趙澤興，石智偉，左茂武

（廣東工業(yè)大學 機電工程學院，廣東 廣州 510006）

光子晶體是一種由不同介電常數(shù)的材料組成并在空間中呈周期性分布的微型結構，在1987年由E.Yablonovitch[1]提出。同年間，S. John[2]又提出光子能帶結構理論。光子晶體存在能帶帶隙，而頻率處于帶隙中的光子將無法傳播，此特性與半導體特性相似，從而達到控制光傳播的作用。因此，光子晶體的應用價值和應用前景非常廣闊。如制作太赫茲頻段器件[3]、光濾波器件[4]，設計全向反射鏡[5]、超寬頻帶天線[6]，或是應用在太陽能能源領域[7]。

光子晶體在自然界中的存在極少，通常通過人工制備，其制備方法包括機械制備法[8]、多光束激光全息光刻法[9]、化學刻蝕法[10]、膠體自組裝密堆積法[11]等。其中激光全息干涉法是最為有效的方法之一，通過多束干涉激光干涉成有效的光子晶格。其主要原理是光折變效應，當光束入射光子晶體時，光束誘導光子晶體折射率發(fā)生變化。光子晶體是一種光敏感材料，采用周期干涉光照射背景光子晶體時，即形成光子晶格。當需要調節(jié)光子晶格的參數(shù)時，只需要調節(jié)干涉激光的參數(shù)，例如入射角、方位角、相位等等。其較于其他制備光子晶體的方法，具有參數(shù)可調、成本低、制備效率高等優(yōu)點[9,12-15]。

如果直接進行實驗研究，效率往往很低，因此在進行實驗之前，理論的計算仿真必不可少。如今針對光學理論計算仿真的軟件較多，在光子晶格工作中常使用Matlab進行數(shù)值仿真[16-18]，但Matlab軟件對每次計算都需要重新進行一系列的代碼編輯，因此需要將功能集成化。本文使用Matlab GUI(Graphic User Interface)設計了一個基于渦旋光模擬仿真多束光束干涉形成光子晶格的軟件，該軟件對于仿真螺旋光子晶格類型結構擁有干涉方法新穎、可調參數(shù)多、用戶交互方式豐富的優(yōu)勢。通過調節(jié)輸入干涉光束參數(shù)，一鍵生成對應的二維或三維晶格，操作簡單，結果直觀，不僅保留了仿真優(yōu)勢，降低了使用難度，而且相對于單一的數(shù)值模擬而言集成了許多用戶功能。

在本文的第一部分，以7束光干涉形成縱向螺旋的光子晶格為例，構建了多光束干涉的理論模型；第二部分，結合GUI功能的說明與展示，實驗分析了上述模型中干涉光束的不同參數(shù)對光子晶格影響；最后一部分是對分析內容的總結。

1 干涉理論模型

滿足一定條件的兩束光波在空間中相疊加后某些點的振幅加強而某些點的振幅減弱，形成光強分布規(guī)則的現(xiàn)象稱為光的干涉。自托馬斯·楊(Thomas Young)通過楊氏雙縫干涉發(fā)現(xiàn)光的干涉性質至今，光的干涉在各個行業(yè)都有廣泛的應用。 而全息干涉法則是最為常見的光干涉應用。

全息干涉法中，通過若干光束在空間發(fā)生干涉后，形成新的干涉光波，由于光波往往具有周期性的結構，通過干涉光波與介質的相互作用，即可在材料中形成空間周期性的折射率變化的微納結構。同時，通過對輸入光束參數(shù)的更改，可以實現(xiàn)對于不同光子晶體結構的設計。多光束干涉理論數(shù)學模型基于光的電磁理論，對于一般光束而言，其光場E可由式(1)表示。從式(1)可以看出，光場的分布是關于時間t 和空間位置→r 的函數(shù)。其中 A0是 振幅大小，φ 是其初相位，ω 是角頻率，為波矢，e ?為偏振矢量。

渦旋光是一種具有相位結構的特殊光場，其光場E如式(2)所示，式中φ 為方位角，l為 拓撲數(shù)， E0表示初始光場，k 為波數(shù)，z 表 示傳播距離，項e xp(-ilφ)是光場的相位因子。渦旋光在中心區(qū)域的振幅為0，波前呈現(xiàn)螺旋態(tài)。因為這種特殊的物理結構性質，在現(xiàn)代光學中都有廣泛的應用。渦旋光的最大應用價值在于光束在傳播的過程中，繞光軸旋轉的每個光子都具有與螺旋相位結構相關的光子軌道角動量量子數(shù)l，即為拓撲荷數(shù)。與傳統(tǒng)的高斯光束相比，渦旋光在徑向為螺旋態(tài)，并非均勻分布，在空間上多出一個維度，提供了巨大的研究價值和強力的研究工具，在實驗上可通過計算全息法、螺旋相位板法和模式轉換法等方法產生渦旋光。

