王 芳，楊秀良

(杭州師范大學(xué)理學(xué)院，浙江 杭州 311121)

1 引言和主要結(jié)果敘述

眾所周知，每個有限逆半群都嵌入到某個有限對稱逆半群[1].設(shè)In是有限集Xn={1,2,…,n}上的對稱逆半群，它的逆子半群IOn={α∈In|?x,y∈dom(α),x≤y?xα≤yα}最近引起了人們極大的關(guān)注[2-7]. 特別地，Al-Kharousi等[7]研究了IOn的保序等距子半群

ODPn={α∈IOn|?x,y∈dom(α),|x-y|=|xα-yα|}∪{?}

的生成元集和秩，且它為逆半群.本文將ODPn拓展到更大的IOn的子半群，即保序擴(kuò)張和保序伸縮兩個子半群:

OEXn={α∈IOn|?x,y∈dom(α),|x-y| ≤|xα-yα|}∪{?}，

OCOn={α∈IOn|?x,y∈dom(α),|x-y|≥|xα-yα|}∪{?}.

類A半群的定義見[8]，設(shè)A為半群S的一個生成元集，如果對任意a∈A，A{a}不能生成S，則稱A為半群S的一個極小生成元集.一個有限半群S的秩[7]定義為

rank(S)=min{|A|∶A?S,〈A〉=S}.

本文的主要結(jié)果如下：

定理1半群OEXn是一個非正則類A半群，ODPn是OEXn的最大逆子半群.

定理2OEXn任一個極小生成元集為

其中，γX表示X中的元，

且rank(OEXn)=2n-1.

2 主要結(jié)果的證明

Green-關(guān)系的定義見[1].設(shè)α∈OEXn，dom(α)和im(α)依次表示α的定義域和值域.

引理1設(shè)α，β∈OEXn，則

現(xiàn)任取x，y∈A，于是|xα-yα|≤|(xα)δ1-(yα)δ1|=|xβ-yβ|，且 |xβ-yβ|≤|(xβ)γ1-(yβ)γ1|=|xα-yα|.故|xα-yα|=|xβ-yβ|.

又因α,β∈OEXn，于是任取x,y∈A有x≤y?xα≤yα,xβ≤yβ.因此xα-yα=xβ-yβ.

綜上，得dom(α)=dom(β)=A，且對任意x，y∈A，xα-yα=xβ-yβ.

“?”.設(shè)dom(α)=dom(β)=A，且對任意x，y∈A，xα-yα=xβ-yβ，可令

則ai-aj=bi-bj且xi≤xj?ai≤aj,bi≤bj(?i,j∈{1,2,…,k})，從而ai≤aj?bi≤bj，bi≤bj?ai≤aj(?i,j∈{1,2,…,k}).現(xiàn)令

現(xiàn)任取x，y∈B，于是由(xα-1)γ2β=x且(yα-1)γ2β=y得(xα-1)γ2=xβ-1且(yα-1)γ2=yβ-1.從而

|xα-1-yα-1|≤|(xα-1)γ2-(yα-1)γ2|=|xβ-1-yβ-1|.

又由(xβ-1)δ2α=x且(yβ-1)δ2α=y得(xβ-1)δ2=xα-1且(yβ-1)δ2=yα-1.從而

|xβ-1-yβ-1|≤|(xβ-1)δ2-(yβ-1)δ2|=|xα-1-yα-1|.

故|xα-1-yα-1|=|xβ-1-yβ-1|.

又因γ2∈OEXn，于是任取x,y∈B有xα-1≤yα-1?(xα-1)γ2≤(yα-1)γ2?xβ-1≤yβ-1.因此xα-1-yα-1=xβ-1-yβ-1.

綜上,得im(α)=im(β)=B，且對任意x，y∈B，xα-1-yα-1=xβ-1-yβ-1.

“?”.設(shè)im(α)=im(β)=B，且對任意x，y∈B，xα-1-yα-1=xβ-1-yβ-1，可令

則ai-aj=bi-bj且ai≤aj?yi≤yj,bi≤bj?yi≤yj(?i,j∈{1,2,…,k})，從而ai≤aj?bi≤bj，bi≤bj?ai≤aj(?i,j∈{1,2,…,k}).令

xi-xj=yi-yj，yiβ-yjβ=xiα-xjα(?i,j∈{1,2,…,k}).

故|dom(α)|=|dom(β)|=k，且設(shè)dom(α)={x1,x2,…,xk}，存在排序dom(β)={y1,y2,…,yk}使

xi-xj=yi-yj，yiβ-yjβ=xiα-xjα(?i，j∈{1,2,…,k}).

“?”.設(shè)|dom(α)|=|dom(β)|=k，且dom(α)={x1,x2,…,xk}，存在排序dom(β)={y1,y2,…,yk}使

xi-xj=yi-yj，yiβ-yjβ=xiα-xjα(?i，j∈{1,2,…,k}).

