張建朝， 葛泉波， 李 宏， 何紅麗

(1.杭州電子科技大學自動化學院， 杭州， 310018; 2.同濟大學電子與信息工程學院，上海，201804; 3.中國飛行試驗研究院， 西安， 710089)

雷達系統(tǒng)在進行目標跟蹤時常受到電磁環(huán)境、地形地貌和部件老化等各種復雜因素的影響，從而導致跟蹤模型中的不確定噪聲內(nèi)涵趨于混合復雜性[1-2]。除了外界因素外，雷達跟蹤系統(tǒng)常會出現(xiàn)偏差，會對跟蹤估計融合效果產(chǎn)生不利影響，因此必須在建模過程中考慮該誤差影響，實現(xiàn)帶有系統(tǒng)誤差估計的高性能目標跟蹤[3-8]。

在無法對系統(tǒng)誤差精準建模的客觀事實下，帶有隨機噪聲的統(tǒng)計建模成為必然的選擇，從而對目標狀態(tài)估計器設計提出新的挑戰(zhàn)。為了避免狀態(tài)擴維模式下Kalman濾波器運行過程可能存在的計算病態(tài)問題，兩階段濾波方法已經(jīng)被提出用來獲得更好的計算性能，該方法已經(jīng)受到了眾多研究者的關注，并在線性系統(tǒng)、非線性系統(tǒng)和多傳感器系統(tǒng)中得到諸多應用研究[9-16]。

在面對復雜實際工程應用時，兩階段Kalman濾波融合方法需要具有應對有色噪聲和各種復雜噪聲相關性的能力。文獻[17]利用歷元噪聲的相關性特性，構(gòu)建多步相關的噪聲協(xié)方差矩陣，通過線性變換得到改進的狀態(tài)協(xié)方差公式和增益矩陣來解決有色噪聲問題。文獻[18]應用待定系數(shù)矩陣的噪聲解相關技術并推廣到一類噪聲相關多傳感器系統(tǒng)的兩階段Kalman濾波融合算法設計中。同時，文獻[19]進一步討論有色噪聲的濾波估計算法設計問題。上述工作并不具備應對更復雜噪聲相關多雷達網(wǎng)的系統(tǒng)誤差和狀態(tài)聯(lián)合估計融合的能力[20-24],因此有必要進一步深入研究復雜噪聲建模下的兩階段Kalman濾波融合算法的設計問題[25-32]。

針對上述問題，本文在現(xiàn)有噪聲相關和有色噪聲建模的兩階段Kalman濾波設計研究基礎上，進一步考慮更復雜的噪聲建模情形，即系統(tǒng)誤差(偏差)不確定性的有色噪聲建模(有色噪聲)、過程噪聲與測量噪聲之間的4種相關性相比現(xiàn)有研究中涉及的噪聲建模情形，本文中考慮的有色噪聲和4種噪聲相關性，基本上覆蓋了實際工程中雷達系統(tǒng)誤差估計融合模型中所能遇到的主要情況。隨著噪聲建模復雜度的增加，對兩階段Kalman濾波融合方法設計的難度和挑戰(zhàn)影響也隨之增加，尤其是如何在兩階段濾波器設計中有序地解決有色噪聲和多種噪聲相關性解相關過程的耦合問題是建立相應兩階段Kalman濾波融合方法的關鍵。

本文以上述復雜噪聲建模多雷達目標跟蹤系統(tǒng)為對象，建立一種基于噪聲順序解相關的新型兩階段Kalman濾波融合算法。

1 問題描述

1.1 系統(tǒng)描述

考慮一種帶有系統(tǒng)偏差的多傳感器系統(tǒng)[18]：

(1)

bk+1=bk+ζk

(2)

yi,k=Cixk+Dibk+vi,k

(3)

1.2 過程和測量噪聲統(tǒng)計特性描述

(4)

E[vi,k(vi,j)T]=Riδkj

(5)