多光束干涉成光子晶格的理論模型如圖1所示，干涉模型以渦旋光束 kc為中心光束，其余6束干涉光束 ki傘形環(huán)繞kc分布入射。中心渦旋光沿z 軸垂直入射到 xoy 平面上(θ中心光=0°)，其余6束干涉光束從相同的入射角θ (與z 軸的夾角)入射且在橫向上為對稱分布。在下文中，將分別討論干涉光束的參數(shù)對干涉的光子晶格的影響。

圖 1 基于渦旋光束的(6+1)束光干涉模型Fig.1 Interference model of 6+1 beam based on vortex beam

2 不同參數(shù)下的光子晶格仿真

2.1 GUI仿真界面設計

本文采用Matlab軟件進行計算機模擬仿真并進行GUI界面設計。如圖2所示，不同的顏色區(qū)域表示不同的光場強度。仿真界面包括干涉參數(shù)設置、仿真圖像顯示、用戶處理幾個部分。使用者對光束數(shù)目、偏向角、偏振度(以瓊斯矩陣表示)、光束振幅強度、初始相位、入射角度以及波長、曝光閾值等參數(shù)進行設置，即可實現(xiàn)不同的光子晶體結構的仿真，并且可對圖像以及輸入的數(shù)據(jù)進行保存等操作。

圖 2 多光束干涉仿真GUI界面截圖Fig.2 GUI interface of Multi-beam interference simulation

2.2 中心光束對光子晶格的影響

在上述的干涉理論模型中，若無中心光束的傘狀分布干涉往往會形成二維平面上單調的陣列型干涉圖樣；而存在中心光束時，干涉光強分布在縱向上也會存在周期性變化，下面以無中心光束的6束光干涉和添加了中心渦旋光束的6+1束光干涉生成的光子晶格為例進行仿真。

由圖3(Ⅰ-Ⅱ)可以看出，無中心光束下的6束光干涉光強在 x-y平面上呈陣列分布，縱向上無變化；而添加一束中心渦旋光束后的6+1束光干涉光強分布中，其橫向截面圖形與無中心光束下的干涉光強類似，均為六邊形結構，但在縱向上存在著周期性變化，并由 x-z平面圖可以看出，由于渦旋光束的特性，每個光波導結構均成螺旋狀，具體參數(shù)配置如表1所示。因此，中心光束的存在可以在原有橫向平面中的周期光強分布基礎上再添加一個縱向的周期變化，在實際的光子晶體結構制備過程時，通過加入適當參數(shù)的中央渦旋光束可以實現(xiàn)螺旋光子晶體結構。

2.3 干涉光方位角對光子晶格影響

光束的方位角指各干涉光束在 xoy平面上投影與 x軸的夾角，對于6+1束光的干涉中，其傘狀環(huán)繞光束k1、k2、k3、k4、k5、k6的 方位角ψi分別以30°，90°，150°，210°，270°和330°分布；而中心光束垂直于 xoy平面，無方位角，因此改變方位角只影響 x-y平面的干涉圖形?；诒?中參數(shù)，固定光束 k1～k5的方位角度數(shù)，調節(jié) k6的方位角度數(shù)為325°、330°、335°進行仿真，仿真結果圖如圖4所示。由圖4可知，當 k6越接近330°即每束光束的方位角越接近于對稱分布時，生成的光子晶格中的相鄰的光波導形狀更加相近，光子晶體結構的分布更加規(guī)則和對稱。而當方位角不成對稱分布時會破壞光子晶格對稱性，在實際光子晶體結構的制備中可以通過設置對稱方位角生成規(guī)則對稱的光子晶格。

圖 3 中心光束對干涉的影響仿真圖,其中(I)為6束光干涉的圖像，(II)為6+1束光干涉的圖像Fig.3 The simulation figures of the influence of the central beam on the interference, in which (I) is 6-beam interferometric images, and (II) is 6+1-beam interferometric images

