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        半群的主因子的秩

        2020-10-15 08:03:26羅永貴
        關(guān)鍵詞:保序易知定理

        呂 會 羅永貴

        ( 貴州師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,550025,貴陽 )

        1 預(yù)備知識

        設(shè)[n]={1,2,…,n-1,n}(n≥3)并賦予自然數(shù)的大小序.In表示[n]上的一一變換半群,SIn=InSn是[n]上的部分一一變換半群.設(shè)α∈SIn,若對任意的x,y∈dom(α),x≤y可推出xα≤yα,則稱α是保序的;若(1α,2α,…,nα)是一個圈,即最多存在一個自然數(shù)i, 使得iα>(i+1)α,則稱α是方向保序的.記OIn為InSn中所有保序變換之集,稱OIn為保序嚴(yán)格部分一一變換半群.記POPIn為InSn中所有方向保序變換之集,稱POPIn為方向保序嚴(yán)格部分一一變換半群.

        設(shè)k是[n]上的一個固定點,令

        (1)

        其中a1

        αR◇β當(dāng)且僅當(dāng)ker(α)=ker(β),

        αL◇β當(dāng)且僅當(dāng)im(α)=im(β),

        αD◇β當(dāng)且僅當(dāng)|im(α)|=|im(β)|.

        (2)

        易見,Pr關(guān)于運(yùn)算· 是完全0 - 單半群.

        定義2設(shè)

        易知若θ1=σ1⊕δ1,θ2=σ2⊕δ2,則有θ1θ2=σ1σ2⊕δ1δ2.

        定理1設(shè)n≥3,1≤r≤n-1,則

        (3)

        本文未定義的術(shù)語及符號參見文獻(xiàn)[7-9].

        2 定理1的證明

        為完成定理1的證明先給出如下兩個引理與一個推論.

        證若(α,β),(α,αβ)∈D◇,則|im(α)|=|im(β)|=|im(αβ)|. 再由im(αβ)? im(β),ker(α)?ker(αβ)與[n]的有限性可知,im(αβ)=im(β),ker(α)=ker(αβ),即(α,αβ)∈R◇,(αβ,β)∈L◇.

        推論1設(shè)n≥3,1≤r≤n-1,則

        (4)

        證分以下幾種情況討論:

        設(shè)A1={p1

        將αm換成

        易知

        是一個群.

        對其余D-類也用類似方式進(jìn)行構(gòu)造,可得集合

        當(dāng)i

        當(dāng)i=j時,有α=αiαi+1…αm-1αmα1α2…αi-2αi-1.

        當(dāng)i>j時,有α=αiαi+1…αm-1αmα1α2α3…αj-2αj-1.

        因此,結(jié)合推論1可得M是Pr的極小生成集, 且

        綜上可知定理1得證.

        3 可進(jìn)一步研究的問題

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