馮 耀， 王 紅， 曲智國， 李 凡， 董宇輝

(1.空軍預(yù)警學(xué)院防空預(yù)警裝備系， 武漢， 430019; 2.95980部隊， 湖北襄陽， 441000)

構(gòu)建合理的跟蹤模型是機動目標(biāo)跟蹤的關(guān)鍵，對于高機動的高超聲速滑翔目標(biāo)(Hypersonic Gliding Target，HGT)跟蹤問題更是如此。HGT采用Sanger彈道，除了縱向上的跳躍機動外，還能夠?qū)崿F(xiàn)橫向擺動式機動[1-3]，且在彈道不同階段表現(xiàn)為不同的機動特性，在控制律未知的情況下難以進(jìn)行預(yù)測，相比于彈道導(dǎo)彈目標(biāo)及常規(guī)飛行目標(biāo)而言，HGT較強的突防能力對現(xiàn)有的機動目標(biāo)跟蹤模型提出了更高的要求[4-6]。

Jerk模型是目前公開文獻(xiàn)中階數(shù)最高的運動學(xué)模型[7-10]，它在Singer模型的基礎(chǔ)上增加了一維加加速度估計，將目標(biāo)機動加加速度描述為一階時間相關(guān)過程，在對高速高機動目標(biāo)的跟蹤時經(jīng)常采用該模型。文獻(xiàn)[11～12]針對強機動目標(biāo)，借鑒“當(dāng)前”統(tǒng)計(Current Statistical，CS)模型的思想，建立了一種基于“當(dāng)前”統(tǒng)計的CS Jerk模型，使得對目標(biāo)加加速度的估計更加符合強機動目標(biāo)的實際。但是在實際運用中發(fā)現(xiàn)，Jerk模型的模型參數(shù)由人為設(shè)定，一般取前人研究的經(jīng)驗值[13]，所以HGT機動特性發(fā)生變化時，模型參數(shù)不能隨之進(jìn)行自適應(yīng)調(diào)整，導(dǎo)致其不能有效匹配HGT的機動特性，進(jìn)而影響跟蹤效果。針對這一問題，本文借鑒一階AR模型[14]的思想，將其運用到Jerk模型參數(shù)的實時估計中，使得目標(biāo)狀態(tài)估計的同時能夠?qū)δＰ蛥?shù)進(jìn)行自適應(yīng)調(diào)整。

1 Jerk模型及觀測模型的構(gòu)建

1.1 Jerk模型

設(shè)HGT的加加速度為j(t)，通常也被稱為“急動”，根據(jù)Jerk模型的假設(shè)[15]，將j(t)建模為指數(shù)自相關(guān)零均值隨機噪聲過程，其時間相關(guān)函數(shù)為：

(1)

Jerk模型將j(t)建模為有色噪聲過程，但是應(yīng)用Kalman濾波時，要求它是一個不相關(guān)的白噪聲過程，所以這里運用Wiener Kolmogoron有色噪聲白化處理方法[16]將j(t)“白化”。首先對j(t)的時間相關(guān)函數(shù)R(τ)進(jìn)行拉普拉斯變換：

W(s)H(s)H(-s)

(2)

式中：H(s)為白化濾波器的傳遞函數(shù)；W(s)為輸入噪聲的拉普拉斯變換，分別表示為：

(3)

j(t)白化后可以用一階時間相關(guān)模型表示為：

(4)

(5)

式中：連續(xù)模型的系統(tǒng)矩陣為：

(6)

由于機動目標(biāo)跟蹤時一般使用離散的濾波器，所以需要對式(5)進(jìn)行離散化處理，離散化后的狀態(tài)方程表示為：

X(k+1)=F(k)X(k)+W(k)

(7)

設(shè)系統(tǒng)的采樣周期為T0，則離散化后的Jerk模型的系統(tǒng)矩陣F為：

(8)

式中：

連續(xù)模型狀態(tài)方程離散化后的過程噪聲協(xié)方差為:

(9)

式中:

1.2 雷達(dá)觀測模型的建立

圖1 雷達(dá)直角坐標(biāo)與觀測參數(shù)的關(guān)系

k時刻直角坐標(biāo)系下的量測值z(k)表示為：

(10)

k時刻直角坐標(biāo)系下的量測噪聲協(xié)方差R(k)表示為：

(11)

式中：

2 改進(jìn)的Jerk模型

假設(shè)目標(biāo)狀態(tài)方程可以解耦為3個獨立的通道，跟蹤濾波器可以在每個通道上獨立工作，設(shè)其中一維的量測方程為:

Y(k)=C(k)X(k)+V(k)

(12)

(13)

根據(jù)牛頓定律得[17]：

(14)

(15)

(16)

令:

ξ(k)=v(k)-2v(k-1)+2v(k-3)-v(k-4)

(17)

并將式(14)～(17)代入式(13)，得:

3j(k-2)-j(k-3)+j(k-4)]+ξ(k)

(18)

(19)

根據(jù)式(7)得:

m(k)=5j(k-1)+3j(k-2)-j(k-3)+j(k-4)=5[λj(k-2)+w(k-2)]+3[λj(k-3)+w(k-3)]-[λj(k-4)+w(k-4)]+[λj(k-5)+w(k-5)]=λm(k-1)+ε(k-1)

(20)

式中:

ε(k-1)=5w(k-2)+3w(k-3)-w(k-4)+w(k-5)

(21)

式(19)～(20)共同構(gòu)成了m(k)的狀態(tài)方程和量測方程:

(22)

對式(4)的一階AR過程進(jìn)行Z變換，有

(23)

根據(jù)Z變換性質(zhì)可得:

(24)

(25)

(26)

(27)

式中：ζ為遺忘因子(0<ζ<1)，ζ越接近1，其估計方差越小，但是r(·)收斂越慢，無法快速響應(yīng)參數(shù)α的變化；ζ的取值越接近0，r(·)收斂越快，使其能夠快速響應(yīng)參數(shù)α的變化，但是ζ的估計方差越大。

3 基于改進(jìn)Jerk模型的參數(shù)自適應(yīng)濾波算法

式(7)和式(22)共同構(gòu)成了新的線性離散系統(tǒng)，其狀態(tài)方程和量測方程如下：

(28)

狀態(tài)方程中，

(29)

根據(jù)式(21)求得新的線性離散系統(tǒng)的過程噪聲方差為：

(30)

式中：

根據(jù)式(17)求得新的線性離散系統(tǒng)的量測噪聲方差為：

(31)

基于改進(jìn)Jerk模型的參數(shù)自適應(yīng)濾波算法流程如下，其中k=1,2,…,N。

(32)

(33)

(34)

根據(jù)式(32)可得新息協(xié)方差或量測協(xié)方差為：

(35)

進(jìn)而可求得濾波器增益為：

(36)

最后根據(jù)濾波增益得到當(dāng)前步的狀態(tài)估計值及狀態(tài)估計方差：

(37)

(38)

4 仿真分析

參考美國洛克希德-馬丁公司設(shè)計CAV-H模型設(shè)置飛行器的基本參數(shù)[19]：m=900 kg，S=0.48 m2，熱流密度、動壓、過載約束分別為6 000 kW/m2、45 kPa和4。假設(shè)飛行器保持固定的攻角和傾側(cè)角飛行，攻角取最大升阻比下的攻角值α=11.6°，傾側(cè)角φv=10°。采用指數(shù)型大氣模型[20]，仿真時間t=700 s。設(shè)飛行器滑翔段初始運動狀態(tài)的速度為15Ma，初始位置為E110°N78°，飛行高度為80 km，航跡傾角為0°，航跡方位角為180°。在E110°N50°處前沿部署一部平流層飛艇載雷達(dá)，架設(shè)高度20 km，最大探測距離Rmax=1 000 km，距離誤差100 m、方位角和俯仰角誤差均為0.1°。

雷達(dá)探測跟蹤過程中，不得不考慮地球曲率的影響，雷達(dá)直視距離與雷達(dá)天線架設(shè)高度和目標(biāo)高度有如下關(guān)系：

(39)