表 1 光束設置參數(shù)Table 1 Beam setting parameters

圖 4 不同方位角下光子晶格仿真圖Fig.4 Optical lattice simulation images at different azimuths

2.4 偏振度對光子晶格的影響

偏振度對光子晶格的影響主要表現(xiàn)在影響光強極值分布位置的改變，因此會對干涉圖像的對比度產生影響?；诒?中參數(shù)，保持光束 k1～k5的偏振度不變，改變 k6的 偏振度 Pθ使其分別為：30°、90°、150°，并進行仿真，結果如圖5所示。由圖5可知，在光強閾值相同的情況下，隨著 k6光束偏振方向的改變，光子晶格的周期沒有發(fā)生改變，即偏振不影響光子晶格的周期，但是相對于原來的六邊形光子晶格而言，其他的光子晶格產生了不同的形狀變化，即光束偏振態(tài)影響了干涉光強的分布情況，進而使得生成的光子晶體結構發(fā)生變化。為了使得干涉條紋的對比度達到最好的效果，往往需要對光束的偏振進行參數(shù)調試后根據(jù)情況選擇合適的光強閾值，從而獲得更為合適的光子晶體結構。

2.5 入射角對光子晶格的影響

入射角 θ指環(huán)繞干涉光束與z 軸之間的夾角，其取值范圍為0°～90°，入射角度的改變會影響螺旋光子晶格結構的縱向周期 Tv(螺距)，以及橫向周期Th(螺徑)[19]，如式(4)和式(5)所示，其中n為介質折射率。

由式(4-5)可知，當波長λ一定時，入射角的增大會使螺距及螺徑變小(即縱向周期和橫向周期變小)。基于表1中參數(shù)，令拓撲荷數(shù)l =0 ，入射角度θ 分別等于5.4°，10.6°，固定其他參數(shù)，并進行仿真，結果如圖6所示。由圖6可知，仿真結果與分析結果一致，隨著入射角的不斷增大，螺距以及螺徑不斷減小，同理可知當入射波長不斷變小時也會產生同樣結果。

2.6 拓撲荷數(shù)對光子晶格的影響

如果螺距過長，往往不能很好地發(fā)揮螺旋光子晶格特性，而如果通過入射角、波長來改變螺距又會使螺徑的大小同時發(fā)生改變。基于渦旋光干涉的光干涉模型可以在調節(jié)渦旋光束拓撲荷數(shù)參數(shù)時僅對螺距進行改變。由式(2)可知，若保持渦旋光電場的相位因子e xp(-ilφ)中的相位值不變，那么相位因子會隨著拓撲荷數(shù)l的增大而呈現(xiàn)周期性變化，當渦旋光參與光束干涉時， l的增大也同樣會使干涉光強呈現(xiàn)一定的周期性變化?；诒?中參數(shù)，將渦旋光束拓撲荷數(shù)l分別設置為2和4并進行仿真，結果如圖7所示。隨著拓撲荷數(shù)的改變，光子晶格的螺距(縱向周期)發(fā)生改變，而其橫截面形狀并無變化。結合渦旋光電場相位因子中的相位值設置，可以通過改變中央渦旋光束拓撲荷數(shù)的方式改變螺旋光子晶格的縱向螺距。

3 總結

本文提出了一種基于Matlab GUI的三維光子晶格模擬方法，并通過對渦旋光參數(shù)、方位角、光束偏振度、入射角等參量對光子晶格產生的影響進行了仿真分析，由結果可知，中間渦旋光束的添加可以生成螺旋光子晶格并為其添加一個縱向周期，改變渦旋光拓撲荷數(shù)可以進行晶格螺距的調節(jié)；光束的方位角影響了光子晶格的規(guī)則性和對稱性；光束偏振度影響了干涉光強分布情況進而影響光子晶格形狀；增大環(huán)繞光束的入射角會使螺旋光子晶格螺距、螺徑減小，使結構更緊密。通過該研究不僅證明了基于Matlab GUI的計算機仿真方法的靈活高效，并對入射光束參量對光子晶格的影響有更清晰的認知，對實際研究制備螺旋光子晶格或者一般光子晶格結構具有重要參考意義。

圖 5 不同偏振度下光子晶格仿真圖Fig.5 The simulations of optical lattices with different degrees of polarization

圖 6 入射角度變化對光子晶格影響仿真圖，(I)、(II)分別是入射角θ=5.4°、10.4°時的仿真圖Fig.6 The simulation diagrams of the influence of incident angle on optical lattice. (I) and (II) are with θ =5.4° and θ=10.4°, respectively.

圖 7 拓撲荷數(shù)對螺旋光子晶體的影響，(I)、(II)分別是拓撲荷數(shù)l =2,4時的光子晶格仿真圖像Fig.7 The influence of topological charge on helical photonic crystal. (I) and (II) are with l=2,4, respectively.