用于牛腿力學(xué)性能和承載力分析。剪摩擦理論可以較好解釋剪力傳遞機(jī)理，拉壓桿模型與牛腿試驗(yàn)現(xiàn)象吻合，應(yīng)用最為廣泛。

3.1 桁架理論

1965年，Kriz,L.B.[20]建立了牛腿內(nèi)鋼筋和混凝土壓桿組成的三角桁架力學(xué)模型，初步確定了混凝土牛腿承載力分析方法。原冶金部建筑研究院基于試驗(yàn)結(jié)果，提出實(shí)用計(jì)算方法，成為《混凝土結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)規(guī)范》牛腿設(shè)計(jì)依據(jù)。

《混凝土結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)規(guī)范》指出，豎向荷載和水平荷載在牛腿頂緣的拉力完全由縱向鋼筋承擔(dān)，為了充分發(fā)揮混凝土力學(xué)性能，縱向鋼筋面積不宜過小，可按式（1）計(jì)算：

牛腿是結(jié)構(gòu)重要傳力構(gòu)件，往往需要承擔(dān)動(dòng)力荷載。原冶金部建筑研究院指出牛腿使用階段不宜出現(xiàn)斜裂縫，提出牛腿截面尺寸控制條件，此時(shí)，不需要驗(yàn)算混凝土壓應(yīng)力。經(jīng)過系數(shù)調(diào)整并考慮水平荷載的影響，《混凝土結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)規(guī)范》采用式（2）限制牛腿截面尺寸：

式中，F(xiàn)v、Fh分別為牛腿上作用的豎向荷載、水平荷載；ftk為縱向鋼筋面積；β為鋼筋抗拉設(shè)計(jì)強(qiáng)度；h0為混凝土軸心抗拉強(qiáng)度標(biāo)準(zhǔn)值；β為牛腿裂縫控制系數(shù)，吊車梁牛腿取0.65，其他形式牛腿取0.8；h0為截面有效高度；a為豎向荷載與下柱邊緣的水平距離，不應(yīng)小于0.3h0。

3.2 剪摩擦理論

剪摩擦理論[2、15]認(rèn)為，隨著荷載增加，牛腿產(chǎn)生沿下柱端面的豎向主裂縫。極限狀態(tài)下，穿過裂縫的鋼筋屈服，并提供夾合力，即裂縫間正應(yīng)力，假定剪力通過裂縫間骨料咬合作用產(chǎn)生的摩擦力傳遞，忽略鋼筋消栓作用對(duì)抗剪承載力的貢獻(xiàn)，裂縫極限摩擦力即為牛腿極限承載力，如式（3）所示。

牛腿截面尺寸由抗剪承載力上限值控制，如式（4）所示。

式中，φ為鋼筋強(qiáng)度折減系數(shù)，可取為0.75；μ為裂縫界面摩擦系數(shù)，取為1.4；f'c為混凝土圓柱體抗壓強(qiáng)度。

為防止牛腿彎曲破壞，采用剪摩擦理論確定牛腿極限承載力時(shí)，需補(bǔ)充計(jì)算牛腿根部抗彎承載力，彎矩M按式（5）計(jì)算。

3.3 拉壓桿模型

《ACI318-11規(guī)范》等規(guī)范建議通過建立拉壓桿模型確定牛腿極限承載力。拉壓桿模型是一種塑性力學(xué)下限分析方法，由承受拉應(yīng)力的普通鋼筋及預(yù)應(yīng)力鋼筋組成的拉桿、承受壓應(yīng)力的混凝土壓桿及連接拉桿和壓桿的節(jié)點(diǎn)組成。根據(jù)式（6）-（8）分別計(jì)算拉桿 PT、壓桿Pc和節(jié)點(diǎn)Pn強(qiáng)度，即可得到拉壓桿模型的承載力估計(jì)。

式中，fc為混凝土軸心抗壓強(qiáng)度設(shè)計(jì)值；βc是與混凝土強(qiáng)度有關(guān)的系數(shù)，對(duì)C25～C50取 1.30，C55～C80取 1.35；βn為節(jié)點(diǎn)界面混凝土強(qiáng)度軟化系數(shù)，僅連接壓桿的節(jié)點(diǎn)取0.85βc，同時(shí)連接拉桿和壓桿的節(jié)點(diǎn)取0.75βc，僅連接拉桿的節(jié)點(diǎn)取 0.65βc；Acs、An分別為混凝土壓桿和節(jié)點(diǎn)界面的截面面積。

對(duì)同一牛腿，可建立多種的拉壓桿模型，如圖2所示。實(shí)際結(jié)構(gòu)在極限狀態(tài)下能否產(chǎn)生足夠塑性變形，使荷載按選用的拉壓桿模型傳遞，將直接決定拉壓桿模型計(jì)算方法的準(zhǔn)確性和安全度。Russo G.[19]建立的拉壓桿模型計(jì)算方便，符合牛腿試驗(yàn)結(jié)果。

3.4 計(jì)算方法比較

本節(jié)選取Yong and Balaguru[21]和Foster[22]部分牛腿試件試驗(yàn)結(jié)果，對(duì)比《混凝土結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)規(guī)范》采用的桁架理論（方法 1）、剪摩擦理論（方法 2）、Russo G.建議的拉壓桿模型（方法3）的適用性，見下表。

方法1裂縫控制條件較嚴(yán)苛，安全系數(shù)較大，但也導(dǎo)致了較大的變異系數(shù)。方法3安全系數(shù)較小，變異系數(shù)最小。因此，拉壓桿模型最能反映牛腿力學(xué)特點(diǎn)和破壞形態(tài)。

牛腿承載力實(shí)測值與計(jì)算值比值

4 總結(jié)

本文總結(jié)了國內(nèi)外牛腿研究成果，牛腿力學(xué)性能與剪跨比、縱向鋼筋、混凝土強(qiáng)度、牛腿高度等多種因素有關(guān)。通過牛腿試驗(yàn)結(jié)果對(duì)比國內(nèi)外主要牛腿承載力計(jì)算方法的適用性。結(jié)果表明，《混凝土結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)規(guī)范》建議的計(jì)算方法具有較高的安全系數(shù)，拉壓桿模型則與試驗(yàn)結(jié)果最接近。