式中：ha為雷達(dá)架設(shè)高度;ht為目標(biāo)高度。設(shè)雷達(dá)與目標(biāo)之間的距離為d，只有在d

4.1 位置跟蹤精度比較及分析

圖2 HGT真實軌跡及濾波軌跡比較

由圖2可知，傳統(tǒng)的Jerk模型及本文改進(jìn)的Jerk模型均能夠較好地實現(xiàn)對HGT的穩(wěn)定跟蹤，為了進(jìn)一步直觀地比較2種模型下的HGT跟蹤效果，此處以均方根誤差(RMSE)來對其進(jìn)行評估[21]。設(shè)目標(biāo)在時刻teval的濾波值和真實值之差為：

(40)

(41)

目標(biāo)狀態(tài)向量為：

(42)

位置總RMSE及速度總RMSE計算公式為：

(43)

2種模型下各個坐標(biāo)軸方向的位置RMSE及總的位置RMSE見圖3，紅色線條表示改進(jìn)Jerk模型的濾波誤差，藍(lán)色線條表示傳統(tǒng)Jerk模型的濾波誤差。

圖3 位置均方根誤差比較

由圖3可得，在3個坐標(biāo)軸方向上，基于改進(jìn)Jerk模型的位置濾波RMSE均低于基于傳統(tǒng)Jerk模型的位置RMSE，模型參數(shù)的實時估計調(diào)整使得基于改進(jìn)Jerk模型進(jìn)行跟蹤時，能夠使跟蹤模型與目標(biāo)運動狀態(tài)在很短的時間內(nèi)得到較好匹配，進(jìn)而使位置濾波誤差能夠很快降低并保持基本穩(wěn)定，改進(jìn)Jerk模型尤其在跟蹤前期的優(yōu)勢更加明顯。由圖3(d)可知，采用改進(jìn)的Jerk模型代替?zhèn)鹘y(tǒng)Jerk模型對HGT軌跡進(jìn)行跟蹤濾波時，能夠降低約50%的位置均方根誤差，可實現(xiàn)對HGT軌跡更加精確穩(wěn)定的跟蹤。

4.2 速度跟蹤精度比較及分析

2種模型下各個坐標(biāo)軸方向的速度RMSE及總的速度RMSE見圖4，紅色線條表示改進(jìn)Jerk模型的濾波誤差，藍(lán)色線條表示傳統(tǒng)Jerk模型的濾波誤差。

圖4 速度均方根誤差比較

與位置跟蹤精度類似，由圖4可得，在3個坐標(biāo)軸方向上，基于改進(jìn)Jerk模型的速度濾波RMSE均低于基于傳統(tǒng)Jerk模型的速度RMSE，除此之外，由于模型參數(shù)的自適應(yīng)調(diào)整，基于改進(jìn)Jerk模型跟蹤時，能夠一直保持比較低的的速度濾波誤差。由圖4(d)可知，采用改進(jìn)的Jerk模型代替?zhèn)鹘y(tǒng)Jerk模型對HGT軌跡進(jìn)行跟蹤濾波時，總的速度跟蹤精度能夠得到大幅度提升，從而實現(xiàn)對HGT軌跡更加精確穩(wěn)定的跟蹤。

5 結(jié)語

隨著越來越多高超聲速滑翔飛行器的試驗成功及陸續(xù)服役，研究與HGT高速高機動特性相匹配的跟蹤模型顯得十分迫切。本文針對實際運用中現(xiàn)有Jerk跟蹤模型對參數(shù)預(yù)設(shè)的不合理性，將一階AR模型的思想運用到對模型參數(shù)的實時估計中，提出了改進(jìn)的Jerk模型，實現(xiàn)了目標(biāo)狀態(tài)估計的同時對模型參數(shù)進(jìn)行自適應(yīng)調(diào)整，使跟蹤模型與目標(biāo)機動特性盡可能得到匹配。最后基于HGT軌跡進(jìn)行仿真，證明了改進(jìn)Jerk模型相對于傳統(tǒng)Jerk模型的優(yōu)勢。所提模型對其他高機動目標(biāo)跟蹤問題的研究也有一定的借鑒意義。