式中：Q>0，Ri>0，δkj為Kronecker-δ函數(shù)。

1.3 系統(tǒng)偏差的有色噪聲描述

在實際雷達目標跟蹤系統(tǒng)中，常常會出現(xiàn)偏差噪聲有色的情況。只有在噪聲相關性比較弱時，才可以近似地表示為白噪聲，當噪聲的相關性不可忽略時，就要考慮有色噪聲建模，即：

bk+1=bk+ζk

(6)

(7)

(8)

1.4 噪聲相關性問題

在雷達目標跟蹤系統(tǒng)中可能存在復雜的噪聲相關情形，即過程噪聲與有色噪聲的相關性(相關性Ⅰ)、測量噪聲與有色噪聲的相關性(相關性Ⅱ)、過程噪聲與測量噪聲相關性(相關性Ⅲ)以及測量噪聲之間的相關性(相關性Ⅳ)。

1)相關性Ⅰ：過程噪聲與有色噪聲相關性

(9)

2)相關性Ⅱ：測量噪聲與有色噪聲相關性

(10)

3)相關性Ⅲ：過程噪聲與測量噪聲相關性

(11)

4)相關性Ⅳ：測量噪聲之間的相關性

(12)

1.5 關鍵性問題

由于噪聲建模的復雜性增加，必然導致兩階段Kalman濾波融合算法的設計復雜性和難度增加。針對本文考慮的復雜噪聲建模多雷達目標跟蹤系統(tǒng)，重點要解決如下4個關鍵性問題：

1)有色噪聲處理和噪聲相關性的處理順序；

2)相關性(Ⅰ)～(Ⅲ)和相關性(Ⅳ)的處理順序；

3)相關性(Ⅰ)、(Ⅱ)和(Ⅲ)的處理順序；

4)相關性(Ⅰ)～(Ⅳ)的解相關方法。

2 復雜噪聲建模的兩階段Kalman濾波

2.1 研究方案

針對1.5節(jié)中給出的前3個需要解決的關鍵性問題，相應的分析和解決方案如下：

1)應用狀態(tài)擴維技術來解決有色噪聲白化問題不會對后續(xù)噪聲相關性產(chǎn)生不利影響，即白化后的噪聲解相關不會再產(chǎn)生有色噪聲情形。因此，選擇先有色噪聲白化再處理噪聲相關性的思路。

2)由于(Ⅳ)是單一類測量噪聲之間的相關性且只在融合過程中才會涉及，而(Ⅰ)～(Ⅲ)是不同類型噪聲之間的相關性，并且在濾波和融合算法推導過程中都會涉及。因此，本文確定先處理相關性(Ⅰ)～(Ⅲ)再解決相關性(Ⅳ)的方案。

3)由于(Ⅰ)～(Ⅲ)表示的是不同類型噪聲之間的相關性，使得這些相關性之間必然存在內(nèi)在的耦合性。如果解相關順序選擇不恰當，可能會出現(xiàn)后面噪聲解相關工作完成后前面的噪聲相關性又出現(xiàn)的現(xiàn)象。因此，如何選擇合適的相關性(Ⅰ)～(Ⅲ)解相關順序至關重要。經(jīng)過深入分析和驗證，能有效避免上述耦合性現(xiàn)象發(fā)生的噪聲解相關順序為(Ⅰ)、(Ⅱ)和(Ⅲ)，即先解決過程和測量噪聲與有色噪聲的相關性，然后再解決兩者之間的相關性。

4)相關性(Ⅰ)～(Ⅲ)的解相關采用狀態(tài)和測量方程的等價變換技術，相關性(Ⅳ)的解相關采用集中式融合下的矩陣對角化技術。

綜合上述關鍵問題的解決方案，基于噪聲順序解相關的兩階段Kalman濾波融合流程見圖1。

圖1 整體方案框圖

2.2 有色噪聲處理

采用狀態(tài)增廣法來解決偏差噪聲白化問題[17]，即將偏差作為狀態(tài)的一部分，則擴維后狀態(tài)為：

(13)

則增廣偏差后系統(tǒng)狀態(tài)、系統(tǒng)誤差和觀測方程為：

(14)

(15)

(16)

其中：

(17)

