國忠金 孫 丹

（泰山學院數(shù)學與統(tǒng)計學院 山東·泰安 271000）

常微分方程作為師范類數(shù)學與應用數(shù)學專業(yè)的核心課程，承接起了專業(yè)基礎課數(shù)學分析、高等代數(shù)、解析幾何與后續(xù)課程泛函分析、數(shù)學模型與實驗、微分方程數(shù)值解等課程的橋梁。作為描述變化規(guī)律的法寶，常微分方程在師范類學生核心能力培養(yǎng)中具有極其重要的作用和價值。因此，諸多高校教師針對該課程的教學改革進行了深入探索，諸如：唐玉萍[1]探索分析了常微分方程教學模式。王莉[2]基于課程教學改革的背景與意義，對常微分方程的教學進行了相關研究。劉亞威等[3]基于MatLab數(shù)值實驗，探索了常微分方程課程教學內(nèi)容與手段的改革研究。蒲武軍[4]結(jié)合常微分方程課程特點，提出了針對教學內(nèi)容、教學方法改革的設想和建議。劉倩[5]以常微分方程為研究對象，提出了推動課程教學模式創(chuàng)新與實踐探索的策略。侯利平等[6]探索了“四個回歸”背景下常微分方程的教學改革，分析了課程教學中存在問題及改革建議。

在2009年國家開始的試點工程教育專業(yè)認證基礎上，2017年10 月教育部師范類專業(yè)認證開始啟動，其目的在于推動師范專業(yè)的內(nèi)涵式建設，聚焦師范學生的知識、素質(zhì)和能力培養(yǎng)。根據(jù)教育部頒布的師范專業(yè)認證標準，認證的基本理念是以學生為中心。這就要求師范類課程教學中應以學生的學習效果、持續(xù)發(fā)展能力為中心組織課程教學活動。因此，作為承接數(shù)學理論與實際問題的橋梁課程，常微分方程教學對于師范生知識、素質(zhì)、能力培養(yǎng)起到了很重要的作用。

1 常微分方程課程教學中存在的問題及痛點

（1）教學內(nèi)容忽視了知識實踐基礎，弱化了知識的內(nèi)化體驗與應用性。作為數(shù)學理論聯(lián)系實際的一個重要觸角，常微分方程課程緊密聯(lián)系實際，其理論體系來源于對實際問題的建模分析。然而，多數(shù)高校教師在講授本課程過程中，將更多的精力用在了微分方程的基本概念、基本理論以及基本解法講解，忽視了各類型微分方程的來源及應用分析。

（2）課程體系忽視了多學科專業(yè)知識的綜合銜接與交叉融合性。作為描述變化規(guī)律的法寶，常微分方程模型來源于物理、化學、生物、經(jīng)濟、機械、工程等領域?qū)嶋H問題，并在實際問題研究中得到了廣泛應用，即：來源于實踐，應用于實踐。然而，許多教師講解本課程時只是介紹常微分方程的概念、理論、解法等內(nèi)容，未能將課程知識點融入實際問題，融入多學科理論體系中，這樣會導致學生體會不到常微分方程課程的科學價值、應用價值，肢解了知識創(chuàng)新的基礎。

（3）教學手段、方法單一，漠視了學生主動探究、獲取知識的主體能動性。傳統(tǒng)的課程教學主要以課堂講授為主，教師只是通過板書、課件將知識單向傳授給學生，學生業(yè)只是機械的、硬著頭皮去接受枯燥的課程知識。漠視了課堂教學以學生為中心的理念，學生學習動力和獲取知識的主體能動性不能被有效的激發(fā)。

（4）學習效果評價單一，缺乏對創(chuàng)新能力的考核。傳統(tǒng)的課程考核主要以期末考試成績?yōu)橹?，一卷定成績。學生為了提高成績往往對常微分方程課程概念、理論、求解方法死記硬背，比著葫蘆畫瓢，缺乏對課程知識體系的理解和應用認識。從而致使課程教學不能激發(fā)學生學習動力和專業(yè)志趣，不能滿足社會發(fā)展對課程教育的要求。

2 師范專業(yè)認證理念下的常微分方程課程教學改革設想與建議

常微分方程是數(shù)學專業(yè)基礎課程的延續(xù)和補充，又是其他數(shù)學專業(yè)課程和以后工作實踐的基礎。本課程的教學是培養(yǎng)符合新時代發(fā)展的科技人才的重要基礎，而傳統(tǒng)的課程教學模式使學生接收到的信息的范圍過于狹窄，教學方法、效果評價單一。 因此，在師范專業(yè)認證理念下，本課程著重在課程內(nèi)容體系重構(gòu)、教學方法、教學考核評價等方面進行改革。