從而任取xi,xj∈dom(α),yi,yj∈dom(β)有yi≤yj?xi≤xj?xiα≤xjα且|yi-yj|=|xi-xj|≤|xiα-xjα|(?i，j∈{1,2,…,k}).

引理2設(shè)α，β∈OEXn，則

因此dom(α)=dom(β).

因此im(α)=im(β).

□

引理3設(shè)α，β∈OEXn，

從而由引理2得

|im(α)|=|im(δ1)|，im(δ1)=im(δ2)，|im(δ2)|=|im(δ3)|，im(δ3)=im(β).

故|im(α)|=|im(β)|.

從而由引理2得

im(α)=im(γ1)，|im(γ1)|=|im(γ2)|，im(γ2)=im(γ3)，|im(γ3)|=|im(β)|.

故|im(α)|=|im(β)|.

□

其中|xi-xj|≤|ai-aj|,|yi-yj|≤|bi-bj|且xi≤xj?ai≤aj,yi≤yj?bi≤bj(?i,j∈{1,2,…,k}且i≤j).

其中|xi-xj|≤|ai-aj|,|yi-yj|≤|bi-bj|且xi≤xj?ai≤aj,yi≤yj?bi≤bj(?i,j∈{1,2,…,k}且i≤j).

□

引理5α∈OEXn為正則元當(dāng)且僅當(dāng)α∈ODPn.

證明“?”.若α∈ODPn，則α是逆元，從而α是正則元.又因ODPn?OEXn，故α是OEXn的正則元.

“?”.若α∈OEXn是正則元，則存在β∈OEXn使αβα=α.于是，任意x∈dom(α)，有xαβ=(xαβα)α-1=xαα-1=x.現(xiàn)任意x,y∈dom(α)，有

|x-y|≤|xα-yα|≤|(xα)β-(yα)β|=|x-y|.

從而|xα-yα|=|x-y|.又由α∈OEXn，則α∈IOn，故α∈ODPn.

□

定理1的證明先證半群OEXn是一個類A半群.

易知E(OEXn)是一個半格，于是有OEXn是一個適當(dāng)半群.

任取α∈OEXn，ε是OEXn的任意冪等元，則ε是恒等映射，現(xiàn)定義φε,α∈OEXn為

(x)φε,α=x(?x∈im(εα))，dom(φε,α)=im(εα).

接下來定義φα,ε∈OEXn為

(x)φα,ε=x(?x∈dom(αε))，dom(φα,ε)=dom(αε).

最后證ODPn是OEXn的最大逆子半群.從[7]知ODPn是OEXn的逆子半群.任取S是OEXn的一個逆子半群且滿足ODPn?S?OEXn.現(xiàn)任取α∈S，則α是可逆的，從而α是一個正則元，進(jìn)而由引理5可得α∈ODPn.故S?ODPn.因此S=ODPn，即ODPn是OEXn的最大逆子半群.

□

以下探討OEXn的任一個極小生成元集.

(4)n-1=12…n-112…n-1 12…n-123…n 23…n12…n-1 23…n23…n .

對i∈{2,3,…,n-1}，令

(2)(n-1,i)=1…i-1ii+1…n-11…i-1i+1i+2…n 2…ii+1…n1…i-1i+1…n .

(1)(n-1,i)=1…i-1i+1…n1…i-1i+1…n .

(4)n-1=θσθσσθ .

結(jié)論成立.

□

(2)(n-1,i)=ασα .

(2)(n-1,i)=θαα .

綜上，結(jié)論成立.

□

證明當(dāng)k=0 時，顯然結(jié)論成立.對k≤n-2，有n-k≥2.下對k≥1分情況討論.

情況2當(dāng)x

情形1 若y-x=1，則存在元a∈Xn使ay.

情況3當(dāng)x>y時，可仿照情況2的證明過程，結(jié)論成立.

情況1若存在y∈Xn使xi

顯然β,γ∈OEXn且計算可得α=βγ.

情況2若xi+1-xi=1(i∈{1,2,…,k-1})，dom(α)分3種情形討論.

情形1 若xn=n，即dom(α)={n-k+1,n-k+2,…,n}.存在元b∈Xnim(α)，不妨設(shè)ai

顯然β,γ∈OEXn且計算可得α=βγ.

情形2 若x1=1，即dom(α)={1,2,…,k}.存在元b∈Xnim(α)，不妨設(shè)ai

顯然β,γ∈OEXn且計算可得α=βγ.

情形3 若x1≠1且xk≠n.證明同情形1或者情形2的證明過程.

□

引理9A是OEXn的任意生成元集，則

1)ε,θ,σ∈A；

證明1)由推論1知ε∈A，且易知任取a∈A都有aε=εa=a.下證θ,σ∈A.

2)在以下證明中出現(xiàn)的i，都表示為i∈{2,3,4,…,n-1}.

□

定理2的證明由引理6、7、8及推論1知

是OEXn的生成元集.由引理9得，任取α∈S，都有S{α}不是OEXn的生成元集，故S是OEXn的極小生成元集.又由引理9易知OEXn任一個極小生成元集為

且計算得rank(OEXn)=2n-1.

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