2.3 相關噪聲處理

2.3.1 相關噪聲耦合性分析

從方程(9)～(12)可知，有色偏差噪聲、過程噪聲與量測噪聲是的相關性存在內(nèi)在的耦合性，本節(jié)給出一個具體例子來說明該現(xiàn)象的存在性：在解相關過程中，若先進行解相關Ⅲ，再進行解相關Ⅰ、Ⅱ。由于在解決偏差噪聲與過程噪聲及量測噪聲過程中，又將偏差噪聲引入，使得過程噪聲與量測噪聲相關。

通過引入方程等價技術可得[28]：

xk+1=

(18)

其中：

(19)

(20)

(21)

此時完成了相關性Ⅲ的解相關工作，因此有：

(22)

緊接著開始解相關相關性Ⅰ和Ⅱ，分別有：

xk+1=

(23)

(24)

其中：

(25)

(26)

(27)

(28)

從而我們?nèi)菀撰@得：

(29)

式(22)表明，本來經(jīng)過上述解相關過程相關性Ⅲ已經(jīng)不存在了(完成了解相關)，而式(29)表明后續(xù)經(jīng)過相關性Ⅰ和Ⅱ的解相關后，相關性Ⅲ(過程噪聲和量測噪聲的相關性)又重新出現(xiàn)了，這意味著相關性Ⅲ的解相關工作與相關性Ⅰ、Ⅱ解相關過程存在耦合性(相互依賴性)。

上述例子分析表明，為了實現(xiàn)完美的噪聲解相關，前3種噪聲解相關順序不是任意的，必須尋找和確定一個能避免上述耦合性的解相關序列。經(jīng)過深入分析和測試，滿足該要求的解相關順序為相關性Ⅰ、Ⅱ和Ⅲ。接下來就根據(jù)該順序給出前3種相關性完整的解相關過程。

2.3.2 噪聲相關性Ⅰ解相關

噪聲相關性Ⅰ的解相關主要解除過程噪聲與有色偏差噪聲相關性。該解相關的思想是通過一個待定系數(shù)矩陣，在系統(tǒng)方程(14)的等號右側(cè)加上一個由偏差方程組成的恒等于零的項[24]，即：

(30)

式中：m=M(Wb)-1是n×p維待定系數(shù)矩陣。

(31)

(32)

(33)

2.3.3 噪聲相關性Ⅱ解相關

噪聲相關性Ⅱ的解相關是解除量測噪聲與偏差噪聲的相關性。主要思想是通過一個待定系數(shù)矩陣，在系統(tǒng)方程(16)的等號右側(cè)加上一個由偏差方程組成的恒等于零的項[24]，即：

(34)

(35)

(36)

(37)

2.3.4 噪聲相關性Ⅲ解相關

噪聲相關性Ⅲ的解相關是解決過程噪聲與量測噪聲相關性問題。主要思想是通過一個待定系數(shù)矩陣，在系統(tǒng)方程(30)的等號右側(cè)加上一個由量測方程組成的恒等于零的項[24]，即：

(38)

(39)

(40)

(41)

(42)

通過上述解相關過程后可得：

(43)

即前3種相關性已經(jīng)被完美的解除。

2.3.5 復雜噪聲建模系統(tǒng)的兩階段Kalman濾波

有色噪聲白化和多種噪聲順序解相關工作完成后，最終可以獲得如下新的多傳感器系統(tǒng)：

(44)

(45)

(46)

式中：噪聲統(tǒng)計特性如式(43)，且有：

(47)

(48)

(49)

2.4 簡要分析

針對本文研究的復雜噪聲相關系統(tǒng)，本節(jié)給出了較完善的科學解決方案，即先解決偏差噪聲為有色噪聲問題，然后在考慮耦合性基礎上解決噪聲相關問題，最后利用兩階段Kalman濾波算法解決系統(tǒng)偏差問題。其中，運用狀態(tài)擴維方法解決有色噪聲問題，相比于常規(guī)模型維數(shù)有所增加。由于利用引入待定系數(shù)矩陣的解相關算法，使得系數(shù)矩陣存在運算關系。相比于不考慮噪聲相關情況，一定程度上加大了計算復雜度，但獲得比傳統(tǒng)不相關噪聲假設的算法更符合實際系統(tǒng)。同時，在解相關法的使用上，充分考慮到了3種噪聲解相關問題存在的耦合相關性，使得算法原理研究上難度增加。幸運的是，通過深入的合理性分析，獲得了一個能避免該耦合性的噪聲解相關具體順序。

