周 浩，杜渺勇，蔣 捷，韓丹夫

(杭州師范大學(xué)理學(xué)院，浙江 杭州 311121)

非線性偏微分方程在流體力學(xué)、固體物理學(xué)、等離子體物理學(xué)和量子力學(xué)等各學(xué)科中發(fā)揮著重要作用[1].為了描述以離子聲速運(yùn)動(dòng)的坐標(biāo)系中一維朗繆爾和離子聲波的非線性動(dòng)力學(xué)，耦合Schr?dinger-KdV(CSK)方程組[2]

(1)

E(x,t)=E(x+l,t),N(x,t)=N(x+l,t),x∈[a,b],l=b-a

在數(shù)值實(shí)驗(yàn)方面，已經(jīng)提出大量的算法來解決CSK方程，如有限差分法[2-4]、分步二次B樣條有限元法[5]、基于element-free Galerkin有限元的數(shù)值解法[6]、徑向基函數(shù)無網(wǎng)格方法[7]和Petrov-Galerkin有限元方法[8].Zhang等[9]提出了基于平均矢量場的空間離散方法及離散方程的哈密頓形式，然而，它是非線性隱式且完全耦合的，求解復(fù)雜，需要消耗大量的存儲，并且不能保證I1和I2守恒.之后一些學(xué)者提出的數(shù)值方法與Zhang等的方法具有相同的特征，雖然提高了方程的計(jì)算效率，但無法保證守恒量的守恒.Cai等[10]于2018年提出了基于Crank-Nicholson型離散化與離散哈密頓形式的方案，在使得方程組CSK解耦的同時(shí)，也具備著良好的保能性.

本文提出一類基于傅里葉譜配點(diǎn)法和隱式差分法的數(shù)值方法求得CSK方程(1)的數(shù)值解.首先介紹傅里葉譜配點(diǎn)法，再將CSK方程(1)運(yùn)用此方法進(jìn)行空間離散.運(yùn)用內(nèi)積空間，證明離散后得到的微分方程組能夠使得I1和I2守恒.結(jié)合隱式差分法，對此常微分方程組進(jìn)行求解，從而得到解耦合性的具備守能性的數(shù)值方案.與其他數(shù)值方法相比，完全解耦方程的求解更容易，所需的運(yùn)算成本較低，且具有較高的精度.

1 數(shù)值方法

1.1 傅里葉譜配點(diǎn)法

(2)

F(1)=DMF，

(3)

其中DM為一階譜微分矩陣：

(4)

證畢.

定義1設(shè)U,V∈C1，稱(U⊙V)j=ujvj為向量U與V的哈達(dá)馬積，⊙為哈達(dá)馬積算子.

在空間中進(jìn)行離散化后，得到CSK方程(1)的傅里葉譜配點(diǎn)形式：

(5)

1.2 守恒性

在證明式(5)具備守恒性之前，定義在空間CM×M上的內(nèi)積和離散范數(shù)：

(6)

(7)

引理2等式(D(2)U,V)=-(D(1)U,D(1)V)成立.

證明

定理1在周期性邊界條件下，式(5)保持以下守恒定律：

證明將式(5)的第一個(gè)方程進(jìn)行內(nèi)積運(yùn)算：

(8)

(9)

(10)

實(shí)際上，除了傅里葉譜配點(diǎn)法進(jìn)行空間離散外，任意微分矩陣滿足(DM)T=-DM的方法(例如中心有限差分法)進(jìn)行空間離散，都可以使得I1和I2守恒[10].

1.3 隱式差分格式

取時(shí)間間隔τ=Δt，則離散時(shí)間為tn=nτ，n=0,1,2,….對于常微分方程組(5)，從tn到tn+1的數(shù)值解格式表示為：

由此構(gòu)造了一類解耦合性的、無條件穩(wěn)定的數(shù)值方案.

2 數(shù)值實(shí)驗(yàn)

為衡量所提出的數(shù)值方案的保能性，時(shí)間域與空間域離散后，兩類守恒量可以通過疊加求和來近似獲得：

第n層時(shí)間上的守恒量誤差定義為：

CSK方程組(1)的精確解為[11]：

表1 E(x,t)的實(shí)部值Tab.1 The real part of E(x,t)

表2 E(x,t)的虛部值Tab.2 The imag part of E(x,t)

續(xù)表2

表3 N(x,t)的值Tab.3 The solutions of N(x,t)

與其他數(shù)值方法相比，本文提出的方法與精確解更加接近，具備更高的精度.圖1模擬了此問題從t=0到t=1的演變過程.圖2則描述了守恒量I1和I2從t=0到t=1的誤差變化，可以發(fā)現(xiàn)，雖然誤差隨著時(shí)間的增加而有所上升，但最終的誤差依舊比較小.

圖1 Δt=0.000 1，Δx=0.25，t=0到t=1的數(shù)值解Fig.1 The numerical solutions from t=0 to t=1，Δt=0.000 1，Δx=0.25

表4 在x∈[-30,30]，=8，α=0.4，Δt=0.000 1，t=0.1時(shí)的最大誤差Tab.4 The maximal errors when x∈[-30,30]，=8， α=0.4， Δt=0.000 1 and t=0.1

3 結(jié)束語

通過將傅立葉譜配點(diǎn)法與隱式差分法相結(jié)合，構(gòu)造了一種求解耦合Schr?dinger-KdV(CSK)方程的數(shù)值格式.該方案是一種解耦方案，可以獨(dú)立求解每個(gè)時(shí)間層En與Nn的數(shù)值解.利用CSK方程的兩類守恒量和誤差范數(shù)對該數(shù)值方案的性能進(jìn)行了衡量.數(shù)值實(shí)驗(yàn)說明了該方法的精度和穩(wěn)定性.由此得出結(jié)論，數(shù)值解與物理性質(zhì)和現(xiàn)象相吻合.在今后的工作中，該方法可推廣到其它耦合非線性偏微分方程組.