（1）教學內(nèi)容突出解法理論基礎上，打造“模型+理論+方法+應用”的知識教學主線，增強學生學習興趣和主動性。以文獻[7]為例，課程教學內(nèi)容章節(jié)理論第四章高階線性微分方程的基本理論與第五章線性微分方程組解理論相似，反復講解容易使學生產(chǎn)生厭煩和迷惑，而缺少了針對線性微分方程基本理論的綜合分析。在講解各類方程理論知識前后，缺少模型方程的來源及應用。在師范專業(yè)認證理念下，為增強學生學習興趣和主動性。一方面，在課程教學中重視模型的建模和各類微分方程產(chǎn)生的實際背景。諸如：基于COVID-19 疫情，當簡單假設且未區(qū)分已感染者與未感染者的前提下，可進行建模獲得傳染病指數(shù)增長模型，繼而引出一階線性微分方程概念、理論及求解方法等。當區(qū)分已感染者與未感染者，進行建模獲得SI 模型，繼而引出一階非線性微分方程概念、理論與求解方法等。同樣，可以考慮多種因素，衍生出一階方程組SIR模型等，繼而針對微分方程組講解其理論結(jié)構(gòu)、解性質(zhì)與求解方法等。通過微分方程模型背景介紹和分析，增強學生對于課程知識的理解和應用聯(lián)系，有助于提升學生持續(xù)發(fā)展能力。另一方面，以“理論、方法、應用”為主線，更新課程教學內(nèi)容。諸如：將線性微分方程基本理論綜合講解、分析，形成線性方程解結(jié)構(gòu)理論體系；將可求解的微分方程進行分類，提煉各類初等積分求解方法，挖掘蘊含的數(shù)學思想；針對微分方程尤其是非線性微分方程求解，適當引入MatLab 軟件進行實踐分析，提升課程應用價值；基于教材現(xiàn)有知識理論，適度觸及相關的前沿知識，豐富課程廣度，拓展學生學習視野。

（2）教學方法以“引疑思拓”為引領，重視師生互動與小組活動，倡導理論與實踐相結(jié)合?；贠BE 理念，堅持“教為不教、學為學會”的教學思想，以“引疑思拓”為引領革新課程教學模式，引導學生挖掘本課程蘊含的數(shù)學思想與求解方法。其中“引”是指通過引例探索新知，通過已知引導思考?！耙伞笔侵冈O疑，根據(jù)問題可進行聯(lián)系上設疑、銜接上設疑、疑難上設疑、深化上設疑等等?！八肌笔侵杆伎?、反思，通過設疑引發(fā)思考、總結(jié)，可以小組形式進行?！巴亍笔侵竿卣埂?chuàng)新，通過反思總結(jié)對知識內(nèi)容進行拓展和深化，銜接新的知識。諸如，在講解齊次線性微分方程解疊加原理時，可引入案例進行探索，即：設置引例

②“疑”，帶領學生針對上述方程解進行“聯(lián)系上設疑”，分組考慮方程的解形式，諸如：

③“思”，由學生聯(lián)系上質(zhì)疑，進行反思總結(jié)，引導考慮引例解的一般形式以及 與 與 的關系；

④“拓”，由思進行拓展未知，引出新的知識點，齊次線性微分方程解的疊加原理以及函數(shù)的線性相關、線性無關概念。

同樣，在講解齊次線性微分方程解疊加原理中，可進行“疑難上設疑”拓展出解為通解的約束條件。

（3）豐富教學手段與教學評價形式，適當增加反思總結(jié)、軟件實現(xiàn)、線上輔導測評等，真實反映學習效果。傳統(tǒng)教學手段主要采用板書和多媒體并用的方式。針對常微分方程基本理論、證明推導等以板書、多媒體交互形式進行，呈現(xiàn)數(shù)學邏輯推理過程，疑難部分可反復與學生進行交流增強講解深度。針對微分方程穩(wěn)定性等幾何理論及解曲線等知識，抽象復雜，適當借助MatLab 軟件進行數(shù)值模擬，清晰演示傳統(tǒng)教學手段未能呈現(xiàn)的直觀效果。為適度觸及前沿知識，設計知識模塊，借助線上資源與文獻成果，合理增負，發(fā)揮學生主觀能動性。課程考核方面，在傳統(tǒng)期末試卷成績測評基礎上，適當增加反思總結(jié)、軟件實現(xiàn)、線上測評（如超星課程中心）等環(huán)節(jié)，通過線上平臺及時了解學生預習、學習過程數(shù)據(jù)，豐富教學手段和教學評價形式，做到更真實的反映學生掌握課程知識的情況和效果。

3 結(jié)語

常微分方程課程教學改革是一個系統(tǒng)工程，需要從教學理念、教學內(nèi)容、教學手段、教學評價等層面深入細致的展開。本文主要以師范專業(yè)認證導向為視角，以學生為中心，學習效果為目的合理設計教學內(nèi)容、教學手段、教學方法、課程評價等，以適應應用創(chuàng)新型人才培養(yǎng)目標的需要。