3 復雜噪聲建模的兩階段Kalman濾波融合

本節(jié)主要研究帶有第Ⅳ種相關性的集中式融合估計算法的設計。針對兩階段Kalman濾波的具體問題，采用如下融合結(jié)構(gòu)：先同時實現(xiàn)多傳感器集中式有偏差融合估計和多傳感器集中式無偏差融合估計，然后再采用兩階段Kalman濾波的組合方式實現(xiàn)有偏差融合估計和無偏差融合估計結(jié)果的融合，其中集中式融合采用基于對角化擴維測量噪聲協(xié)防差陣的方式。即，首先將各個傳感器的量測方程聯(lián)合組成一個新的廣義量測方程，然后利用平方根分解和單位下三角陣的求逆方法[21]應對量測噪聲相關下的分散式融合算法設計問題，最后在融合中心按照兩階段Kalman濾波模式完成偏差和狀態(tài)的聯(lián)合融合估計[26]。

3.1 量測噪聲相關性的處理

由于經(jīng)過3次的噪聲解相關操作，原始的測量噪聲相關性已經(jīng)發(fā)生了變化，因此需要對新的融合估計系統(tǒng)進行測量噪聲方差的重新計算。經(jīng)過3次噪聲解相關的等價集中式擴維量測方程為[2]：

(50)

其中：

(51)

(52)

因此，可得新的多傳感器兩階段Kalman融合估計系統(tǒng)的測量噪聲協(xié)方差矩陣為：

(53)

其中：

(54)

對于測量噪聲相關的多傳感器測量系統(tǒng)，處理噪聲相關性的方式有多種。本文采用平方根分解和單位下三角陣的求逆方法，將其轉(zhuǎn)化為測量噪聲互不相關的廣義多傳感器測量方程[23]。

(55)

(56)

(57)

將Mk進行分塊表示，可得：

(58)

在量測方程式兩邊左乘以Mk，則解相關后新的多傳感器廣義測量方程可以轉(zhuǎn)化成：

(59)

其中：

(60)

(61)

此時，新得到的集中式擴維量測方程中各傳感器的量測噪聲已互不相關，原系統(tǒng)的測量方程重寫為：

(62)

(63)

(64)

3.2 集中式融合

集中式多傳感器融合中心的狀態(tài)估計[28]如下：

(65)

(66)

(67)

無偏差濾波的集中式融合[32]：

(68)

(69)

(70)

(71)

偏差濾波器的集中式融合估計[32]：

(72)

(73)

(74)

(75)

(76)

3.3 分布式融合

分布式融合結(jié)構(gòu)每次只對2個兩階段Kalman濾波器的狀態(tài)估計數(shù)據(jù)(狀態(tài)估計值和誤差協(xié)方差矩陣)進行加權(quán)融合。首先，局部融合中心2先對第一和第二個濾波器的估計結(jié)果進行融合：

(77)

(78)

接著，局部融合中心3將融合結(jié)果與第3濾波器的估計結(jié)果進行融合：

(79)

(80)

3.4 簡要分析

雖然為了應對有色噪聲、噪聲解相關以及集中式融合的使用必然會在算法復雜度上付出了一些代價，但這個代價也是非常值得的，對于當前的CPU運算水平而言也不會增加任何本質(zhì)性的計算負擔。

本文所用的融合模式是分別實現(xiàn)無偏差和有偏差的集中式融合，然后再將兩者融合結(jié)果進行組合(某種意義上也是一種融合)。也可以采用3.3所述分布式融合方法，即每個傳感器先實現(xiàn)一個完整的兩階段Kalman濾波估計，然后再將所有傳感器兩階段估計結(jié)果進行分布式加權(quán)[33]。

