拉 白 鄧 波,2),3) 冶成福 付 鳳

( 1) 青海師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院, 810008,西寧； 2) 藏文信息處理教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，810008,西寧；3) 廣東石油化工學(xué)院理學(xué)院，525000,廣東茂名 )

1 引 言

對(duì)簡(jiǎn)單圖G, 其邊數(shù)和頂點(diǎn)數(shù)分別記為m和n. 在圖G中,頂點(diǎn)u和v的距離記為dG(u，v),頂點(diǎn)u到其它各頂點(diǎn)的距離之和記為DG(u),即

20世紀(jì)80年代， 著名的數(shù)學(xué)化學(xué)家 Balaban提出了一種關(guān)于連通圖的新的拓?fù)渲笜?biāo)，稱(chēng)為 Balaban 指標(biāo) (或簡(jiǎn)稱(chēng)為J指標(biāo))[1,2]:

Balaban指標(biāo)是一個(gè)非常有用的且具有良好性質(zhì)的分子描述器,被廣泛應(yīng)用于QSAR和QSPR的研究中.通過(guò)對(duì)含有6至9個(gè)碳原子的烷烴同分異構(gòu)體進(jìn)行排序,Balaban等人發(fā)現(xiàn),由Balaban指標(biāo)產(chǎn)生的順序平行于由 Wiener指標(biāo)產(chǎn)生的順序,而且 Balaban 指標(biāo)具有更好的識(shí)別能力, 因此Balaban指標(biāo)也被稱(chēng)為敏銳的Wiener指標(biāo).在生物學(xué)上,Balaban指標(biāo)被用于研究苯磺的碳酸酐酶抑制藥的QSAR[3],優(yōu)化生物活性先導(dǎo)化合物[4],建立轉(zhuǎn)移RNA 的聯(lián)系[5],確定RNA的結(jié)構(gòu)和識(shí)別分類(lèi)RNA[6]等.

本文比較了直鏈四角系統(tǒng)和直鏈四角系統(tǒng)變換的Balaban指標(biāo)大小,并且建立了直鏈四角系統(tǒng)Balaban指標(biāo)的上(下)界.

2 基本定義和引理

四角系統(tǒng)[7]是一個(gè)2-連通平面圖, 其每個(gè)內(nèi)部面都是單位正方形(又稱(chēng)為細(xì)胞), 且每條邊至少屬于一個(gè)正方形.

定義1[8]設(shè)G為一個(gè)四角系統(tǒng), 且G中任何4個(gè)細(xì)胞沒(méi)有公共頂點(diǎn), 則稱(chēng)G為渺位或樹(shù)狀四角系統(tǒng); 以G中所有細(xì)胞中心為頂點(diǎn)集,以相鄰細(xì)胞中心連線(xiàn)為邊集的圖稱(chēng)為圖G的特征圖; 如果特征圖為一條路,則稱(chēng)G為鏈狀或路狀四角系統(tǒng).

定義2[9]設(shè)G為鏈狀四角系統(tǒng), 如果邊e是G中2個(gè)細(xì)胞的公共邊, 則稱(chēng)邊e為G的內(nèi)邊,否則稱(chēng)邊e為G的外邊.

定義3[10-12]設(shè)G為含t個(gè)細(xì)胞的鏈狀四角系統(tǒng), 如果去掉其所有的2度頂點(diǎn)及其相關(guān)聯(lián)的邊后為一條路, 則稱(chēng)G為鋸齒鏈(Zigzagchain)四角系統(tǒng), 用Zt(t≥1)表示, 簡(jiǎn)記為Z-四角系統(tǒng); 而不含4度頂點(diǎn)的鏈狀四角系統(tǒng)稱(chēng)為直鏈(Straight Chain)四角系統(tǒng), 用Lt(t≥1)表示,簡(jiǎn)記為L(zhǎng)- 四角系統(tǒng)(圖1).

圖1 直鏈四角系統(tǒng)Lt(t≥1)

圖2 直鏈四角系統(tǒng)變換和

3 比較直鏈四角系統(tǒng)和直鏈四角系統(tǒng)變換的 Balaban 指標(biāo)大小

證設(shè)V0={u1,u2,…ut,ut+1},V1={v1,v2,…vt,vt+1},E0={ei|ei=uiui+1,ui∈V0},

通過(guò)直接計(jì)算可得：

當(dāng)t≥j>i時(shí)，

當(dāng)k≤i時(shí)，

當(dāng)t≥j≥2時(shí)，

則

由引理2可得

(1)

同理當(dāng)v1v2,vivi+1∈E1時(shí),可得

(2)

(3)

當(dāng)vi-l+3vi-l+2,vlvl+1∈E1時(shí),同理可得

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

=2(i-2l+4)≥0,設(shè)

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

<0.

(17)

<0.

(18)

由DLt(uk)=DLt(vk)=(t-k+2)2+k2-1,可得

4 直鏈四角系統(tǒng)Balaban指標(biāo)的界

(19)

(20)

由(19)式和(20)式可知