集中式融合估計算法因直接對原始測量值進行擴維處理，而分布式算法是局部傳感器先根據(jù)自身量測信息完成一個噪聲相關系統(tǒng)的兩階段Kalman濾波。因此，集中式估計融合算法的精度要比分布式算法高，但是從融合估計的魯棒性和安全性而言，分布式融合算法要比集中式融合方法強。

4 計算機仿真

分別用4個計算機仿真驗證本文算法的性能。

融合系統(tǒng)的模型參數(shù)選擇如下：

初始條件如下：

4.1 有效性驗證

根據(jù)所設置的模型參數(shù)，可得圖1、圖2和表1結(jié)果。集中式融合估計誤差要比3個單傳感器兩階段Kalman濾波估計誤差要小，因此所建立的噪聲相關系統(tǒng)的集中式兩階段Kalman融合估計方法精度高。

圖1 集中式融合估計曲線

圖2 集中式融合估計誤差曲線

表1 各傳感器估計與集中式融合誤差

誤差傳感器1傳感器2傳感器3集中式融合x10.013 70.011 90.024 60.005 6x20.027 40.019 60.029 20.009 7

4.2 精度驗證

跟蹤能力與誤差的對比驗證見圖3～4。由圖可知集中式融合估計明顯要比分布式加權(quán)融合估計具有更小的誤差。

在實際應用中，如果對于追蹤精度有較高要求，且能夠有力保證每個傳感器正常工作，可以選用本文的集中式融合方法。當然，由于分布式加權(quán)融合方法可以通過調(diào)整權(quán)值的方式給予各個傳感器量測不同權(quán)重，因此在不確定傳感器狀態(tài)時，可以選用此算法。

圖3 2種融合方式的跟蹤曲線

圖4 2種融合方式的誤差曲線

4.3 復雜度驗證

針對復雜噪聲相關兩階段Kalman濾波融合方法的集中式融合計算形式(A1)與噪聲不相關的兩階段Kalman濾波融合方法(A2)進行復雜度計算，分別統(tǒng)計其計算量。在統(tǒng)計時，遵循以下幾個準則：①計算種類歸納為加法運算、賦值運算、乘法運算、除法運算4種；②一次賦值運算相當于一次加法運算；③矩陣運算按元素來進行操作。

表2 計算量分析

從表2可知：易知復雜噪聲相關兩階段Kalman濾波融合方法的集中式融合方式計算量要比噪聲不相關的兩階段Kalman濾波融合方法大，但是在目前計算機的可承載范圍內(nèi)。通過對復雜度的犧牲來提高算法對復雜問題的跟蹤精度是有意義的。

4.4 普適性驗證

為了豐富仿真實驗，本仿真通過在不同仿真參數(shù)下比較2種算法的估計結(jié)果，更充分驗證本文所提集中式融合方法優(yōu)越性。

部分修改參數(shù)如下：

A=[-0.05,-0.84;0.517,8.069],B=[1,0;0,1],C1=[1,0;0,1]，C2=[0.8,0;0,0.8]，C3=[1.2,0;0,1.2]。

通過圖5～6與圖3～4的比較可以看出，雖然仿真參數(shù)不同，但是融合估計的規(guī)律大體相同，即集中式融合方法具有更好的濾波精度。

圖5 2種融合方式的跟蹤曲線

圖6 2種融合方式的誤差曲線

5 結(jié)語

在充分考慮帶有偏差的多傳感器融合估計系統(tǒng)具有有色噪聲和復雜噪聲相關性的情形下，本文應用狀態(tài)和參數(shù)的擴維技術以及多次順序方程等價技術來設計一種復雜噪聲相關性多傳感器系統(tǒng)的兩階段Kalman濾波融合方法。與現(xiàn)有的噪聲相關兩階段Kalman濾波融合方法相比，本文考慮的噪聲復雜建模情形更加完善，可推廣到非線性系統(tǒng)、非高斯系統(tǒng)和自適應濾波融合系統(tǒng)中。